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1、第六讲：正态分布第六讲：正态分布1正态分布社会统计学原理学习目标学习目标n掌握正态分布的特性；掌握正态分布的特性；n正态分布曲线下面积的含义；正态分布曲线下面积的含义；n标准分的计算和应用；标准分的计算和应用；n利用标准正态分布表计算概率。利用标准正态分布表计算概率。n理解大数定理和中心极限定理理解大数定理和中心极限定理2正态分布社会统计学原理一、什么是正态分布？一、什么是正态分布？3正态分布社会统计学原理从从 “分布分布” 说起说起4正态分布社会统计学原理直方图直方图用长条的面积来表示频次或用长条的面积来表示频次或相对频次；相对频次；折线图折线图用直线连接直方图中条形顶用直线连接直方图中条形
2、顶端的中点；端的中点；当组距逐渐减小时，折线将逐渐平滑为曲当组距逐渐减小时，折线将逐渐平滑为曲线。线。5正态分布社会统计学原理峰点（峰点（Peak)研究研究单峰单峰多峰多峰6正态分布社会统计学原理几种常见的频数分布曲线几种常见的频数分布曲线对称分布对称分布右偏分布右偏分布左偏分布左偏分布正正J J型分布型分布反反J J型分布型分布U U型分布型分布7正态分布社会统计学原理 一、一、 正态分布曲线正态分布曲线 x x ( (x x) )8正态分布社会统计学原理1.1 什么是正态分布？什么是正态分布？1 1、由德国数学家高斯提出，也叫高斯分布；、由德国数学家高斯提出，也叫高斯分布；2 2、自然界、
3、社会经济生活中大量存在的分布规、自然界、社会经济生活中大量存在的分布规律；律；3 3、经典统计推断的基础；、经典统计推断的基础；4 4、在所有的分布中，、在所有的分布中，正态分布居于首要正态分布居于首要位置；位置；x xf f ( (x x) )9正态分布社会统计学原理1.2 正态分布的基本特征正态分布的基本特征特征一特征一：一个高峰：一个高峰特征二特征二：一条对称轴：一条对称轴特征三特征三：一条渐近线：一条渐近线x xf f ( (x x) )M0Md= 众值众值= =中位值均值中位值均值10正态分布社会统计学原理1.3 正态分布的数学表达式正态分布的数学表达式(x) = 随机变量随机变量
4、X 的频次（概率密度）的频次（概率密度） 总体标准差；总体标准差； = 总体方差总体方差 = 总体均值总体均值 =3.14159; e = 2.71828x = 随机变量的取值随机变量的取值 (- x )11正态分布社会统计学原理1.4 两个参数的影响两个参数的影响（ ， ）位置参数位置参数均均 值值标准差标准差 形状参数形状参数12正态分布社会统计学原理1.4.1 对正态曲线的影响对正态曲线的影响1 2 31 2 313正态分布社会统计学原理1.4.2 对对正态曲线的影响正态曲线的影响x(x)CAB曲线A和B的比较14正态分布社会统计学原理正态分布社会统计学原理n正态曲线的位置由均值正态曲线
5、的位置由均值 决定；决定；n正态曲线的形状正态曲线的形状“高，矮，胖，瘦高，矮，胖，瘦”的特点由标准差的特点由标准差 决定；决定；n 当当 较小时，曲线较小时，曲线“高高”且且“瘦瘦”；n n 当当 较大时，曲线较大时，曲线“矮矮”且且“胖胖”。 16正态分布社会统计学原理二、正态曲线下的面积二、正态曲线下的面积17正态分布社会统计学原理2.1 正态曲线下面积的涵义正态曲线下面积的涵义n随机变量的频次总和；随机变量的频次总和；n一般把正态曲线下的总面积约等于一般把正态曲线下的总面积约等于1，这时一定区间内的频次分布表现为概这时一定区间内的频次分布表现为概率分布。率分布。18正态分布社会统计学原
6、理2.2 正态曲线的一个重要性质正态曲线的一个重要性质 无论正态曲线具有哪种均值和标准无论正态曲线具有哪种均值和标准差，在均值和横坐标某一点的距离内差，在均值和横坐标某一点的距离内（用标准差来表示）曲线下的面积是常（用标准差来表示）曲线下的面积是常数。数。 下图说明此意。下图说明此意。19正态分布社会统计学原理正态曲线下的面积（图）正态曲线下的面积（图） -2 +22.3%2.3% - + 95.46%68.26%20正态分布社会统计学原理2.3 几个典型取值区间的概率值几个典型取值区间的概率值nP( - + ) =0.6827;nP( -2 +2 )=0.9545;nP( -3 +3 )=0
7、.9973;21正态分布社会统计学原理三、标准正态分布三、标准正态分布22正态分布社会统计学原理3.1 什么是标准正态分布什么是标准正态分布 以标准差为单位的正态分布一以标准差为单位的正态分布一般称为标准正态分布般称为标准正态分布（standardized normal distribution)23正态分布社会统计学原理3.2 标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性 简化统计分析简化统计分析 一般的正态分布取决于均值一般的正态分布取决于均值 和标准差和标准差 ； 计计算算概概率率时时，每每一一个个正正态态分分布布都都需需要要有有自自己己的的正正态态概概率率分分布布表表，这这种种表表格格是是
8、无无穷穷多多的的 若若能能将将一一般般的的正正态态分分布布转转化化为为标标准准正正态态分分布，计算概率时只需要查一张表布，计算概率时只需要查一张表24正态分布社会统计学原理3.3 标准分标准分（Standard scores)n公式公式:Z Z值代表每个值代表每个X X值在标准正态分布上的数值。值在标准正态分布上的数值。25正态分布社会统计学原理3.4 标准正态分布的表达式标准正态分布的表达式正态分布的表达式为：正态分布的表达式为： N（ ， ）标准正态分布的表达式为：标准正态分布的表达式为： N（0，1）标准正态分布是一般正态分布的特例，即标准正态分布是一般正态分布的特例，即 0 0， 1
9、1的正态分布。的正态分布。26正态分布社会统计学原理3.5 标准分的实际意义标准分的实际意义n各总体之间可以通过标准分进行合理的比较各总体之间可以通过标准分进行合理的比较n不同总体间综合指标的比较不同总体间综合指标的比较n如如:甲城市居民月收入的均值为甲城市居民月收入的均值为3000元，标准差元，标准差为为500元；乙城市居民月收入的均值为元；乙城市居民月收入的均值为4500元，元，标准差为标准差为1000元。若甲城市的居民元。若甲城市的居民A的月收入的月收入为为4000元，乙城市居民元，乙城市居民B的月收入为的月收入为5500元。元。看起来看起来B的收入比的收入比A的高，但与本地其他居民相的
10、高，但与本地其他居民相比较，结果可能有所不同。这时候就需要把比较，结果可能有所不同。这时候就需要把A与与B的收入都转换成标准值，进行更加直观的的收入都转换成标准值，进行更加直观的比较。比较。n结果是？结果是？27正态分布社会统计学原理3.6 标准分的应用标准分的应用例题例题:李明参加了全校新生入学摸底考李明参加了全校新生入学摸底考试，数学得了试，数学得了90分，英语得了分，英语得了75分。分。假定全校新生数学成绩的均值假定全校新生数学成绩的均值 =85分，标准差分，标准差 =10分；全校新生英语成绩分；全校新生英语成绩的均值的均值 =60分，标准差分，标准差 =5。这次考。这次考试李明哪门科目
11、考试考得好一些？试李明哪门科目考试考得好一些？28正态分布社会统计学原理3.7 标准正态分布的面积标准正态分布的面积nP(-1 Z 1 ) =0.6827;nP(-2 Z 2 ) =0.9545;nP(-3 Z 3 ) =0.9973; 由于标准正态分布由于标准正态分布N（0，1）的图形是的图形是唯一的，因此使用标准正态分布无须唯一的，因此使用标准正态分布无须自己计算，只需要学会查表就行了。自己计算，只需要学会查表就行了。29正态分布社会统计学原理四、标准正态分布表的使用四、标准正态分布表的使用30正态分布社会统计学原理4.1 标准正态分布表的介绍标准正态分布表的介绍见教材见教材P385附录二
12、附录二有问题有问题31正态分布社会统计学原理4.2标准正态分布的计算标准正态分布的计算【例【例5】已知】已知服从标准正态分布服从标准正态分布N（0，1），），求求P（ 1.3)=?1.3)=?解：因为解：因为 服从标准正态分布服从标准正态分布N N（0 0，1 1），），可可直接查附表直接查附表4 4，根据，根据z=1.3z=1.3，有有 P P（ 1.3)= 1.3)= 1.31.3 =0.9032=0.9032Xi:大写大写，小写，小写读作：克西读作：克西 32正态分布社会统计学原理【例【例6】:已知已知服从标准正态分布服从标准正态分布N（0，1），），求求P（ 1.3)=?1.3)=?解
13、：因为解：因为 1 1，而而 P P（ 1.3)1.3) P P（ 1.3)1.3)1 1因此有因此有P P（ 1.3)1.3)1 1 P P（ 1.3)1.3)1 1 1.31.3 0.09680.096833正态分布社会统计学原理【例【例7】已知已知服从标准正态分布服从标准正态分布N（0，1），），求求P（ 1.3)=?1.3)=?解：附表四中没有给出解：附表四中没有给出Z0Z0的的 Z Z 值。根值。根据标准正态分布图形是以据标准正态分布图形是以Z Z0 0为对称的为对称的原理，原理，P P（ 1.3)=11.3)=1 1.31.3 0.09680.096834正态分布社会统计学原理【例
14、【例8】已知已知服从标准正态分布服从标准正态分布N（0，1），），求求P（1.3 2.3）？）？解：解： P P（1.3 1.3 2.3 2.3） 2.32.3 1.31.3 =0.9893 =0.98930.9032=0.08610.9032=0.086135正态分布社会统计学原理【例【例9】根据统计，北京市初婚年龄服从正态分布。其均值为根据统计，北京市初婚年龄服从正态分布。其均值为25岁，标岁，标准差为准差为5岁，问岁，问25岁到岁到30岁之间结婚的人，其百分比为多少岁之间结婚的人，其百分比为多少？解：解：1. 1. 年龄换为标准分：年龄换为标准分：Z1Z1 ，Z2Z22. 2. 查表得查
15、表得 Z1Z1 0.50, 0.50, Z2Z2 0.84130.8413 Z2Z2 - - Z1Z1 =0.3413,=0.3413,所以所以2525岁到岁到3030岁之间结婚的人，百分数为岁之间结婚的人，百分数为34.13%.34.13%.36正态分布社会统计学原理4.3 标准正态分布表的使用标准正态分布表的使用1. 通通过过标标准准分分公公式式，将将一一般般为为正正态态分分布布转转换换为为标标准正态分布；准正态分布；2. 计算概率时计算概率时 ，查标准正态分布表；，查标准正态分布表；3. 对于负的对于负的 x ，可由可由 (-x) x 得到；得到；4. 对于标准正态分布，即对于标准正态分
16、布，即XN(0,1)，有有nP (a X b) b a nP (|X| a) 2 a 137正态分布社会统计学原理常用的标准值常用的标准值Z 1.65,1.65,概率概率P P为为0.05;0.05;Z 1.96,1.96,概率概率P P为为0.025;0.025;Z 2.58,2.58,概率概率P P为为0.005;0.005;38正态分布社会统计学原理五、大数定理和中心极限定理五、大数定理和中心极限定理39正态分布社会统计学原理5.1 极限定理极限定理 简简单单讲讲，凡凡是是采采用用极极限限的的方方法法（例例如如，观观察察次次数数n n趋趋于于无无限限）所所得得出出的的一一系系列列定定理理
17、统统称极限定理。称极限定理。 极限定理分为两类：极限定理分为两类： 大数定理大数定理（Law of large numbers） 中心极限定理中心极限定理 (Central limit theorem) 40正态分布社会统计学原理5.2 大数定理大数定理【例子】【例子】 从扑克牌盒中取出一张牌，出现牌从扑克牌盒中取出一张牌，出现牌“K K”的概率是的概率是1/131/13，在取的次数比较少，在取的次数比较少时，出现时，出现“K K”的频率可能与的频率可能与1/131/13相差得相差得很大，但是在取的次数很多时，出现很大，但是在取的次数很多时，出现“K K”的频率接近的频率接近1/131/13几
18、乎是必然的。几乎是必然的。 41正态分布社会统计学原理5.2 大数定理大数定理 这这些些例例子子说说明明，在在大大量量随随机机现现象象中中，不不仅仅看看到到了了随随机机事事件件频频率率的的稳稳定定性性，而而且且还还看看到到平平均均结结果果的的稳稳定定性性。这这就就是是概概率率论论中中大大数数定定理理的的概概念念。阐阐明明大大量量随随机机现现象象平平均均结结果果的的稳定性的一系列定理稳定性的一系列定理。 著著名名的的大大数数定定理理：贝贝努努里里大大数数定定理理和和切切贝谢夫大数定理贝谢夫大数定理 42正态分布社会统计学原理5.2.1 贝努里大数定理贝努里大数定理 多次重复试验，随机事件的频率日
19、多次重复试验，随机事件的频率日趋稳定，具有接近概率的趋势。趋稳定，具有接近概率的趋势。 43正态分布社会统计学原理5.2.2 切贝谢夫大数定理切贝谢夫大数定理 多次重复试验，随机变量的平均值多次重复试验，随机变量的平均值接近数学期望（即总体均值）。接近数学期望（即总体均值）。 44正态分布社会统计学原理5.3 中心极限定理中心极限定理 任何变量，不管其原有分布如何，任何变量，不管其原有分布如何，如果把它们如果把它们n 个加在一起，只要个加在一起，只要n足够大，足够大，其和的分布必然接近正态分布，均值的其和的分布必然接近正态分布，均值的分布也接近正态分布。分布也接近正态分布。 45正态分布社会统
20、计学原理 为什么社会经济为什么社会经济生活、自然界存在生活、自然界存在许多随机变量的分许多随机变量的分布都服从正态分布布都服从正态分布？ 请结合中心极限请结合中心极限定理来解释。定理来解释。46正态分布社会统计学原理 如果一个现实的量是由大量独立偶然的因如果一个现实的量是由大量独立偶然的因素的影响叠加而得，且其中每一个偶然因素的素的影响叠加而得，且其中每一个偶然因素的影响又是均匀地微小的话，可以断定这个量将影响又是均匀地微小的话，可以断定这个量将近似地服从正态分布。这就解释了为什么在自近似地服从正态分布。这就解释了为什么在自然、社会、经济领域里大量存在服从正态分布然、社会、经济领域里大量存在服从正态分布的随机变量。例如，身高、体重、智商、婚龄的随机变量。例如，身高、体重、智商、婚龄等等，因为影响它们的因素都是大量的。等等，因为影响它们的因素都是大量的。 47正态分布社会统计学原理
