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1、勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法第一篇：勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法绪论勾股定理是世界上应用最广泛,历史最悠久,研究最深入的定理之一,是数学、几何中的重要且基本的工具。而数千年来，许多民族、许多个人对于这个定理之证明数不胜数，达三百余种。可见，勾股定理是人类利用代数思想、数学思想解决几何问题、生活实际问题的共同智慧之结晶，也是公理化证明体系的开端。第一节 勾股定理的基本内容文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。 数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为，那么a2+b2=2 事实上，它是余弦定理之一种特殊
2、形式。第二节勾股定理的证明1 欧洲在欧洲,相传最早证明勾股定理的是毕达哥拉斯，故在欧洲该定理得名毕达哥拉斯定理；又因毕达哥拉斯在证毕此定理后宰杀一百头牛庆祝，故亦称百牛定理。欧洲最早记载这一定理之书籍，属欧几里得几何原本。第 1 页 共 19 页毕达哥拉斯的证明方法（相传）：一说采用拼图法，一说采用定理法。做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为，再做三个边长分别为 a、b、的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等。a2+b2+412ab = 2+412ab ，整理即可得到。定理法就是几何原本当中的
3、证法：设ab 为一直角三角形，其中 a 为直角。从 a 点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（sas 定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。2 中国周髀算经、九章算术当中都有相关问题的记载。周髀算经的证
4、明方法：第 2 页 共 19 页“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩。”以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。验算勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推
5、出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。 赵爽弦图或许是中国人最著名的一种证法。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形 abde 是由 4 个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ab2；中间的小正方形边长为 b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：4（ab2）+（b-a）2 = 2;化简后便可得：a2 + b2= 2亦即：第 3 页 共 19 页=（a2 + b2）可见，中国古人主要采取拼图法进行证明。后来美国总统加菲尔德也曾采用
6、拼图法，利用面积巧妙的证明了勾股定理，他用了两个全等的直角三角形拼成一个梯形，利用面积法进行证明，非常巧妙。3 其他方法最快：射影定理法，利用相似形来证明。面积思想：利用三角形五心的性质，利用面积来证明。综上所述，勾股定理的证明是人类智慧的结晶。第二篇：勾股定理证明方法勾股定理证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550 年首先发现的。中国古代
7、对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：第 4 页 共 19 页我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？ 商高回答说：数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于3，另一条直角边股等于 4 的时候，那么它的斜边弦就必定是 5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前 1100 年左右的西
8、周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾 3 股 4 弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。在九章算术一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”九章算术系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246 个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。中国古代的数学家们最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。上中间的那个小正方形组
9、成的。每个直角三角形的面积为 ab2；中间的小正方形边长为 b-a，则面积为（b-a）2。第 5 页 共 19 页于是便可得如下的式子：4（ab2）+（b-a）2=2化简后便可得：a2+b2=2在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形abde 是由 4 个相等的直角三角形再加刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来，移到以弦为边的正方形的空白区域内，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。1876 年 4 月 1 日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的证法。81 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，
10、人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。第三篇：勾股定理的证明方法这个直角梯形是由 2 个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和 1 个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3 个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式第 6 页 共 19 页化简得，。第四篇：勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法。这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。的平方=3
11、 的平方+4 的平方在图一中，dab 为一直角三角形，其中 a 为直角。我们在边 ab、b 和 a 之上分别画上三个正方形 abfg、bed 和 akh。过 a 点画一直线 al使其垂直於 de 并交 de 於 l，交 b 於 m。不难证明，dfb 全等於 dabd。所以正方形 abfg 的面积=2 dfb 的面积=2 dabd 的面积=长方形 bmld 的面积。类似地，正方形 akh 的面积=长方形 mel 的面积。即正方形 bed的面积=正方形 abfg 的面积+正方形 akh 的面积，亦即是 ab2+a2=b2。由此证实了勾股定理。这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的
12、关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，两条直角边边长平方之和的几何意义，这就是以 ml 将正方形分成 bmld 和 mel 的两个部分!这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。欧几里得约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作几何原本。第 7 页 共 19 页几何原本是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。图二中，我们将 4 个大小相同的直角三角形放在一个大正方
13、形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为，其余两边的长度为a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有2=4+2展开得 a2+2ab+b2=2ab+2化简得 a2+b2=2由此得知勾股定理成立。第五篇：勾股定理证明方法勾股定理证明方法勾股定理的种证明方法【证法 1】做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为.把它们拼成如图那样的一个多边形，使 d、e、f 在一条直线上.过作 a 的延长线交 df 于点 p.d、e、f 在一条直线上,且 rtgefrtebd,egf=bed，eg
14、f+gef=90，第 8 页 共 19 页bed+gef=90，beg=180 90 =90 .又ab=be=eg=ga=，abeg 是一个边长为的正方形.ab+be=90 .rtabrtebd,ab=ebd.ebd+be=90 .即bd=90 .又bde=90 ，bp=90 ，b=bd=a.bdp 是一个边长为 a 的正方形.同理，hpfg 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 ghbe 的面积为 s，则,.【证法 2】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为.再做一个边长为的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 e、a、三点在一条直线上.过点 q 作 qpb，交
15、 a 于点 p.过点 b 作 bmpq，垂足为 m;再过点f 作 fnpq，垂足为 n.ba=90 ，qpb，第 9 页 共 19 页mp=90 ，bmpq，bmp=90 ，bpm 是一个矩形，即mb=90 .qbm+mba=qba=90 ，ab+mba=mb=90 ，qbm=ab，又bmp=90 ，ba=90 ，bq=ba=，rtbmqrtba.同理可证 rtqnfrtaef.【证法 3】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为.再做一个边长为的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以 f，ae 为边长做正方形 fji 和 aeig，ef=df-de=b-a，ei
16、=b，fi=a，g,i,j 在同一直线上，j=f=a，b=d=，jb=fd=90 ，rtjbrtfd，同理，rtabgrtade，rtjbrtfdrtabgrtadeabg=bj,bj+bj=90 ,第 10 页 共 19 页abg+bj=90 ,ab=90 ,g,b,i,j 在同一直线上，【证法 4】做三个边长分别为 a、b、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 h、b 三点在一条直线上，连结bf、d.过作 lde，交 ab 于点 m，交 de 于点l.af=a，ab=ad，fab=gad，fabgad，fab 的面积等于，gad 的面积等于矩形 adlm的面积的一半，矩形 adlm 的面积
17、=.同理可证，矩形 mleb 的面积=.正方形 adeb 的面积=矩形 adlm 的面积+矩形 mleb 的面积，即.勾股定理的别名勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因第 11 页 共 19 页为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000 多年，据记载，商高答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“
18、勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7 至 6 世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理。证明这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思的
19、 pthagoreanproposition 一书中总共提到 367 种证明方式。第 12 页 共 19 页有人会尝试以三角恒等式来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明。勾股定理的证明方法,附送：勾股定理证明勾股定理证明第一篇：勾股定理的证明方法这个直角梯形是由 2 个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和 1 个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3 个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式化简得，。第二篇：勾股定理的证明勾股定理的证明一、基本情况组长：曾烨秋组员：邱丽璇、李锐、陈应飞、黄富荣、贾雪梅 指导老师：何建荣第 1
20、3 页 共 19 页相关课程：数学一、问题提出1、背景：初中时就学习了直角三角形的勾股定理，我们对此很感兴趣，便想探究勾股定理的证明方法。2、目的：3、意义：探究出勾股定理的证明方法二、研究过程1、查阅资料：利用课间等休息时间在图书室或计算机室查阅资料。2、整理资料：在网上下载部分第三篇：勾股定理证明勾股定理证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000 多年，
21、据记载，商高（约公元前 1120 年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修第 14 页 共 19 页四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前 7 至 6 世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。以下即为一种证明方法：如图，这个直角梯形是由 2 个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和 1 个直角边为的等腰直角三角形拼成的。abeaeded梯形 abd（ab+ab+2）22 2=a2+b2，即在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和
22、初二十四班秦煜暄第四篇：奇特的勾股定理的证明如图所示,正方形 abd 连接 a,bd.因为四边形 abd 是正方形所以 a 垂直于 bd 图中的每个三角形都是直角三角形 解:设 ao 为a,bo 为 b,ab 为所以正方形的面积就是 a*b2*4=2a*b=2ab正方形的面积也可以表示为2所以 2ab=2ab+ab=2第 15 页 共 19 页因为此图是正方形所以o=bo所以 a=b所以把第一个 ab 中的 b 换成 a把第二个 a 换成 b 所以a*a+b*b=2所以 a2+b2=2第五篇：勾股定理 专题证明勾股定理 专题证明1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一
23、条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：-，- ；如图1，已知格点 o（0,0），a（3,0）,b 请你画出以格点为顶点，oa,ob 为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形 oamb ；如图2，将ab 绕顶点 b 按顺时针方向旋转 60，得到 dbe，连结ad,d,db=30。写出线段 d,a,b 的数量关系为-；（1） 如图第 16 页 共 19 页1，已知aob，oaob，点 e 在 ob 边上，四边形 aebf 是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出aob 的平分线（保留作图痕迹，不要求
24、写作法）（2）如图 2 ，1010 的正方形网格中，点 a（0，0）、b（5，0）、（3，6）、d（1，3），依次连结 a、b、d 四点得到四边形 abd，四边形 abd 的形状是-；在 x 轴上找一点 p，使得pd 的周长最短（直接画出图形，不要求写作法）；此时，点 p 的坐标为- ，最短周长为-；3. 如图正方形 abd ,e 为 ad 边上一点，f 为 d 边上一点，fea=eb,若 ae= ked, 探究 df 与 f 的数量关系；4.如图 1 等腰直角 ab，将 等腰直角dmn 如图 放置，dmn的斜边 mn 与ab 的一直角边 a 重合. 在图 1 中，绕点 d 旋转dmn，使两直
25、角边 dm、dn 分别与 交于点 e ，f 如图 2 ，求证：ae2+bf2=ef2 ； 在图 1 中，绕点 旋转dmn，使它的斜边 m、直角边 d 的延长线分别与 ab 交于点 e ，f，如图第 17 页 共 19 页3，此时结论 ae2+bf2=ef2 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 如图4，在正方形 abd 中，e、f 分别是边 b、d 上的点且满足ef 的周长等于正方形 abd 的周长的一半，ae、af 分别与对角线 bd 交于点m、n . 线段 bm 、mn 、dn 恰能构成三角形. 请指出线段 bm 、mn 、dn 所构成的三角形的形状，并给出证明；5.
26、将一块直角三角板的直角顶点绕矩形 abd（abb）的对角线的交点 o 旋转（如图），图中的 m、n 分别为直角三角形的直角边与矩形 abd 的边d、b 的交点，如图三角板一直角边与 od 重合，则线段 bn、d、n 间的数量关系为-；如图三角板一直角边与 o 重合，则线段 bn、d、n 间的数量关系为-；如图，探究线段 bn、n、m、dm 间的数量关系，写出你的结论，加以说明；若将矩形 abd 改为边长为 1 的正方形 abd，直角三角板的直角顶点绕 o 点旋转到图第 18 页 共 19 页，两直角边与 ab、b 分别交于 m、n，探究线段 bn、n、m、dm间的数量关系，写出你的结论，加以说明；6. 如图 ，四边形 abd, adb，adb ，b=90 ，ad=ab ,点e 是 ab 边上一动点，连结 ed，过 ed 的中点 f 作 ed 的垂线，交 ad 于点 g,交 b 于点 k,过点 k 作 kmad 于 m若 ab=k ae , 探究 dm 与 dg的数量关系；（用含 的式子表示）第 19 页 共 19 页
