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1、高三数学一轮复习212导数的应用考考 什什 么么怎怎 么么 考考1.了解函数单调性和导数的关了解函数单调性和导数的关 系；能利用导数研究函数的单系；能利用导数研究函数的单 调性，会求函数的单调区间调性，会求函数的单调区间(其其 中多项中多项 函数一般不超过三次函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极了解函数在某点取得极值值的必的必 要条件和充分条件；会用要条件和充分条件；会用导导数数 求函数的极大求函数的极大值值、极小、极小值值(其中其中 多多项项式函数一般不超式函数一般不超过过三次三次).1.利用利用导导数研究函数的数研究函数的单调单调区区间间、极、极值值或最或最值值，如，如2009年高
2、考年高考T3.2.利用利用导导数求函数的极数求函数的极值值，或最，或最值值，如，如2010年高考年高考T14,2011年高考年高考T12.3.已知函数的极已知函数的极值值或最或最值值求参数，如求参数，如2008年高考年高考T14.备考方向要明了备考方向要明了高三数学一轮复习212导数的应用归纳归纳 知识整合知识整合1函数的单调性与导数函数的单调性与导数高三数学一轮复习212导数的应用 探究探究1.若函数若函数f(x)在在(a，b)内单调递增，那么一定内单调递增，那么一定 有有f(x)0吗？吗？f(x)0是否是是否是f(x)在在(a，b)内单调递增的充要条内单调递增的充要条件？件？ 提示：函数提
3、示：函数f(x)在在(a，b)内单调递增，则内单调递增，则f(x)0， f(x)0是是f(x)在在(a，b)内单调递增的充分不必要条件内单调递增的充分不必要条件 2函数的极值与导数函数的极值与导数 (1)函数的极小值：函数的极小值： 若函数若函数yf(x)在点在点xa处的函数值处的函数值f(a)比它在点比它在点xa附附近其他点的函数值近其他点的函数值 ，且，且f(a)0，而且在点，而且在点xa附近的附近的左侧左侧 ，右侧，右侧 ，则，则a点叫做函数的极小点叫做函数的极小值点，值点，f(a)叫做函数的极小值叫做函数的极小值都小都小f(x)0f(x)0高三数学一轮复习212导数的应用(2)函数的极
4、大值：函数的极大值：若函数若函数yf(x)在点在点xb处的函数值处的函数值f(b)比它在点比它在点xb附近附近其他点的函数值其他点的函数值 ，且，且f(b)0，而且在点，而且在点xb附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，则，则b点叫做函数的极大值点，点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数叫做函数的极大值，的极大值， 和和 统称为极值统称为极值探究探究2.导数值为导数值为0的点一定是函数的极值点吗？导数为的点一定是函数的极值点吗？导数为零是函数在该点取得极值的什么条件？零是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定可导函数的极值点导数为零，但导数为零提示：不一定可导函数的极值点导数为零，但导数为
5、零的点未必是极值点；如函数的点未必是极值点；如函数f(x)x3，在，在x0处，有处，有f(0)0，但但x0不是函数不是函数f(x)x3的极值点；其为函数在该点取得极值的的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件必要而不充分条件都大都大f(x)0f(x)0极大值极大值极小值极小值高三数学一轮复习212导数的应用3函数的最值与导数函数的最值与导数(1)函数函数f(x)在在a，b上有最值的条件：上有最值的条件：一般地，如果在区间一般地，如果在区间a，b上，函数上，函数yf(x)的图象是一的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数
6、求函数yf(x)在在a，b上的最大值与最小值的步骤为：上的最大值与最小值的步骤为：求函数求函数yf(x)在在(a，b)内的内的 ；将函数将函数yf(x)的各极值与的各极值与 的函数值的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值极值极值端点处端点处高三数学一轮复习212导数的应用探究探究3.函数的极值和函数的最值有什么联系和区函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大因此，函数在极大(小小)值，可以比极小值
7、，可以比极小(大大)值小值小(大大)；最；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间值是整体概念，最大、最小值是指闭区间a，b上所有函上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小小)值不一定是最大值不一定是最大(小小)值，最大值，最大(小小)值也不一定是极大值也不一定是极大(小小)值，但如果连续函数在区间值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值那么极大值就是最大值，极小值就是最小值高三数学一轮复习212导数的应用自测自测 牛刀小试牛刀小试1(教材习题改编教材习题改编)函数
8、函数f(x)exx的单调递增区间是的单调递增区间是_解析：解析：f(x)exx，f(x)ex1，由由f(x)0，得，得ex10，即，即x0.答案：答案：(0，)高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用3已知函数已知函数f(x)的导函数的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所的图象如图所 示，则示，则f(x)的图象可能是的图象可能是_解析：当解析：当x0时，由导函数时，由导函数f(x)ax2bxc0时，由导函数时，由导函数f(x)ax2bxc的图象可知，导数在区间的图象可知，导数在区间(0，x1)内的内的值是大于值是大于0的，则在此区间内函数的，则在此区间内函数f(x)单
9、调递增单调递增答案：答案：高三数学一轮复习212导数的应用4(教材习题改编教材习题改编)函数函数f(x)x33x22在区间在区间1,1上上的最大值是的最大值是_解析：由题意，得解析：由题意，得f(x)3x26x，令，令f(x)0，得，得x0或或x2(舍去舍去)由于由于f(1)2，f(1)0，f(0)2，故故f(x)在在1,1上的最大值为上的最大值为2.答案：答案：2高三数学一轮复习212导数的应用5若函数若函数f(x)x3x2mx1是是R上的单调增函数，则上的单调增函数，则m 的取值范围是的取值范围是_高三数学一轮复习212导数的应用运用导数解决函数的单调性问题运用导数解决函数的单调性问题高三
10、数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用1导数法求函数单调区间的一般步骤导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数确定函数f(x)的定义域；的定义域；(2)求导数求导数f(x)；(3)在函数在函数f(x)的定义域内解不等式的定义域内解不等式f(x)0和和f(x)0时为增函数；时为增函数；f(x)0时为减时为减函数函数.3利用单调性求参数取值范围的方法利用单调性求参数取值范围的方法已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件件f(x)0(或或f(x)0)，x(a，b)，转化为不等式恒成立，转化为不等式
11、恒成立求解求解高三数学一轮复习212导数的应用1已知函数已知函数f(x)x3ax1.(1)若若f(x)在实数集在实数集R上单调递增，求实数上单调递增，求实数a的取值范围的取值范围(2)是否存在实数是否存在实数a，使，使f(x)在在(1,1)上单调递减？若存上单调递减？若存在，求出在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由的取值范围；若不存在，说明理由解：解：(1)由已知由已知f(x)3x2a.f(x)在在(，)上是增函数，上是增函数，f(x)3x2a0在在(，)上恒成立，上恒成立，即即a3x2对对xR恒成立恒成立3x20，只要只要a0.高三数学一轮复习212导数的应用又又a0时，时，f(x)3x
12、20，f(x)x31在在R上是增函数上是增函数a0.(2)f(x)3x2a0在在(1,1)上恒成立上恒成立a3x2，x(1,1)恒成立恒成立又又1x1，3x23，只需，只需a3.当当a3时，时，f(x)3(x21)在在x(1,1)上，上，f(x)0，即，即f(x)在在(1,1)上为减函数上为减函数故存在实数故存在实数a3，使，使f(x)在在(1,1)上单调递减上单调递减.高三数学一轮复习212导数的应用利用导数解决函数的极值问题利用导数解决函数的极值问题高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用求可导函数求可导函数f(x)的极值的步骤的极值的步骤(1)求导数求导数f(x)
13、；(2)求方程求方程f(x)0的根；的根；(3)检验检验f(x)在方程在方程f(x)0的根的附近两侧的符号：的根的附近两侧的符号：具体如下表：具体如下表：高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用令令g(x)0，即，即(3x29x)ex0，得，得x0或或x3，当当x(，0)时，时，g(x)0，故故g(x)在在(0,3)上单调递增上单调递增当当x(3，)时，时，g(x)0，故故g(x)在在(3，)上单调递减上单调递减从而函数从而函数g(x)在在x0处取得极小值处取得极小值g(0)3，在在x3处取得极大值处取得极大值g(3)15e3.高三数学一
14、轮复习212导数的应用利用导数解决函数的最值问题利用导数解决函数的最值问题例例3已知函数已知函数f(x)(xk)ex.(1)求求f(x)的单调区间；的单调区间；(2)求求f(x)在区间在区间0,1上的最小值上的最小值自主解答自主解答(1)f(x)(xk1)ex.令令f(x)0，得，得xk1.f(x)与与f(x)的情况如下：的情况如下：x(，k1)(k1)(k1，)f(x)0f(x)ek1高三数学一轮复习212导数的应用所以，所以，f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(，k1)；单调递增；单调递增区间是区间是(k1，)(2)当当k10，即，即k1时，函数时，函数f(x)在在0,1上单调递增，
15、上单调递增，所以所以f(x)在区间在区间0,1上的最小值为上的最小值为f(0)k；当当0k11，即，即1k2时，时，由由(1)知知f(x)在在0，k1)上单调递减，在上单调递减，在(k1,1上单上单调递增，所以调递增，所以f(x)在区间在区间0,1上的最小值为上的最小值为f(k1)ek1；当当k11，即，即k2时，函数时，函数f(x)在在0,1上单调递减，上单调递减，所以所以f(x)在区间在区间0,1上的最小值为上的最小值为f(1)(1k)e.高三数学一轮复习212导数的应用保持本例条件不变，求保持本例条件不变，求f(x)在在0,1上的最大值上的最大值高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一
16、轮复习212导数的应用利用导数求最值的方法利用导数求最值的方法 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在在a，b内所有使内所有使f(x)0的点，再计算函数的点，再计算函数yf(x)在区在区间内所有使间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后的点和区间端点处的函数值，最后比较即得，也可利用函数的单调性求得比较即得，也可利用函数的单调性求得高三数学一轮复习212导数的应用3(2012江西高考江西高考)已知函数已知函数f(x)(ax2bxc)ex在在0,1上
17、上单调递减且满足单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求求a的取值范围；的取值范围；(2)设设g(x)f(x)f(x)，求，求g(x)在在0,1上的最大值和最上的最大值和最小值小值解：解：(1)由由f(0)1，f(1)0得得c1，ab1，则则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex.依题意须对于任意依题意须对于任意x(0,1)，有，有f(x)0时，因为二次函数时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口的图象开口向上，而向上，而f(0)a0，所以须，所以须f(1)(a1)e0，即，即0a1；当当a1时，对任意时，对任意x(0,1)有有f(x)(x21)ex0，f(
18、x)符符合条件；合条件；当当a0时，对于任意时，对于任意x(0,1)，f(x)xex0，f(x)符合符合条件；条件；当当a0，f(x)不符合条件不符合条件故故a的取值范围为的取值范围为0a1.高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用(1)根据极值的定义，导数为根据极值的定义，导数为0的点只是一个可疑点，的点只是一个可疑点，不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点，数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函
19、数的极值点，另一方面，极值点处的导数也不一定为另一方面，极值点处的导数也不一定为0，还要考查函数，还要考查函数在该点处的导数是否存在在该点处的导数是否存在(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论值点，要通过认真比较才能下结论.高三数学一轮复习212导数的应用答题模板答题模板函数的单调性、极值、最值问题函数的单调性、极值、最值问题典例典例(2012北京高考北京高考)(本小题满分本小题满分13分分)已知已知函数函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线若曲线yf(x)与曲线与曲线yg(x)在它们的交点
20、在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求处具有公共切线，求a，b的值；的值；(2)当当a24b时，求函数时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并的单调区间，并求其在区间求其在区间(，1上的最大值上的最大值高三数学一轮复习212导数的应用快速规范审题快速规范审题第第(1)问问高三数学一轮复习212导数的应用2审结论，明确解题方向审结论，明确解题方向高三数学一轮复习212导数的应用3建建联联系，找解系，找解题题突破口突破口高三数学一轮复习212导数的应用第第(2)问问高三数学一轮复习212导数的应用3建联系，找解题突破口建联系，找解题突破口高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数
21、的应用准确规范答题准确规范答题高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用xh(x)00h(x)高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用答题模板速成答题模板速成 用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答几步解答第一第一步求步求导导求函数求函数f(x)的的导导数数f(x)第二第二步判步判断单断单调性调性求函数求函数f(x)在给在给定区间上定区间上的单调性的单调性第三第三步求步求极点极点求函数求函数f(x)在给在给定区间上定区间上的极值的极值高三数学一轮复习212
22、导数的应用第四第四步求步求端点端点值值求函数求函数f(x)在在给定区给定区间上的间上的端点值端点值第五第五步确步确定最定最值值比较函数比较函数f(x)的的各极值与端点各极值与端点值的大小，确值的大小，确定函数定函数f(x)的最的最大值和最小值大值和最小值第六第六步反步反思回思回顾顾查看关键点，易错点查看关键点，易错点和解题规范如本题和解题规范如本题的关键点是确定函数的关键点是确定函数单调区间；易错点是单调区间；易错点是对参数的讨论对参数的讨论高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用2设设x1与与x2是函数是函数f(x)alnxbx2x的两个极值点的两个极值点(1)试确定常数试确定常数a和和b的值；的值；(2)试判断试判断x1，x2是函数是函数f(x)的极大值点还是极小值的极大值点还是极小值点，并说明理由点，并说明理由高三数学一轮复习212导数的应用高三数学一轮复习212导数的应用
