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1、微分方程建模微分方程建模传染病模型传染病模型1PPT学习交流传染病模型传染病模型目的目的 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律,按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型2PPT学习交流一、微分方程建模一、微分方程建模在研究实际问题时,常常会涉及到某些变量的变化率或导数问题,这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系,因此,要得到直接关系,就得求解微分方程。求解
2、微分方程有三种方法:1)求精确解;2)求数值解(近似解);3)定性理论方法。3PPT学习交流建立微分方程模型的方法(1)根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。(2)微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式,与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。4PPT学习交流(3)模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中,许多现象的规律性不很清楚,即使有所了解也是极其复杂的,建模时在不同的假设下去模拟实际的现象,建立能近似反映问题的微分方程,然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质,再去同实际情况对比,检验此模型能否刻
3、画、模拟某些实际现象。5PPT学习交流二、问题重述二、问题重述问题:有一种传染病(如SARS、甲型H1N1)正在流行。现在希望建立适当的数学模型,利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究,以期对其传播蔓延进行必要的控制,减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题,建立适当的数学模型,并进行一定的比较分析和评价展望。1、不考虑环境的限制,设单位时间内感染人数的增长率是常数,建立模型求t时刻的感染人数。2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数,最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。6PPT学习交流3、现有卫生防疫部门采集到的
4、某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据(见下表),利用该数据确定上述两个模型中的相关参数,并将它们的预测值与实际数据进行比较分析(计算仿真偏差)并对两个模型进行适当的评价。(注:该问题中,设最大可感染人数为2000人)4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者,易感染者因与患病者接触而得病,而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能,建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系,并对传染情况(如流行趋势,是否最终消灭)进行预测。7PPT学习交流三、问题分析三、问题分析1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题,其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料,可通过建立相应的微分方程
5、模型加以解决。2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。3、在实际中,感染人数是离散变量,不具有连续可微性,不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口,这种变化与整体人口相比是微小的。因此,为了利用数学工具建立微分方程模型,我们还需要一个基本假设:感染人数是时间的连续可微函数。8PPT学习交流三、问题求解三、问题求解3.1、问题1的解答模型一A、模型假设1)、感染人数是时间的连续可微函数;2)、单位时间内感染人数的增长率是常数,或单位时间内感染人数的增长量与当时的感染人数成正比。9PPT学习交流B、模型构成设t时刻的感染人数为,初始时刻()的感染者人数为,感染者的增长率为r,
6、根据单位时间内感染人数的增长率是常数的假设,t到时间内感染人数的增量为:因此,满足如下的微分方程:10PPT学习交流C、模型求解这是一个线性常系数微分方程,容易求得其解为:D、模型分析由上述解的形式,可以看出,感染人数将随着时间的增长按指数规律无限增长。特别地,当时间趋向于无穷时,感染人数也将趋向于无穷大。这显然是不符合现实的,说明该模型不可能用于传染病的长期预报,同时也说明迫切需要对该模型进行必要的修正。11PPT学习交流E、改进方向单位时间内感染人数的增长率不是常数,而是逐渐下降的。原因:感染人数增长到一定数量后,环境条件、人口总数等因素将对感染者数量的增长起阻滞作用,且阻滞作用随感染者数
7、量增加而变大。增长率是感染人数的减函数:感染者越多,增长率越低。12PPT学习交流3.2、问题2的解答模型二A、模型假设1)、感染人数是时间的连续可微函数;2)、感染人数受环境条件的限制,有一个最大的可感染人数。3)、单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关,是其线性函数,最大感染时对应增长率为零。13PPT学习交流B、模型构成仍然设t时刻的感染人数为,初始时刻()的感染者人数为,感染者人数为0时,感染人数的增长率为。根据单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关,是其线性函数的假设,可得增长率关于感染者人数的线性函数关系式:14PPT学习交流进一步,由最大感染时对应的增长率为零可确定参数k的值
8、为:因此,在该模型的假设下,感染人数应满足如下的微分方程:15PPT学习交流C、模型求解这是一个非线性微分方程,利用微分方程中的分离变量法,求得其解为:16PPT学习交流D、模型分析a)、根据前述微分方程作出dx/dtx的曲线图,见图1-1,这是一条抛物线。由该图可看出感染人数增长率随感染人数的变化规律:增长率随着感染人数的增加而先增后减,在xm/2时达到最大。这预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门关注和需要密切注意的时刻。因为感染人数增长率在一定程度上代表了医疗卫生水平,增长率越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。17PPT学习交流b)、根据模型求解得到
9、的结果作出xt曲线,见图1-2,这是一条S型曲线。由该图可看出感染人数随时间的变化规律:可以看出,当时间趋于无穷时,x(t)趋于xm,且对一切t,x(t)1/ x(t)先升后降至先升后降至0P2: y01/ x(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2y029PPT学习交流预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段(患病率患病率) 卫生水平卫生水平 (治愈治愈率率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件y01/ 降低降低 y0 提高阈值提高阈值 1/ 降低降低 (=/) , 群体免疫群体免疫30PPT学习交流此课件下载可自行编辑修改,供参考!感谢您的支持,我们努力做得更好!31PPT学习交流