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1、第五章第五章2 2 数学问题与数学考试数学问题与数学考试u 数学问题的数学问题的内涵内涵u 问题解决的教学问题解决的教学u 数学考试中的命题探讨数学考试中的命题探讨 学学 习习 提提 要要一、数学问题是什么一、数学问题是什么 l一般的数学问题一般的数学问题l教学中的数学问题教学中的数学问题l数学问题的发展：数学问题的发展： 从传统的问题到问题解决的提出从传统的问题到问题解决的提出一般的数学问题一般的数学问题n广义的数学问题是指在数量关系和空间形式中广义的数学问题是指在数量关系和空间形式中出现的困难和矛盾。出现的困难和矛盾。 例如几何问题，复数问题，例如几何问题，复数问题，四色问题等等。四色问题
2、等等。 n狭义的数学问题则是已经明显地表示出来的题狭义的数学问题则是已经明显地表示出来的题目，用命题的形式加以表述，目，用命题的形式加以表述， 包括证明类问题，包括证明类问题，求解类问题等。求解类问题等。 教学中的数学问题教学中的数学问题l在数学教学中，把结论已知的题目也称为问题。在数学教学中，把结论已知的题目也称为问题。l这时候的数学题指：为实现教学目标而要求师生们进行解答这时候的数学题指：为实现教学目标而要求师生们进行解答的数学知识系统，包括一个待计算的答案，一个待证明的结的数学知识系统，包括一个待计算的答案，一个待证明的结论，一个待作出的图形，一个待判断的命题，一个待建立的论，一个待作出
3、的图形，一个待判断的命题，一个待建立的概念，一个待解决的实际问题等。概念，一个待解决的实际问题等。l它们的表现形式可以是课堂上的提问、范例、课堂练习、课它们的表现形式可以是课堂上的提问、范例、课堂练习、课外作业题和测验考试题等。外作业题和测验考试题等。l其内容包括：需要建立的概念、求证的定理、待推导的公式，其内容包括：需要建立的概念、求证的定理、待推导的公式， 以及师生共同进行探讨的研究性课题。以及师生共同进行探讨的研究性课题。 数学问题的发展数学问题的发展从传统的问题到问题解决的提出从传统的问题到问题解决的提出 1 1、传统的数学题的特征：、传统的数学题的特征：接受性、封闭性接受性、封闭性和
4、和确定性确定性； 2 2、2020世纪世纪8080年代以来，国际上倡导年代以来，国际上倡导“问题解决问题解决”数学教数学教学模式，这里的问题在学模式，这里的问题在障碍性和探究性障碍性和探究性上提出了较高上提出了较高的要求，波利亚的解释为的要求，波利亚的解释为“有意识地寻求某一适当的有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。解决问题是这种寻求的活动到的目的。解决问题是这种寻求的活动”，问题的产，问题的产生过程如下图：生过程如下图：体现体现“问题解决问题解决”的数学问题类型的数学问题类型1 1、可以构建模型的非常规的
5、实际问题、可以构建模型的非常规的实际问题例例1 1 某企业有某企业有5 5个股东，个股东，100100名工人，年底公布经营业绩，名工人，年底公布经营业绩，如下表所示如下表所示 : : 1990 1990年年 19911991年年 19921992年年股东红利股东红利 5 5万万 7.5 107.5 10万万工资总额工资总额 1010万万 12.512.5万万 1515万万现在请大家分析根据此表的数据所画的三种图：现在请大家分析根据此表的数据所画的三种图： （2）（1）（3）图12 2、探究性问题、探究性问题 通过数学活动获得成功的体验建立自信以完善人格通过数学活动获得成功的体验建立自信以完善人
6、格 例例1 1：学习完三角形内角和定理，让学生探索四边形、五边：学习完三角形内角和定理，让学生探索四边形、五边形等多边形的内角和并归纳形等多边形的内角和并归纳 3 3、开放性问题、开放性问题 旨在培养学生思维的灵活性、发散性以利于学生创新精旨在培养学生思维的灵活性、发散性以利于学生创新精神的养成神的养成例例2 2：在三角形：在三角形ABCABC中三边中三边a a、b b、c c成等差数列，由此可得哪成等差数列，由此可得哪些结果些结果 4 4、情景性问题、情景性问题让让学学生生经经历历重重要要的的、有有价价值值的的数数学学思思维维活活动动的的过过程程例例3 3 （挂挂历历问问题题）挂挂历历对对于
7、于我我们们每每个个人人都都不不陌陌生生，你曾探究过其中的数学问题吗？你曾探究过其中的数学问题吗？ 数学问题解决的教学数学问题解决的教学n什么是什么是“数学问题解决数学问题解决”？ 问题解决是问题解决是指综合地、创造性地运用各种数学知识去解指综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数决那种非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。学内部的问题。n数学问题解决的教育意义数学问题解决的教育意义 学数学应该是学数学应该是“做数学做数学”，即让学生通过问题解决来，即让学生通过问题解决来学习数学。学习数学。 以以“问题解决问题解决”作为数学教育的中心
8、，则是应当努力作为数学教育的中心，则是应当努力帮助学生学会帮助学生学会“数学地思维数学地思维”。 问题解决教学的策略问题解决教学的策略1.1.创设问题情景，选择好问题；创设问题情景，选择好问题；2.2.形成知识组块，优化认知结构；形成知识组块，优化认知结构；3.3.加强数学思维解题策略训练，注意及时反馈；加强数学思维解题策略训练，注意及时反馈；4.4.引导学生开展探索活动。引导学生开展探索活动。 “以习题演练为基础，以问题解决为主导以习题演练为基础，以问题解决为主导”创新性数学问题欣赏创新性数学问题欣赏n例例1.1.（荷兰）（荷兰） A A离学校离学校1010千米，千米，B B离离A A有有3
9、 3千米，试问千米，试问B B离学校离学校几千米？几千米？n例例2.2.加工资问题（美国）加工资问题（美国） 某人在一公司工作，目前年薪为某人在一公司工作，目前年薪为1 1万元。老板万元。老板说，这里有两种方案供你选择。第一种：每一说，这里有两种方案供你选择。第一种：每一年加年加10001000元；第二种：每半年加元；第二种：每半年加300300元。试问，元。试问，如果你在该公司工作如果你在该公司工作5 5年，究竟用哪种方案得年，究竟用哪种方案得到的收入多？到的收入多？n例例3.3.门后的车（美国）门后的车（美国） 有三扇门，只有一扇门内有一辆车，若猜中即有三扇门，只有一扇门内有一辆车，若猜中
10、即开走。现我猜开走。现我猜1 1号门，然后主持人将号门，然后主持人将2 2、3 3号门中号门中无车的打开，例如无车的打开，例如3 3号门内无车。现在请问：你号门内无车。现在请问：你是否要换选是否要换选2 2号门？号门？三、数学考试中的命题探讨三、数学考试中的命题探讨n确定试卷结构确定试卷结构n单题命题的方法单题命题的方法n试卷组拼的技术试卷组拼的技术n参考答案和评分标准的编制参考答案和评分标准的编制 确定试卷结构主要考虑如下几个方面：确定试卷结构主要考虑如下几个方面：（1 1）内容覆盖率，重点内容，各章节内容比例；）内容覆盖率，重点内容，各章节内容比例；（2 2）内容要求及分数分布；）内容要求
11、及分数分布；（3 3）学科能力要求，确定各项学科能力的考查力度和考察）学科能力要求，确定各项学科能力的考查力度和考察比例；比例；（4 4）题型比例，选定本次考试拟使用的各种题型，确定各）题型比例，选定本次考试拟使用的各种题型，确定各种题型试题的比例；种题型试题的比例；（5 5）整卷难度要求和难度结构；）整卷难度要求和难度结构；（6 6）考试时间及试卷满分值；）考试时间及试卷满分值；（7 7）各种题型中，同一知识范围的试题一般不超过一个；）各种题型中，同一知识范围的试题一般不超过一个；（8 8）制定双向细目表；）制定双向细目表；（9 9）各种题型前要科学、明确、简洁、合理的指导语；）各种题型前要
12、科学、明确、简洁、合理的指导语；（1010）试卷、参考答案及评分标准的总说明要置于卷首，表述）试卷、参考答案及评分标准的总说明要置于卷首，表述确切简洁。确切简洁。 编制选择题、填空题和解答题的命题技术：编制选择题、填空题和解答题的命题技术：1 1在编制选择题时应注意：题干表述明确，不提供答案信在编制选择题时应注意：题干表述明确，不提供答案信息，不出现与答案无关的线索；选项与题干内容和谐协调，息，不出现与答案无关的线索；选项与题干内容和谐协调，连接自然流畅；正确选项与干扰选项长度、结构、属性、连接自然流畅；正确选项与干扰选项长度、结构、属性、水平等尽量接近；干扰项能反映考生的典型错误；各题正水平
13、等尽量接近；干扰项能反映考生的典型错误；各题正确项的排列随机，分布均匀。确项的排列随机，分布均匀。2 2在编制填空题时应注意：提问和限定词准确，答案准确；在编制填空题时应注意：提问和限定词准确，答案准确；空位的数量、位置适当；题目的文字表述与空位的关系确空位的数量、位置适当；题目的文字表述与空位的关系确切、无歧义；求解的过程宜短。步骤不得太多，最好是切、无歧义；求解的过程宜短。步骤不得太多，最好是2 2至至3 3步；多数考生解答填空题有惧怕心理，因此，填空题步；多数考生解答填空题有惧怕心理，因此，填空题不宜太难。不宜太难。3 3解答题的设计步骤：（解答题的设计步骤：（1 1）立意与选材；（）立
14、意与选材；（2 2）搭架与构）搭架与构题；（题；（3 3）加工与调整；）加工与调整； 将试题组成试卷的具体操作大致如下将试题组成试卷的具体操作大致如下：（1 1）首先筛选足够数量的合乎要求的试题入卷，全面落）首先筛选足够数量的合乎要求的试题入卷，全面落实各项要求，包括知识覆盖面，重点的设置，涵盖的实各项要求，包括知识覆盖面，重点的设置，涵盖的能力要求，各能力层次的试题比例，难度的分布，试能力要求，各能力层次的试题比例，难度的分布，试题的区分度，试卷的信度、效度，整体难度等等；题的区分度，试卷的信度、效度，整体难度等等；（2 2）进而将其按题型分类，每类试题有易到难排列，精）进而将其按题型分类，每类试题有易到难排列，精心排好顺序，形成初稿；心排好顺序，形成初稿；（3 3）将初稿与预先设计的试卷结构进行诸项对比，反复）将初稿与预先设计的试卷结构进行诸项对比，反复校核，慎重调整、修改；校核，慎重调整、修改；（4 4）最后，请专家和主管部门审定。）最后，请专家和主管部门审定。
