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1、第七章直线和圆的方程7.6圆的方程（1）圆圆？问题问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.问题问题2：图：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心圆心C是定点，圆周上的点是定点，圆周上的点M是动点，它是动点，它们到圆心距离等于定长们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分，圆心和半径分别确定了圆的位置别确定了圆的位置(定位）和大小（定型）定位）和大小（定型）问题问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例
2、如）建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x,y)表示曲线上表示曲线上任意一点任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出适合条件）写出适合条件 p 的点的点M的集合的集合P=M|p(M)； （3）用坐标表示条件）用坐标表示条件p(M)，列出方程，列出方程f(x,y)=0； （4）化方程）化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 其中步骤其中步骤(1)(3)(4)必不可少必不可少下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程解：设M(x,y)是圆上任意一点，xyOrM根据圆的定义|MC|=rC由
3、两点间距离公式，得把式两边平方，得圆的标准方程说明：1.特点：明确给出了特点：明确给出了圆心圆心和和半径半径。2.确定圆的方程必须具备确定圆的方程必须具备三个三个独立的条件。独立的条件。练习练习 1.写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是）圆心在原点，半径是3；（3）经过点）经过点P(5,1)，圆心在点，圆心在点C(8,-3)（2）圆心在点）圆心在点C(3,4)，半径是，半径是 ；练习练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）（2）（3）（-1，2） 3(4) (2x-2)2+(2y+4)2=2例1、 求满足下列条件的各圆的方程:解:已知
4、圆心是C(1,3),那么只要再求出圆的半径r,就能写出圆的方程. 因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式,得OXYM(1,3)3x-4y-7=0(1)以以C(1,3)为圆心为圆心,并且和直线并且和直线3x-4y-7=0相切的圆相切的圆.(2)圆心在x轴上,半径为5且过点A(2,-3)的圆.解:设圆心在x轴上,半径为5的方程为(x-a)2+y2=52.点A(2,-3)在圆上, (2-a)2+(-3)2=52,a=-2或6.所求的圆的方程为:(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.方法总结:此方法属于待定系数法.(3)过点A(
5、1,2)和B(1,10)且与直线x-2y-1=0相切的圆的方程.解:设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2线段AB的垂直平分线为y=6,圆心坐标为(a,6),圆的方程可以写成(x-a)2+(y-6)2=r2直线x-2y-1=0与圆相切,解得a=-7或3, r2=80或20.所求圆的方程为(x+7)2+(y-6)2=80或(x-3)2+(y-6)2=20XYOX-2y-1=01A(1,2)B(1,10)C(a,6)评注:1.求圆的方程常用方法(1)定义法,(2)待定系数法.2.解题时注意充分利用圆的几何性质.3.用待定系数法求圆的方程一般步骤为:(1)根据题意,设所求方程为(x-a)2+
6、(y-b)2=r2;(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设方程得所求解方程.例例2.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点，求经过圆上一点M(x0,y0) 的切线的方程。的切线的方程。解：如图，xyOM(x0,y0)设切线的斜率为k半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是经过点M的切线方程是整理得，x0x+y0y=x02+y02因为点M(x0,y0)在圆上，所以x02+y02=r2所求切线方程是x0x+y0y=r2当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。 例例2 已知圆的方程
7、是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。P(x , y ) 由勾股定理：由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2解法二（利用平面几何知识）：解法二（利用平面几何知识）：在直角三角形在直角三角形OMP中中yxOx0x +y0 y = r2P(x , y )yxO 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。解法三（利用平面向量知识）：解法三（利用平面向量知识）：OM MP= 0OM MPx0x +y0 y = r2x2 + y2 = r2练习练习3.(1)写出过圆写出过圆x2+y2=10上一点上
8、一点M 的切线的方程的切线的方程 （2）求过点）求过点A（5，15）向圆）向圆x2+y2=25所引的切线方程。所引的切线方程。（2）解：经验证点）解：经验证点A在已知圆外在已知圆外 ，设所求切线的切点为，设所求切线的切点为M（x0,y0）,则切线方程为：则切线方程为： x0x+ y0 y=25又点又点A在切线上，所以：在切线上，所以： 5x0+15 y0 =25 所以，所求切线的方程为所以，所求切线的方程为4x-3y+25=0或或x=5练习练习4、猜想过圆、猜想过圆(x-a)+(y-b)=r上一点上一点(x。,y。)的切线方程的切线方程并给予证明。并给予证明。 切线方程为:()(。)+()(。
9、)=r练习练习5.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=1，求求（1）斜率等于）斜率等于1的切线的方程；的切线的方程；（2）在）在y轴上截距是轴上截距是 的切线的方程。的切线的方程。所以切线方程为：y = x2提示：设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离等于半径1，得： |b|12+(-1)2=1 解得b=22（2）在y轴上截距是 的切线方程。y = x+2例 3、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m， 拱高为4m。求该圆拱桥所在的圆的方程。解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。把P（0，4） B（10，0）代入圆的
10、方程得方程组：02+(4-b)2= r2102+(0-b)2=r2解得：b= -10.5 r2=14.52所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52A （-10，0）B （10，0）P （0，4）yxO 析： (x-a)2+(y-b)2=r2 变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。yxABPO E FG H C D R T x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y0,所以y=14.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)
11、答：支柱答：支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86m。 变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。yxABPO E FG H C D R T 变二：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是2米，船宽4米，问该船能否通过该桥？若能，那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。x2+(y+10.5)2=14.52小结：1、求圆的标准方程实质就是求 a、b、r2、求圆的切线方程实质就是求直线的方程3、有关圆的实际应用问题关键就是抽象出数学模型(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2已知x2+y2=1,求x+y 的最值。问题问题:解:由题可知 -1 X 1 -1 Y 1 所以 -2 X+Y 2 x x解决问题: 已知x2+y2=1,求x+y 的最值。yxo 令令x+y=0.将直线将直线x+y=0进行平移进行平移当到当到M点时点时x+y取最大值取最大值当到当到N点时点时x+y取最小值取最小值M MN N
