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1、大学物理大学物理-刚体的转动刚体的转动|1、刚刚体体：rigidbody在在力力的的作作用用下下，大大小小和和形形状状都都保保持持不不变变的的物物体体称称为为刚刚体体。（组组成成物物体体的的所所有有质质点点之间的距离始终保持不变）是一种理想模型。之间的距离始终保持不变）是一种理想模型。|2、刚体的平动：、刚体的平动：translationofarigidbody刚刚体体内内所所作作的的任任何何一一条条直直线线，始始终终保保持持和和自自身身平平行行的的运运动动。平平动动时时，刚刚体体上上各各点点的的运运动动轨轨迹迹都都相相同同，因因此此，刚刚体体上上一一点点的的运运动动可可代代表表整整个个刚刚体
2、体的的运运动动。(刚刚体体平平动动的的运运动动规规律律与与质质点点的的运运动动规规律律相相同）同）3.1 刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动例题例题:三个质量为三个质量为m的质点，的质点，A、B、C由三个长为由三个长为L的的轻杆相联结。求该质点系通过轻杆相联结。求该质点系通过A点和点和O点，且垂直于点，且垂直于三个质点所在平面的转轴的转动惯量。三个质点所在平面的转轴的转动惯量。ABCO4、转动惯量的计算、转动惯量的计算Calculationofmomentofinertia解：解：可见，同一刚体对不同转轴的转动惯量是不同的，只可见，同一刚体对不同转轴的转动惯量是不同的，只有指
3、出刚体对某一转轴的转动惯量才有明确的意义。有指出刚体对某一转轴的转动惯量才有明确的意义。例题例题 均匀杆质量均匀杆质量m,长长l，求杆对，求杆对O轴和轴和C轴的转动惯量。轴的转动惯量。x dxxOlCl2l2解：解：平行移轴定理平行移轴定理例题例题 均匀圆环均匀圆环 ：例题例题 均匀圆盘：均匀圆盘：r m iC R面密度面密度半径为半径为R质量为质量为M的均匀圆盘联结一长为的均匀圆盘联结一长为L质量为质量为m的均匀直棒，写出刚体对的均匀直棒，写出刚体对O轴的转动惯量。（轴的转动惯量。（O轴垂直轴垂直纸面）纸面）OmRML3.2.2力矩力矩刚体转动定律刚体转动定律ZOdr1、力矩、力矩Momen
4、tofforce力力F对对O点的力矩点的力矩力力F对转轴对转轴OZ的力矩的力矩与转轴平行,不产生力矩在定轴转动中在定轴转动中,几个外力同时作用在刚体上时几个外力同时作用在刚体上时,合外力矩为合外力矩为式中正负号根据右手螺旋法则规定式中正负号根据右手螺旋法则规定刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体对刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率该轴的角动量的时间变化率比较比较转动惯量表示刚体在转动过程中表现出的惯性转动惯量表示刚体在转动过程中表现出的惯性2、转动定律、转动定律lawofrotation说明说明:* *为合外力矩为合外力矩 瞬时性：瞬时性：二者同时存在，同时
5、消失二者同时存在，同时消失 同轴性：同轴性：都是对同一确定轴而言都是对同一确定轴而言转动定律的应用隔离物体，分析受力建立坐标，求力矩列出方程，求解应用：类似牛顿定律：应用：类似牛顿定律：刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用例题：一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘例题：一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘,绳的两绳的两端分别悬有质量为端分别悬有质量为和和的物体，的物体，如图所，如图所示，设滑轮的质量为示，设滑轮的质量为m，半径为，半径为r，所受的摩擦阻力，所受的摩擦阻力矩为矩为，绳与轮之间无相对滑动。试求物体的加速，绳与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。度和绳的张力。aa解：解：受
6、力分析如图受力分析如图按牛顿运动定律和转动定律按牛顿运动定律和转动定律可列出下列方程可列出下列方程从以上各式即可解得从以上各式即可解得当不计滑轮质量当不计滑轮质量及摩擦阻力即令及摩擦阻力即令例题：一半径为例题：一半径为R，质量为，质量为m的均匀圆盘，放在粗糙的均匀圆盘，放在粗糙的水平面上。设盘与桌面间的摩擦系数为的水平面上。设盘与桌面间的摩擦系数为，令圆盘，令圆盘最初以角最初以角绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它将经过多长时间才停止转动？它将经过多长时间才停止转动？e解：取盘上一面积元解：取盘上一面积元根据转动定律根据转动定律设盘经时间设盘经时间t停止停止df质
7、量为质量为M的匀质圆盘可绕通过盘心，垂直于盘面的的匀质圆盘可绕通过盘心，垂直于盘面的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为m长为长为L的的匀质柔软绳索，设绳与盘无相对滑动，求当盘两侧绳匀质柔软绳索，设绳与盘无相对滑动，求当盘两侧绳之差为之差为s时，绳的加速度的大小。时，绳的加速度的大小。s解：选长为解：选长为、两段绳两段绳和绕着绳的盘为研究对象和绕着绳的盘为研究对象3.3定轴转动的中的功能关系定轴转动的中的功能关系1、力矩的功：、力矩的功： work done by torqueozP表示作用在刚体上表示作用在刚体上P点的点的外力，当物体绕轴有一角位移外力
8、，当物体绕轴有一角位移时，力时，力做的元功为做的元功为因为因为设刚体从设刚体从转到转到，则力，则力作的功为作的功为所有外力的功（力矩的功）所有外力的功（力矩的功）式中式中为刚体所受到的总外力矩为刚体所受到的总外力矩 对对于于定定轴轴转转动动刚刚体体，所所有有内内力力的的功功总总和和在在任任何何过过程程中中均均为为零零。（内内力力成成对对，大大小小相相等等方方向向相相反反，一一对对内力矩的代数和为零；内力矩的代数和为零；内力矩的功总和为零。）内力矩的功总和为零。）力矩的功率力矩的功率2、转动动能定理、转动动能定理rotationalkineticenergytheorem 转转动动动动能能定定理
9、理也也与与质质点点动动力力学学中中讲讲的的动动能能定定理理相相同同，只只是动能的表示形式不同而己。是动能的表示形式不同而己。 3、刚体的重力势能、刚体的重力势能 一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样。在质心时所具有的势能一样。如图所示，已知滑轮转动惯量为如图所示，已知滑轮转动惯量为J，半径为，半径为R，物体，物体的质量为的质量为m，弹簧的劲度系数为，弹簧的劲度系数为k，系统从静止释放，释，系统从静止释放，释放时弹簧无伸长。求物体下滑放时弹簧无伸长。求物体下滑x米时的速度。米时的速度。/JRm光滑光滑解解:取物体取物体m
10、、滑轮、弹簧和地、滑轮、弹簧和地球为系统，系统只有重力和弹球为系统，系统只有重力和弹力做功，机械能守恒。力做功，机械能守恒。 一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为动。已知棒长为L，质量为，质量为m，开始时棒处于水平位置。，开始时棒处于水平位置。令棒由水平位置自由下摆，求：令棒由水平位置自由下摆，求：棒在任意位置时的角加棒在任意位置时的角加速度和角速度；速度和角速度；棒摆至铅直位置时重力矩所做的功。棒摆至铅直位置时重力矩所做的功。OCCmg解：解：棒在任意位置时的重力矩棒在任意位置时的重力矩因为因为分离变量得分离变量得积分积分
11、所以所以这功即是细棒重力势能的减少这功即是细棒重力势能的减少也可根据机械能守恒求角速度也可根据机械能守恒求角速度OCCmg棒摆至铅直位置时重力矩所做的功棒摆至铅直位置时重力矩所做的功重力势重力势能零点能零点一根细棒长为一根细棒长为L，总质量为，总质量为m，其质量分布与离，其质量分布与离o点的距离成正比，现将细棒放在粗糙的水平桌面上，点的距离成正比，现将细棒放在粗糙的水平桌面上，棒可绕过其端点棒可绕过其端点o的竖直轴转动，已知棒与桌面间的的竖直轴转动，已知棒与桌面间的摩擦系数为摩擦系数为，棒的初始角速度为，棒的初始角速度为，求：，求：棒棒对给定轴的转动惯量；对给定轴的转动惯量；棒绕轴转动时受到的
12、摩擦力棒绕轴转动时受到的摩擦力矩；矩；棒从棒从到静止所经过的时间；到静止所经过的时间；棒转过一圈棒转过一圈后的角速度。后的角速度。解：解：设棒的线密度为设棒的线密度为棒绕轴转动时受到的摩擦力矩棒绕轴转动时受到的摩擦力矩f棒从棒从到静止所经过的时间到静止所经过的时间棒转过一圈后的角速度棒转过一圈后的角速度3.4定轴转动刚体的角动量定理和角动量守定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律恒定律1、定轴转动刚体的角动量定理、定轴转动刚体的角动量定理angularmomentumtheoremofarotationalrigidbodyaroundafixaxis 转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段
13、转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动物体角动量的增量时间内转动物体角动量的增量-角动量定理。角动量定理。 所以所以 由转动定律由转动定律2、定轴转动刚体的角动量守恒定律、定轴转动刚体的角动量守恒定律lawofconservationofangularmomentumofarotationalrigidbodyaroundafixaxis 当当当当物物物物体体体体所所所所受受受受合合合合外外外外力力力力矩矩矩矩等等等等于于于于零零零零时时时时，物物物物体体体体的的的的角角角角动动动动量量量量保持不变。保持不变。保持不变。保持不变。-角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒
14、定律若则由角动量定理由角动量定理说说明明1、角角动动量量定定理理和和角角动动量量守守恒恒定定律律，不不仅仅适适用用于于宏宏观观问问题题，也也适适用用于于原原子子、原原子子核核等等微微观观问问题题，因因此此角角动动量量守守定定律律是是比比牛牛顿顿定定律律更更为为基基本本的定律。的定律。2、角角动动量量定定理理和和角角动动量量守守恒恒定定律律只只适适用用于于惯惯性系。性系。n 4、内力矩可以改变系统内部各组成部分的角动、内力矩可以改变系统内部各组成部分的角动量，但不能改变系统的总角动量。量，但不能改变系统的总角动量。 3、角动量保持不变、恒矢量：角动量保持不变、恒矢量：不变，不变，也不变也不变变，
15、变，也变，但也变，但保持不变。保持不变。应用举例应用举例1、花花样样滑滑冰冰，芭芭蕾蕾舞舞演演员员的的表表演演：（绕绕通通过过重重心心的的铅铅直直轴轴高高速速旋旋转转，由由于于外外力力（重重力力，支支撑撑力力）对对轴轴的的矩矩总总为为零零，角角动动量量守守恒恒，通通过过改改变变自自身身的的转动惯量，来改变角速度）。转动惯量，来改变角速度）。2、直直升升飞飞机机尾尾部部竖竖直直的的尾尾翼翼（产产生生一一反反向向角角动动量量，避免在水平面打转）避免在水平面打转）3、跳跳水水运运动动员员，跳跳马马（伸伸直直，以以初初角角速速度度起起跳跳；卷卷缩缩，减减小小J，以以增增大大角角速速度度；伸伸直直；入入
16、水水时时J增增大了，减小角速度以保持竖直入水）大了，减小角速度以保持竖直入水）一质量为一质量为M的均匀圆盘正以角速度的均匀圆盘正以角速度旋转着，今旋转着，今有一质量为有一质量为m，速度为，速度为v的铁钉，的铁钉，从正上方从正上方从正右从正右方嵌入圆盘边缘，则圆盘的角速度分别变为多少？方嵌入圆盘边缘，则圆盘的角速度分别变为多少？vvmmRMo解：角动量守恒解：角动量守恒A和和B两飞轮绕同一中心线转动，它们的转动惯量两飞轮绕同一中心线转动，它们的转动惯量分别为分别为、，转动角速度分为，转动角速度分为、，。C为摩擦啮合器。求：为摩擦啮合器。求：两轮啮合后的角速度；两轮啮合后的角速度；啮合过啮合过程损
17、失的能量；程损失的能量；两轮各自所受的冲量矩。两轮各自所受的冲量矩。ABC解：解：系统角动量守恒系统角动量守恒能量损失能量损失冲量矩冲量矩质量分别为质量分别为、，半径分别为，半径分别为、的两的两均匀圆柱，可分别绕它们本身的轴转动，二轴平行。均匀圆柱，可分别绕它们本身的轴转动，二轴平行。原来它们沿同一转向分别以原来它们沿同一转向分别以、的角速度匀速转的角速度匀速转动，然后平移两轴使它们的边缘相接触，求最后在接动，然后平移两轴使它们的边缘相接触，求最后在接触处无相对滑动时，每个圆柱的角速度。触处无相对滑动时，每个圆柱的角速度。对上述问题有以下解法：对上述问题有以下解法：在接触处无相对滑动时在接触处
18、无相对滑动时两圆柱系统角动量守恒两圆柱系统角动量守恒由以上二式就可解出由以上二式就可解出和和，你对这种解法有何见解，你对这种解法有何见解？其中其中解：原解解：原解式是认为系统的角动量为二圆柱各自对各自式是认为系统的角动量为二圆柱各自对各自的轴的角动量之和，这样的计算是错误的，因为系统的的轴的角动量之和，这样的计算是错误的，因为系统的总角动量只能对某一个轴进行计算，此外，二圆柱在各总角动量只能对某一个轴进行计算，此外，二圆柱在各自的轴处均受外力，因此不论对哪一个轴来说，这一系自的轴处均受外力，因此不论对哪一个轴来说，这一系统的合外力矩均不为零，所以系统的角动量是不守恒的，统的合外力矩均不为零，所
19、以系统的角动量是不守恒的，正确的解法是用角动量定理，设二圆柱接触处的一对切正确的解法是用角动量定理，设二圆柱接触处的一对切向摩擦力为向摩擦力为则有则有且有且有联立以上各式可解出正确的解。联立以上各式可解出正确的解。如如图图，一一长长为为l,质质量量为为M的的杆杆可可绕绕支支点点O转转动动，一一质质量量为为m，速速率率为为v0的的子子弹弹，射射入入距距支支点点为为a的的杆杆内内，若若杆杆的的偏偏转转角角 =300，求求子子弹弹的的初初速率速率v0例题例题解：此题分两个阶段，解：此题分两个阶段，第一阶段第一阶段，子弹，子弹射入杆中，摆获得角速度射入杆中，摆获得角速度 ，尚未摆动，尚未摆动，子弹和摆
20、组成的系统所受外力对子弹和摆组成的系统所受外力对O点的点的力矩为零，力矩为零，系统角动量守恒系统角动量守恒：第二阶段第二阶段，子弹在杆中，与摆一起，子弹在杆中，与摆一起摆动，以子弹、杆和地摆动，以子弹、杆和地地球组成的系统除保守内力外，其余力不作功，于是地球组成的系统除保守内力外，其余力不作功，于是系统系统机械能守恒机械能守恒：由（2）（3）（4）式求得：代入（1）式，得：其中：解：以人和转盘组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的解：以人和转盘组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的速度为速度为 vr ，转盘相对于固定铅直轴的角速度为，转盘相对于固定铅直轴的角速度为 。当人走动。当人走动时，系统
21、所受外力对铅直轴之矩为零，故对轴时，系统所受外力对铅直轴之矩为零，故对轴角动量守恒角动量守恒： 质质量量为为M、半半径径为为R的的转转盘盘，可可绕绕铅铅直直轴轴无无摩摩擦擦地地转转动动。转转盘盘的的初初角角速速度度为为零零。一一个个质质量量为为m的的人人，在在转转盘盘上上从从静静止止开开始始沿沿半半径径为为r的的圆圆周周相相对对转转盘盘匀匀速速走走动动，如如图图。求求当当人人在在转转盘盘上上走走一一周周回回到到盘盘上上的的原原位位置置时时，转转盘盘相对于地面转过了多少角度。相对于地面转过了多少角度。例题例题所以所以|设在设在 t内，盘相对于地面转过的角度为内，盘相对于地面转过的角度为|其中其中
22、 为人相对于盘转过的角度，人走一周，为人相对于盘转过的角度，人走一周， 则因此盘相对于地面转过的角度为：则因此盘相对于地面转过的角度为：AB一轻绳绕过一半径为，质量为一轻绳绕过一半径为，质量为m/4m/4的滑轮。的滑轮。质量为质量为m m的人抓住绳的端，而绳的端系了一个质的人抓住绳的端，而绳的端系了一个质量为量为m/2m/2的重物。求人相对于绳匀速上爬时，重物上的重物。求人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度。升的加速度。选人、滑轮与重物为系统，所受的选人、滑轮与重物为系统，所受的外力矩为外力矩为解解：（方法一）：（方法一）设设u u为人相对绳的匀速度，为人相对绳的匀速度，v v为重物上升的速
23、为重物上升的速度。则系统对轴的角动量为度。则系统对轴的角动量为根据角动量定理根据角动量定理既既因因故有故有（方法二）方法二）aa滑轮滑轮物物人人解得解得质点的直线运动(刚体的平动)刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度匀速直线运动匀角速转动匀变速直线运动匀变速转动现将平动和转动的一些重要公式列表对照现将平动和转动的一些重要公式列表对照力F,质量m牛顿第二定律 F=ma力矩M，转动惯量J转动定律 动量 mv,冲量 Ft（常量）动量定理 角动量 J ,冲量矩Mt(常力矩)角动量定理 动量守恒定律角动量守恒定律平动动能常力的功动能定理转动动能常力矩的功动能定理第三部分结束结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！44
