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1、 1 几何体的外接球与内切球的有关问题 一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心 O 的位置问题，其中球心的确定是关键 （一） 由球的定义确定球心 球的定义：在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论 结论 1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点 结论 3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成
2、的直角三角形便可得球半径.（在1BOORt中，21212OOBOBO，即222)2(hrR.） 结论 4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得 （以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面ABC 的边长为 a，高为 h，外接球球心为 O，半径为 R. 在1AOORt中，21212OOAOAO，即222)(33RhaR.） 结论 5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜32Ra2222abcRBC 2 边的一半就是其外接球的半径 3 （二）构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处 1.
3、可构造正方体的类型： 正四面体：棱长对应正方体的面对角线. 三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长. 四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线. 2.可构造长方体和正方体的类型 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；三个侧面两两垂直的三棱锥；有三个面是直角三角形的三棱锥； 与与 相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则 BC2=a2+b2，AC2=a2+c2，AB2=b2+c2. 所以对应长方体的体对角线为2222222ABACBCcba. 含有其它线面垂直关系的棱锥. （三） 由性质确定球心 利用球心
4、O 与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆， 确定球心 记球的半径为 R， 截面圆的半径为 r， 球心 O 与截面圆圆心 O ABCDABCPABCP 4 的距离为 d，则有 R2=r2+d 2. 5 （四） 圆柱外接球模型计算球的半径 一个底面半径为 r，高为 h 的圆柱，求它的外接球半径. 222)2(hrR （1） （2） （3） 变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的 h，而棱柱底面ABC 外接圆的半径则是公式
5、中的r. 变形二：如果把三棱柱上面的 C1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面矩形底面的四棱锥，其中r为垂直底面的侧面ABC 的外接圆半径，h为垂直于那个侧面的底面边长 AA1. 变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的 B1,C1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱底面的三棱锥，其中r为底面ABC 外接圆半径，h为垂直于底面的那条侧棱 AA1. 二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 结论 1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. 结论 2：正多面体的内切球和外接球
6、的球心重合. 结论 3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合. 结论 4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理. 结论 5：体积分割是求内切球半径的通用做法. （一）正方体的的内切球 设正方体的棱长为 a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径. Rr2hABC1A1B1CABC1A1BABC1A 6 （1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得2aR . （2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得22aR . （二）棱锥的内切球(分割法) 将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等
7、，列出关于半径的方程. 设三棱锥的棱长为 a，内切球半径为 r. VVVVVPABOPBCOPACOABCOABCP rSrSrSrSPABPBCPACABC31313131 rSSSSPABPBCPACABC)(31 内切球rSABCP31 所以ABCPABCPSVr3内切球 一般地，记棱锥的体积为 V，表面积为 S，则内切球的半径为SVr3. （三）圆柱、圆锥的内切球(截面法) （1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径 r，内切球的半径 R，则 R=r. （2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记圆锥的底面圆的半径 r，内切球的半径 R，由于在ABC 中，所
8、以CSR2. 7 8 备注： 1.三角形内切圆的半径 SSSSAOBAOCBOCABC rcbacrbrar)(21212121 内切圆rCABC21 所以三角形内切圆的半径为CSr2，其中 S 为ABC 的面积，C 为ABC 的周长. 2. 三角形外接圆的半径 利用正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，CcBbAaRsin2sin2sin2. 正三角形：aaR3360sin2，其中 a 为正三角形的边长. 直角三角形：290sin2ccR，其中 c 为直角三角形的斜边. 3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比 正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”. 设正三角形的边长为 a，
9、内切圆半径为 r，外接圆半径为 R. 由于aaR3360sin2， aaaaaaCSr6360sin2122， 所以1:2:rR，即圆心 O 为正三角形高 h 的三等分点. 9 4. 正四面体的内切球与外接球的半径之比 正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”. 设正四面体 A-BCD 的棱长为 a，内切球半径为 r，外接球 半径为 R，则 OA=OB=R，OE=r. 底面BCD 为正三角形，BE=a33 在BEORt中，222OEBEBO，即22233raR，得aR46 1:3:rR，即球心 O 为正四面体高 h 的四等分点. 5.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比 正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱1AA和它们的球心 O 作截面如下图所示： 设正三棱柱底面边长为a. 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以aR632，从而正三棱柱的高为aRh3322. 在ODARt11中，得22222211211256333aaaRDAR，aR1251 因此1:5:21RR.
