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1、合肥工业大学误差理论与数据处理第5章线性参数的最小二乘处理合肥工业大学误差理论与数据处理 最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法本章将重点阐述最小二乘法原理在线性参数和非线性参数估计中的应用。从而使学生掌握最小二乘法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等精度测量中线性、非线性参数的最小二乘估计方法，并科学给出估计精度。教学目教学目标合肥工业大学误差理论与数据处理n n 最小二乘法原理n n 等精度测量线性参数的最小二乘处 理n n 不等精度测量线性参数的最小二乘 处理n n 最小二乘估计量的精度估计n n 组合测量的最小二乘法处理重点与重点与难点点合肥工业大学误差理论与
2、数据处理第一节最小二乘原理 一、引入一、引入待测量（难以直接测量）：直接测量量：问题：如何根据和测量方程解得待测 量的估计值？合肥工业大学误差理论与数据处理直接求得。有利于减小随机误差，方程组有冗余，采用最小二乘原理求 。第一节最小二乘原理 讨论：最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。合肥工业大学误差理论与数据处理第一节最小二乘原理 二、最小二乘原理二、最小二乘原理 设直接测量量 的估计值为 ，则有由此得测量数据 的残余误差残差方程式合肥工业大学误差理论与数据处理第一节最小二乘原理 若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为 ，则 出现在相应真值附近 区域内的概率为由概
3、率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率为合肥工业大学误差理论与数据处理第一节最小二乘原理 测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有最小由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表示为最小合肥工业大学误差理论与数据处理等精度测量的最小二乘原理：最小 不等精度测量的最小二乘原理：第一节最小二乘原理 最小最小二乘原理最小二乘原理（其他分布也适用）（其他分布也适用） 测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。合肥工业大学误差理论与数据处理第一节最小二乘原理 三、等精度测量的线性参数最小二乘原理三、等精度测量的线性参数最小二
4、乘原理线性参数的测量方程和相应的估计量为：残差方程为合肥工业大学误差理论与数据处理第一节最小二乘原理 令则残差方程的矩阵表达式为等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：合肥工业大学误差理论与数据处理不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：第一节最小二乘原理 思路一：思路一：权矩阵四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理合肥工业大学误差理论与数据处理第一节最小二乘原理 思路二：不等精度等精度思路二：不等精度等精度则有：合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组。一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方
5、程一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 正规方程：正规方程：特点：特点：主对角线分布着平方项系数，正数相对于主对角线对称分布的各系数两两相等合肥工业大学误差理论与数据处理看正规方程组中第r个方程：则正规方程可写成第二节正规方程 即正规方程的矩阵形式正规方程的矩阵形式合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 将代入到中，得（待测量的无偏估计）合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 例5.1 已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：，为。为获得时铜棒的长度和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。解： 1）列
6、出误差方程令 为两个待估参量，则误差方程为合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 按照最小二乘的矩阵形式计算则有：合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 那么：合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规 方程方程由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 整理得：合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 即不等精度的正规方程不等精度的正规方程将代入上式，得（待测量的无偏估计）合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 例5.2 某测量过
7、程有误差方程式及相应的标准差： 试求 的最可信赖值。解：首先确定各式的权合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 令合肥工业大学误差理论与数据处理三、非线性参数最小二乘处理的正规方程三、非线性参数最小二乘处理的正规方程第二节正规方程 针对非线性函数其测量误差方程为 令 ，现将函数在 处展开，则有合肥工业大学误差理论与数据处理将上述展开式代入误差方程，令则误差方程转化为线性方程组于是可解得 ，进而可得 。近似值近似值第二节正规方程 合肥工业大学误差理论与数据处理第二节正规方程 为获得函数的展开式，必须首先确定 1）直接测量2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取 最简单的t个方程式，如令
8、 ，由此可解得 。四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系 为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得n个数据 ，相应的权分别为，则测量的误差方程为合肥工业大学误差理论与数据处理按照最小二乘原理可求得结论：结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，最小二乘原理与算术平均值原理是一致的， 算术平均值原理是最小二乘原理的特例。算术平均值原理是最小二乘原理的特例。第二节正规方程 合肥工业大学误差理论与数据处理第三节精度估计 目的：给出估计量 的精度。一、测量数据精度估计一、测量数据精度估计A）等精度测量数据的精度估计对 进行n次等精度测量，得 的估计
9、量。可以证明 是自由度（nt）的 变量。根据 变量的性质，有合肥工业大学误差理论与数据处理则可取第三节精度估计 作为 的无偏估计量。因此测量数据的标准差的估计量为合肥工业大学误差理论与数据处理第三节精度估计 B）不等精度测量数据的精度估计测量数据的单位权测量数据的单位权标准差的无偏估计标准差的无偏估计合肥工业大学误差理论与数据处理第三节精度估计 二、最小二乘估计量的精度估计二、最小二乘估计量的精度估计A）等精度测量最小二乘估计量的精度估计设有正规方程合肥工业大学误差理论与数据处理第三节精度估计 设利用上述不定乘数，可求得其中：合肥工业大学误差理论与数据处理第三节精度估计 由于 为等精度 的相互
10、独立的正态随机变量，则同理可得则相应的最小二乘估计值的标准差为合肥工业大学误差理论与数据处理B）不等精度测量最小二乘估计量的精度估计第三节精度估计 同理经推导可得：各不定乘数 由 求得：合肥工业大学误差理论与数据处理第四节组合测量的最小二乘处理 组合测量：通过直接测量待测参数的组合量（一般是 等精度），然后对这些测量数据进行处理， 从而求得待测参数的估计量，求其精度估计。以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D间的距离 。ABCDABCD合肥工业大学误差理论与数据处理第四节组合测量的最小二乘处理 直接测量各组合量，得首先列出误差方程由此可得：合肥工业大学误差理论与数据处理第四节组合测量的最小二乘处理 则合肥工业大学误差理论与数据处理式中，现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入误差方程中，第四节组合测量的最小二乘处理 合肥工业大学误差理论与数据处理第四节组合测量的最小二乘处理 那么，测量数据 的标准差为合肥工业大学误差理论与数据处理第四节组合测量的最小二乘处理 已知则最小二乘估计量 的标准差为
