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1、19.1命题与证明（命题与证明（2）洛川学校一、引入概念：一、引入概念： 在数学学习中，我们很熟悉下列句子：在数学学习中，我们很熟悉下列句子： (1) (1) 能够被能够被2 2整除的数叫做偶数整除的数叫做偶数. . (2) (2) 互为补角的两个角都是锐角互为补角的两个角都是锐角. . (3) (3) 对顶角相等对顶角相等. . (4) (4) 如果两条直线都和第三条直线平行，那么如果两条直线都和第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行这两条直线也互相平行. . (5) (5) 两条直线被第三条直线所截，如果内错角两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两直线平行相等，那么这两直线
2、平行. . (6) (6) 画角平分线画角平分线. . (7) (7) 等角的余角相等吗？等角的余角相等吗？上述各句上述各句, ,哪些是哪些是对名词含义的解释对名词含义的解释? ?哪些是对某一事哪些是对某一事情作出判断的情作出判断的? ?句子（句子（1 1）是）是说明说明偶数偶数这个这个名词的含义名词的含义. .能能界定某个对象含义的界定某个对象含义的句子句子叫做叫做定义定义例如：例如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是是“两点之间的距离两点之间的距离”的定义的定义. .1.定义定义能能界定某个对象含义界定某个对象含义的句子叫做的句子叫做定义
3、定义. .请说出下列名词的定义：请说出下列名词的定义：（1 1）无理数）无理数（2 2）直角三角形）直角三角形（3 3）正比例函数）正比例函数无限不循环小数叫做无理数无限不循环小数叫做无理数. 有一个角是直角的三角形叫有一个角是直角的三角形叫做直角三角形做直角三角形.一般地，形如一般地，形如y=kx(k0)的函数叫的函数叫做正比例函数做正比例函数.二、概念教学：二、概念教学：(2)(2) 互为补角的两个角都是锐角互为补角的两个角都是锐角. .(3) (3) 对顶角相等对顶角相等. .(4) (4) 如果两条直线都和第三条直线平行，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行那么这两
4、条直线也互相平行. .(5) (5) 两条直线被第三条直线所截，如果内两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两直线平行错角相等，那么这两直线平行. .(6) (6) 画角平分线画角平分线. .(7) (7) 等角的余角相等吗？等角的余角相等吗？句子句子(2)(2)、(3)(3)、(4)(4)、(5)(5)中，都是对某一事中，都是对某一事情做出判断。情做出判断。2.命题：命题：对某一件事情做出判断，对某一件事情做出判断，像这样判像这样判断一件事情的句子叫作断一件事情的句子叫作命题命题.句子（句子（6 6）、（）、（7 7）为什么不是命题？为什么不是命题？上述各句上述各句, , 哪些哪些
5、是对某一件事情是对某一件事情作出判断的作出判断的? ? 你认为在你认为在(2)(2)至至(5)(5)句中句中, ,哪些是正确的哪些是正确的? ? 哪些不哪些不是正确的是正确的? ?(2) (2) 互为补角的两个角都是锐角互为补角的两个角都是锐角. .(3) (3) 对顶角相等对顶角相等. .(4) (4) 如果两条直线都和第三条直线平行，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行. .(5) (5) 两条直线被第三条直线所截，如果内两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两直线平行错角相等，那么这两直线平行. .在数学中，许多命题是由在数学中，许多
6、命题是由题设题设（或已知条件）、（或已知条件）、结论结论两部分组成的两部分组成的.题设是已知事项；结论是由已知事项推题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成出的事项，这样的命题常可写成“如果如果.，那么，那么.”.”的形式的形式.用用“如果如果”开始的部分就是题设，开始的部分就是题设，而用而用“那么那么”开始的部分就是结论开始的部分就是结论.（正确正确）（不不正确正确） 其判断为正确的命题叫其判断为正确的命题叫作作真命题真命题；其判断为错误；其判断为错误的命题叫作的命题叫作假命题假命题.（正确正确）（正确正确）例题例题1 1 指出下列命题的条件和结论，并改写成指出下列命题
7、的条件和结论，并改写成“如如果果那么那么”的形式：的形式：（1 1）三条边对应相等的两个三角形全等）三条边对应相等的两个三角形全等. .结论结论题设题设条件是什么条件是什么? ?结论是什么结论是什么? ? 如果如果两个三角形有三条边对应相等两个三角形有三条边对应相等，那么，那么这两这两个三角形全等个三角形全等. . （2 2）在同一个三角形中，等角对等边；）在同一个三角形中，等角对等边；这是一条简洁叙述这是一条简洁叙述同一个三角形中，同一个三角形中，有两个内角相等有两个内角相等改写成：改写成：如果如果在同一个三角形中，有两个内角相在同一个三角形中，有两个内角相等，等，那么那么这两个角所对的边也
8、相等这两个角所对的边也相等. .结论是什么结论是什么? ?条件是什么条件是什么? ?这两个角所对的边这两个角所对的边也相等也相等改写成：改写成：如果如果两个角是对顶角，两个角是对顶角，那么那么这两个角相等这两个角相等. .（3 3）对顶角相等）对顶角相等. .这是一条简洁叙述这是一条简洁叙述条件是什么条件是什么? ?结论是什么结论是什么? ?两个角是对顶角两个角是对顶角这两个角相等这两个角相等改写成：改写成：如果如果两个角是同一个角的余角，两个角是同一个角的余角，那么那么这两个角相等这两个角相等. .反馈练习二反馈练习二 书书P89 P89 第第2 2题题(4)(4)同角的余角相等同角的余角相
9、等. .条件是什么条件是什么? ? 两个角是同一个角的余角两个角是同一个角的余角结论是什么结论是什么? ?两个角相等两个角相等2. 指出下列命题的题设和结论,并判断命题的真假:(1) 同旁内角相等,两直线平行.(2) 全等三角形的对应边相等.(3) 在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.(4) 在一个三角形中,等边对等角.(5) 关于某个点中心对称的两个三角形全等.(6) 等角的补角相等.题设题设题设题设题设题设题设题设题设题设题设题设结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题3、公理 数学中有些命题的正
10、确性是人们在长期实数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理真假的原始依据，这样的真命题叫做公理. . 公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理. 例如在以前的学习中，我们通过操作实验，例如在以前的学习中，我们通过操作实验，归纳出下面一些基本事实：归纳出下面一些基本事实： 已经知道下面命题是真命题，并将这些真命题均已经知道下面命题是真命题，并将这些真命题均作为公理作为公理. .n两点之间线段最短两点之间线段最短. .（线段的基本性质线段的基本性质）n过直线外一点有且只有一条直线
11、与已知直线过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行平行. .（平行线的基本性质平行线的基本性质）n过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. . （垂线的基本性质垂线的基本性质）n同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行. .（平行线的判定方平行线的判定方法法1 1）n两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等. .（平行线的性质平行线的性质1 1）4、定理n定理：定理：有些命题是从公理或其他真命有些命题是从公理或其他真命题出发，题出发，用推理方法证明为正确的用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样
12、的真命题叫做定理据，这样的真命题叫做定理. .n注意：注意：定理和公理都可以作为定理和公理都可以作为判断其判断其他命题真假的依据他命题真假的依据. . 请举例：依据公理或其他真命题，可以推请举例：依据公理或其他真命题，可以推导出的定理？导出的定理？ （1 1）三角形任何两边的和大于第三边）三角形任何两边的和大于第三边. . （2 2）两条直线被第三条直线所截，如果内错）两条直线被第三条直线所截，如果内错 角相等，那么这两条直线平行角相等，那么这两条直线平行. . （3 3） 对顶角相等对顶角相等. . （4 4）如果两条直线都和第三条直线平行，那）如果两条直线都和第三条直线平行，那 么这两条直
13、线也互相平行么这两条直线也互相平行. .判断正误：判断正误：（1 1）所有的命题都是公理）所有的命题都是公理. .（2 2）所有的真命题都是定理）所有的真命题都是定理 . .（3 3）所有的定理是真命题）所有的定理是真命题. .（4 4）所有的公理是真命题）所有的公理是真命题 . .确认一个命题是真命题，要确认一个命题是真命题，要经过经过证明证明. .那么证明真命题那么证明真命题需要有哪些步骤呢？需要有哪些步骤呢？（1 1）根据题意做出根据题意做出图形，并在图上标出图形，并在图上标出必要字母或符号必要字母或符号. .（2 2）根据题设和结根据题设和结论，结合图形，写出论，结合图形，写出“已知已
14、知”和和“求证求证”. .已知：在 中，求证： 180. （3 3）经过分析，找经过分析，找出由已知推出结论出由已知推出结论的途径，写出证明的途径，写出证明过程过程. .证明：过点A作EFBC，EFBC， EAB=B，FAC=C （两直线平行，内错角相等）， EAB+A+FAC=180 （平角的意义）， B+A+C=180（等量代换）EF如何证明一个如何证明一个命题是假命题命题是假命题呢？呢？例： 证明三角形三个内角和为180.证明：证明：例如两个直角，它们互补，但都不是例如两个直角，它们互补，但都不是 锐角，所以这个命题是假命题锐角，所以这个命题是假命题. . 通常只要举出一个通常只要举出一
15、个反例反例即可即可. .你还能举出其他的假命题并证你还能举出其他的假命题并证明吗？明吗？例题例题2 2 证明证明“互为补角的两个角都是锐角互为补角的两个角都是锐角”是假命题是假命题. .如何证明一个如何证明一个命题是假命题命题是假命题呢？呢？三、课堂小结三、课堂小结 1. 1. 知道定义、命题、真命题、假命题、公理、知道定义、命题、真命题、假命题、公理、 定理等概念定理等概念. . 2. 2. 会把命题改写成会把命题改写成“如果如果那么那么”的的形式形式. . 3. 3. 知道证明一个命题为真命题的一般过程；知道证明一个命题为真命题的一般过程；知道证明一个命题为假命题只要举一个反例知道证明一个命题为假命题只要举一个反例. . 三、课堂小结三、课堂小结四、布置作业：四、布置作业： 练习册，习题练习册，习题19.119.1（2 2）
