《微积分C第3章习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分C第3章习题（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习 2（2） ，求圆的面积为 1 时，面积变量S相对于周长l的变化率。 解 此时S是l的函数 4222llS。于是S对周长l的变化率为 2ldldS。 当1S时2l，此时12ldldS。 5(2). 设axy| ，在0x点可导，求的取值范围。 解 设axxf|)(。当0时，0x是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论0。 考虑左导数 1, 0111,0)0()(lim10axxxxxfxf， 考虑右导数 1, 0111,)()(0)0()(lim10axxxxxfxf， 因此该函数当1时在0x点可导，导数为 0. 6. 设1,1) 1sin(10,0,1)(xxbxaxxexfx。求ba,使得)
2、(xf在1, 0x可导。 解法 1 因可导必连续，则 afxfx)0(0)(lim0，则0a。这样在1x处)(xf也连续。 此时 110)0()(lim)0(0xexfxffxx，1lim0)0()(lim)0(00xxxfxffxx， 。 1111) 1 ()(lim) 1 (1xxxfxffx，bxxbxfxffxx1) 1sin(lim1) 1 ()(lim) 1 (11。 若) 1 ( f存在，则应有b1。此时1) 1 ( f。 解法 2 同理可得0a。 1lim)1(lim)0(00xxxxeef，11lim)(lim)0(00xxaxf，则1)0( f。 11lim)(lim) 1
3、 (11xxaxf，bxbxbfxx) 1cos(lim1) 1sin(lim) 1 (11。 若) 1 ( f存在，则应有b1。此时1) 1 ( f。 7. 设)(xf在点0x连续，且11)(lim0xxfx。 （1）求)0(f， （2）问)(xf在点0x处是否可导。 解 （1）由连续性可知 1)0(1)(lim0fxfx。若01)0(f，则xxfx1)(lim0， 与题设矛盾。必有01)0(f，即1)0(f。 （2）10)0()(lim1)(lim00xfxfxxfxx， 由导数定义可知)(xf在点0x处可导，1)0( f。 8. 设)(xg在点0x连续，求xxgxf2sin)()(在0x
4、处的导数。 解 由导数的定义)0(22sin)(lim2sin)(lim0)0()(lim)0( 000gxxxgxxxgxfxffxxx 注：不能xxgxxgxf2cos)(22sin)( )( ，故)0(2)0( gf。 9. 设1)0(f，2) 1 (g，1)0( f，2)0( g。 求 （1）xxfxx)(coslim0， （2）xxfxx1)(2lim0， （3）12)(lim1xxgxx 解 （1）原极限0)0()(lim11coslim1)(1coslim000xfxfxxxxfxxxx 1)0( )(cos0fxx （2）原极限 012 1)(2lim122)(2lim00xx
5、fxxfxxxxxxx 12ln2ln21)2(2)0( 022lim20)0()(lim000000xxxxxxfxxfxf （3）原极限1) 1(2lim12)(lim1222)(lim111xxxxgxxxxxgxxxx 112)(21)0( 1) 1(2lim1)0()(lim111xxxxgxxxxgxg 10. 设1)0(f，1)0( f，求极限 xxfx11)(lnlim1。 解 原极限 1) 1()0( 1lnlim0)0()(lim1ln0ln)0()(lnlim101fxxufufxxxfxfxux。 习 1. 3.求下列函数的导数 （3）xxy32log 解 3lnlog
6、23ln1log2)(loglog)(3233232xxxxxxxxxxxy。 这里用到导数公式axxaln1)(log。 （8）nkkxy0)( 解 此时)()2)(1(nxxxxy。由公式)(uvwwuvvwuuvw， 则 nknkjjjxy10)(。 用对数求导法 )ln()1ln(lnlnnxxxy 两边求导数 nxxxyy1111。 则 nxxxnxxxxnxxxyy1111)()2)(1(1111 习 1.设( )f x可导，求下列函数的导数 (3)(112xfy 解 2222222)(1)( )(2)( )(2)(11)(1)(11xfxfxfxfxfxfxfxfy （5）)(1
7、ln2xfy 解 )(1)( )(2)(1)(11222xfxfxfxfxfy 2. 求下列函数的导数 （4）ln(234)xxxy 解 1(234)(234)xxxxxxy 12ln2 ( 1)3ln3 ( 1)4ln4 ( 1)(234)xxxxxx 2ln23ln34ln4(234)xxxxxx （5）2sin 12yx 解 2sin 12sin 122sin 12cos 1212yxxxxx 12sin 12cos 12(12 )2 12xxxx 22sin 12cos 122 12xxx 2sin 12cos 12sin2 121212xxxxx 。 （6）|sin|ln21xyx
8、解 xxxxxxxyxxcossin1)1(1212ln2)(sinsin1)1(2ln211 xxxcot1212ln21。 （7）|ln22222axxaaxxy 解 )(1)(2122222222222axxaxxaaxaxxaxy )1 (122222222222axxaxxaaxxxax )(1222222222222axxaxaxxaaxxax 22222222axaaxxax 222222222axaxaxax。 （8）22ln() (0)yxxaa 解 22222222221111()2yxxaxaxxaxxaxa 2222222222221111xxaxxxaxaxxaxax
9、a （9）33222xxxy 解法一 2313313212313212313212)2()2()2()2()2()2()2(xxxxxxxxxxy 23132323212313212)2(3)2(31)2()2)(22()2(21xxxxxxxxx 2)2(12232332xxxxxxxx 解法二 对数求导法 )2ln(31)2ln(21ln32xxxy )2( 33)2(2221322xxxxxyy， )2()2(122)2( 33)2(222322332322xxxxxxxxxxxxxyy。 （10）xxy211 解 xxxxxxxeeyxxxxx2112111)211ln(211)211
10、ln()211ln()211ln( 121)211ln(211212111)211ln(2112xxxxxxxxxx 3. 设1sin,0( )0,0xxf xxx （ 全解有误） （1）若( )f x在(,) 内可导，求的取值范围； （2）若( )f x在(,) 内连续可导（即( )fx连续） ，求的取值范围。 解 （1）显然左导数(0)0f。右导数 0001sin( )(0)1(0)limlimlimsin0xxxxf xfxfxxxx， 只有在时才有极限值 0. 则此时有导数(0)0f。 于是当时，( )f x处处可导，且211sincos,0( )0,0xxxfxxxx。 （2）显然(
11、 )fx在0x 时连续（初等函数） 。 在0x 处，0011lim( )limsincosxxfxxxxx。只有在 时，这个极限存在且为 0. 4.已知2yxa与ln(12 )ybx在1x 点相切，求, a b的值。 （若两条曲线在点00(,)xy相交，且在这个交点处两条曲线的切线相同，则称两曲线在该点相切） 解 在1x 处两曲线切线的斜率分别为 21122xxxax，1122ln(12 )123xxbbbxx。 相切时应有2233bb。 根据相切的定义，在1x 处应有21ln(12 1)ab，则1ln3ab。于是3ln31a 。 5. 设)(xf在),(上可导。证明 （1）若)(xf是奇函数
12、，则)( xf是偶函数； （2）若)(xf是偶函数，则)( xf是奇函数； （3）若)(xf是周期函数，则)( xf也是周期函数且周期不变。 证 （1）若)(xf是奇函数，)()(xfxf。左边求导数)( )( )(xfxxfxf， 右边求导数)( )(xfxf，于是)( )( xfxf，即)( )( xfxf。故)( xf是偶函数。 （2）若)(xf是偶函数，)()(xfxf。左边求导数)( )( )(xfxxfxf， 右边求导数)( )(xfxf，于是)( )( xfxf，即)( )( xfxf。故)( xf是奇函数。 （3）若)(xf以T为周期，)()(xfTxf。左边求导数)( )(
13、)(TxfTxTxfTxf， 右边求导数)( )(xfxf，于是)( )( xfTxf。故)( xf以T为周期。 6. 设)(xfy 的反函数为)(yx， 利用复合函数求导数的法则证明：若)(xfy 可导且0)( xf，则)( 1)( xfy 。 解 此时)(xfx，两边对x求导可得)( )(1xfxf，于是)( 1)(xfxf，即)( 1)( xfy 。 7. 设)(xyy 是由方程xyeyx)sin(1所确定的隐函数，求 y及该函数在点)0 , 0(处的法线方程。 解 方程两端对x求导 ) () 1)(cos(xyyeyyxxy。 则 xyxyyeyxxeyxy)cos()cos(，因此
14、xyxyxeyxyeyxy)cos()cos(。 该函数所确定的曲线在原点的切线斜率为 1)0, 0(y。因此法线在该点的斜率为1k。 由点斜式可知法线的方程为xy 。 8. 设( )yy x是由方程22ln(2 )xyxy所确定的隐函数。 （1）求曲线( )yy x与直线yx 的交点坐标00(,)xy； （2）求曲线( )yy x在交点处的切线方程。 解 （1）解方程组22ln(2 )xyxyyx 。 第二个方程代入第一个方程ln(2 )0,21xyxy。可得出交点( 1,1)。 （2）隐函数求导 1(12 )222yxyyxy，将交点坐标代入 1 (12 )22 yy ， 则13 |4xy
15、 。切线为31(1)4yx ，4310yx。 习 4. 求下列函数的微分 （4）2(cos)yfx，( )f u可微 解法 1 22222(cos) (cos)(cos) ( sin) ()dyfxdxfxxd x 2222(cos)sin2 d2(cos)sindfxxx xxfxxx 。 解法 2. 因2222222(cos) (cos)(cos) ( sin)()2(cos)sinyfxxfxxxxfxx ， 则 22dd2(cos)sindyyxxfxxx 。 6. 给定方程)sin1()cos1(teytextt，求dxdy以及dydx。 解 ttttdttetedttetedxdy
16、ttttsincos1cossin1sin)cos1(cos)sin1( ttttdttetedttetedydxttttcossin1sincos1cos)sin1(sin)cos1( 9. 找原函数)(xf （1） )(tanxdfxdx 解 )sin(ln)(sinsin1cossin1sincosxdxdxxdxxdxxx。 因此Cxxfsinln)(。 习 1. 设xxexf2)(，求使得0)(xf的点。 解 xxxeexf222)( ，)1(4422)(2222xexeeexfxxxx。 令0)1(4)(2xexfx，因042 xe，则只有01 x。使得0)(xf的点为1x。 2.
17、 设2( )lnf xxx，求出使得( )0fx 的x的取值范围。 解 函数的定义域是0x 。1( )2fxxx，21( )2fxx。令2120x，则12x 。 4. 设)(xyy 是由方程yxeyx22所确定的隐函数，求)1, 1(|y及yd2。 解 在方程两端求导数 21) 1(yyeyx，可得 yxyxeey1)2( 。 于是 21yxyxeey。再求二阶导数，注意, yy都是x的函数 22)2() 1()1()2)(1()2()2)(1()2()1(yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxeyeeeyeeeeeey 3222)2()2()21()2()211()2()1()2() 1(
18、yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxeeeeeeeeeeeeye 1|)1, 1(y，2322)2(dxeedxyydyxyx。 2. 设xxxfln)(2，求使得0)(xf的x的取值范围。 解 ), 0( fD。xxxf12)( ，2221212)(xxxxf。 当212x时0)(xf，此时21x。 4. 设)(xyy 是由yxeyx22所确定的隐函数，求)1, 1(| y和yd2。 解 方程两端对x求导 21) 1 (yyeyx，解得21yxyxeey。则0| )1, 1(y。 再求导 2)2()1)(1 ()2)(1 (yxyxyxyxyxeeyeeyey。 则 1) 1
19、(011) 1(11| 2)1, 1(y。 yd2省略。 5. 设)(tf二阶可导，0)(tf。求参数方程 )( )( )(2tftyttftfx的导数dxdy。 解 dtttftftfdttftttfttftfdtftddxdy)()( )( )()( 2)( )()( 22 )()( 2)()()( 2)()()( 222tftftttftftttfdtttfdttftttf 8. 证明axnnaxeanaxxe1)()()(。 解法一 用数学归纳法。1n时，axaxaxaxeaaxaxeexe11)1()(，结论成立。 假定结论对于kn 成立，即axkkaxeakaxxe1)()()(。
20、 当1 kn时，则 axkaxkaxkkaxkaxaeakaxeaaeakaxxexe111)()1()()()()( axkaxkaxkeakaxeakaxea1)1()1()( 由属性归纳法原理可知结论成立。 解法二 用高阶导数的莱布尼兹公式 )()2()1()()(2)1()(nnnnnuvvunnvnuvuuv。 令axeu ，则axkkeau)(。令xv ，则)2(, 0, 1)(kvvk。 axnaxnaxnnaxnaxnaxeanaxenaxeaenxexe11)1()()()(001)()()(。 习 1. 是某商品的需求价格函数为rpkQ ，其中k和r是正的常数。证明需求价格
21、弹性rEp |。 解 rkrppkpQQpErrp)(1，则rEp |。 2.假设某产品的成本C关于产量q的弹性定义为dqdCCqEqC,。 证明ACMCEqC,，其中ACMC,分别表示边际成本和平均成本。 证 ACMCqCdqdCEqC,。 3. 将旅店的租房价格从每天 75 元提高到每天 80 元，会使出租量从每天 100 套降到每天 90 套。 （1）求房租为每天 75 元时的需求价格弹性。 （2）求房租为每天 75 元和 80 元时旅店的总收益。 （3）问该旅店是否应该提价。 解（1）由弹性的定义（P81）pQQpEpp0lim。因此pQQpEp，这里,100,75Qp 57580p，
22、1010090Q。则5 . 151010075pE。 （2）收益pQpR)(，7500010075)75(R，72009080)80(R。 （3）不应该提价。 习题三 1. 设)(),(xx在1x的某去心邻域内满足 （1）)()(,)(0xxxx （2）存在常数0M，使得| )()(|)(|0xxMxx （3）0)(lim)(lim11xxxxxxx 证明 若)(xf在0x可导，则 )( )()()()(lim01xfxxxfxfxx。 并求极限 )( 1)1()1(2lim0001xfxxxfxxfx 证 因)(xf在0x可导，则在该点必可微。由可微的定义可知 )(),()( )()()(0
23、000000xxoxxfxfxxff， )(),()( )()()(0000000xxoxxfxfxxff， 两式相减可得 )()()( )()(000xoxoxfff， )()()( )()(000xoxoxfff 只需证明1xx 时 0)()(00xoxo 即可。 00000000)()()()(xxxoxxxoxoxo 因 ,|0MMx Mxx1|00 则 00,xx都有界。 显然 0)(lim)(lim000011xxoxxoxxxx， 于是 0)()(lim001xoxoxx。 故 )( )()()()(lim01xfxxxfxfxx。 2. 设)(xf，)(xg在点0x可导，且)(
24、 )( ),()(0000xgxfxgxf。若函数)(xh在0x的某一邻域内满足)()()(xgxhxf。证明：)(xh在点0x可导并且)( )( )( 000xgxhxf。 证 此时必有)()()(000xgxhxf。因此)()()()()()(000xgxgxhxhxfxf 如果0xx ，则000000)()()()()()(xxxgxgxxxhxhxxxfxf。当0xx时，由夹逼准则可得到 )(xh在点0x右导数存在并且)()()(000xgxhxf 如果0xx ，则000000)()()()()()(xxxgxgxxxhxhxxxfxf。当0xx时，由夹逼准则可得到 )(xh在点0x左
25、导数存在并且)()()(000xgxhxf。 因此)(xh在点0x可导并且)( )( )( 000xgxhxf。 3. 设)(),(xgxf的定义域为R，且它们在点0x可导，证明00),(),()(xxxgxxxfxh 在点0x可导的充要条件是)( )( ),()(0000xgxfxgxf。 证 由于)(),(xgxf在点0x可导，则它们在点0x必连续。 必要性。若)(xh在点0x可导，则函数在该点必连续，从而左连续且右连续 即 )()(lim)(lim)()(00000xgxgxfxfxhxxxx。 此时)(xh在点0x的左右导数都存在且相等。 )()()(lim)()(lim)(00000
26、000xgxxxgxgxxxhxhxhxxxx， )()()(lim)()(lim)(00000000xfxxxfxfxxxhxhxhxxxx。 因此)( )( )( 000xgxfxh。 充分性。若 )( )( ),()(0000xgxfxgxf。由上面的推导反推回去可知)(xh可导。 4. 设)()2)(1()(nxxxxxf，求)()(xfn。 解 )(xf是一个1n次多项式，将它按照降幂排列展开， 则有 xnxnxxfnn!)21 ()(1， 逐项求n阶导数后可得 )2()!1(00!2)1()!1()()(nxnnnnxnxfn。 6. (1)求曲线)2, 0(,sincos33ttaytax在点)(),(tytx处的切线)(tL。 （2）证明)(tL在坐标轴上的截距的平方和等于2a。 解 （1）切线的斜率为ttdttatdttadxdytansincos3cossin322。 切线)(tL为 )(tan)(txxttyy，即)cos(cossinsin33taxtttay （2）将)(tL 变为截距式的直线方程 )cos(cossinsin33taxtttay tatattaxttysinsincossincossin32，进而1sincostaytax 显然截距的平方和为2a。
