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1、微分方程建模微分方程建模传染病模型传染病模型1PPT学习交流传染病模型传染病模型目的目的 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型2PPT学习交流一、微分方程建模一、微分方程建模在研究实际问题时，常常会涉及到某些变量的变化率或导数问题，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求解微分方程。求解
2、微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。3PPT学习交流建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。4PPT学习交流（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻
3、画、模拟某些实际现象。5PPT学习交流二、问题重述二、问题重述问题:有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。6PPT学习交流3、现有卫生防疫部门采集到的
4、某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人）4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。7PPT学习交流三、问题分析三、问题分析1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程
5、模型加以解决。2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。8PPT学习交流三、问题求解三、问题求解3.1、问题1的解答模型一A、模型假设1)、感染人数是时间的连续可微函数；2)、单位时间内感染人数的增长率是常数，或单位时间内感染人数的增长量与当时的感染人数成正比。9PPT学习交流B、模型构成设t时刻的感染人数为，初始时刻()的感染者人数为，感染者的增长率为r，
6、根据单位时间内感染人数的增长率是常数的假设，t到时间内感染人数的增量为：因此，满足如下的微分方程：10PPT学习交流C、模型求解这是一个线性常系数微分方程，容易求得其解为：D、模型分析由上述解的形式，可以看出，感染人数将随着时间的增长按指数规律无限增长。特别地，当时间趋向于无穷时，感染人数也将趋向于无穷大。这显然是不符合现实的，说明该模型不可能用于传染病的长期预报，同时也说明迫切需要对该模型进行必要的修正。11PPT学习交流E、改进方向单位时间内感染人数的增长率不是常数，而是逐渐下降的。原因：感染人数增长到一定数量后，环境条件、人口总数等因素将对感染者数量的增长起阻滞作用，且阻滞作用随感染者数
7、量增加而变大。增长率是感染人数的减函数：感染者越多，增长率越低。12PPT学习交流3.2、问题2的解答模型二A、模型假设1)、感染人数是时间的连续可微函数；2)、感染人数受环境条件的限制，有一个最大的可感染人数。3)、单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数，最大感染时对应增长率为零。13PPT学习交流B、模型构成仍然设t时刻的感染人数为，初始时刻()的感染者人数为，感染者人数为0时，感染人数的增长率为。根据单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数的假设，可得增长率关于感染者人数的线性函数关系式：14PPT学习交流进一步，由最大感染时对应的增长率为零可确定参数k的值
8、为：因此，在该模型的假设下，感染人数应满足如下的微分方程：15PPT学习交流C、模型求解这是一个非线性微分方程，利用微分方程中的分离变量法，求得其解为：16PPT学习交流D、模型分析a)、根据前述微分方程作出dx/dtx的曲线图，见图1-1，这是一条抛物线。由该图可看出感染人数增长率随感染人数的变化规律：增长率随着感染人数的增加而先增后减，在xm/2时达到最大。这预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注和需要密切注意的时刻。因为感染人数增长率在一定程度上代表了医疗卫生水平，增长率越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。17PPT学习交流b)、根据模型求解得到
9、的结果作出xt曲线，见图1-2，这是一条S型曲线。由该图可看出感染人数随时间的变化规律：可以看出，当时间趋于无穷时，x(t)趋于xm，且对一切t，x(t)1/ x(t)先升后降至先升后降至0P2: y01/ x(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2y029PPT学习交流预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段(患病率患病率) 卫生水平卫生水平 (治愈治愈率率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件y01/ 降低降低 y0 提高阈值提高阈值 1/ 降低降低 (=/) , 群体免疫群体免疫30PPT学习交流此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！31PPT学习交流
