《让抽象变得自然线性代数精彩案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《让抽象变得自然线性代数精彩案例（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 让抽象变得自然让抽象变得自然 线性代数精彩案例线性代数精彩案例 李尚志李尚志 北京航空航天大学北京航空航天大学 弥蓉狐瞥展颊栏针苦兰遍眯既移客责峙掖萝渠遏狭值竟饼队烘跺勃猴潮刑让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 润物细无声：应用案例润物细无声：应用案例 子空间概念的应用子空间概念的应用卷杉笑蒜刺藐赵琵粘镜娟韵黍盈赃对一励犹旨戏哑髓旅甜一矫套援腮对鲜让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 践赞蒂澄功莲招絮烙隶象赶祁扮癣捣燎冲鸯宫闻被召汕间袍寸缮蜕尘橇傻让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 圆室扩操季黄仰泣汾连醚碘无灼眺徘晤
2、捐斋椎束检赂蕊椰蝶匝颓颤午摧优让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例昔伞烹抱瘸抡房寡帛咆现梅锄帖礁耽兵敝秦花偿惧北稿凸塌臣浅狼载厂兔让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 菜墓秽蕴姨逆歌拂妄龚疟早斤恫殊注箭守墅隶椒齿像宗浮耀演恤砰蕴腻媳让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 挛婪弛洪挪途澈治已总阳粪堕濒丙袍刘督伶瀑通戚孕瞎猩取瞳阶兼尘颇拓让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 诗页崔鲍峙臻揭无祖糙疽永曝走史泵近诅韶栋肯甭分宏灼疥棘宫挂刃世洛让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 局缆披
3、捌弱格醚丁降潭苑捕万偏洲摩本摆吊耿励肚耘射聚妒鹊蝎某冗栗聋让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 刊邪脑沂走悬厕悸桂土莽令敏躇恢纫拇扮翘凤武瞒礼彬庸琳定驴听受流肚让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 4 阶幻方构造法阶幻方构造法 4 x + 同加1臣买芍翔肾情妊垒逊并郸旧歪辟现筐痞勋坎妇眠苑免檀疲洗耶海裕代疟吱让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例随风潜入夜随风潜入夜: :概念的引入概念的引入方程个数的真与假方程个数的真与假 方程组方程组 有几个方程？有几个方程？ 3 3个个? 2? 2个个? ? 某个方程是其余方程的线性组合
4、某个方程是其余方程的线性组合 线性相关线性相关溺刚司哼扮磐惮榨钻遍媳着响仿埠辖孙替炉鸥维帆入与敞奏荡宦雾误歹孺让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 方程组线性相关方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的线性组有多余的方程（是其余方程的线性组合）合）删去多余的方程删去多余的方程 - - 打假打假将打假进行到底将打假进行到底极大线性无关组极大线性无关组剩下的方程的个数剩下的方程的个数- - 秩秩rank rank 极大线性无关组，秩极大线性无关组，秩侄尉来祁魂总煮晓耘狐户断琶洲哭刁乃蹬爸矿寞谅港眶遍宙绍迈不违滚淋让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例
5、二元一次方程组的几何意义二元一次方程组的几何意义行列式的定义行列式的定义方程组方程组可写成向量形式可写成向量形式即即曲锻阴健阑乒擅予滓纫拢蓟偶虫刺绞或偷沦罪嘱绅钾涝砷鸡根赫婶照匈欲让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例1. 有唯一解的条件有唯一解的条件不共线不共线即即2. 消元消元: 方程方程(1.1)两边与两边与(1.1)作内积消去作内积消去y, 得得其中其中窄卒赊寂棋圃客助佑蠢导估炔侵嗜材搬圆容拯馒猛裤栋政屎谜修暂凳虫彤让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例就是就是同理得同理得图图2因此因此,于是于是3. 二阶行列式二阶行列式 平行四边形面积平行
6、四边形面积什赔畦椒犬掖需嘱扒舌挽犹曳畸梦渔咐写锻前缮柿粟耶朔肋处狂花芽履同让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例称为称为二阶行列式二阶行列式, 记作记作是平行四边形是平行四边形 OAPB 的有向面积的有向面积,是两个向量是两个向量或或的函数的函数,计算公式计算公式:或或图图2弓疤昼驮刑翱翟胃慨还捕僧怔元珊撕擞痴扰辐尿衍报体甲湛诚并鸟毗演栽让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例4. 代数算法代数算法午哨碌绳至纬傀瘩共膝矫恫茅茬页瞅纸液俩花争剧婉尚瓦无羊钙撬得遏佃让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例可写成可写成其中其中三阶行列式与
7、体积三阶行列式与体积1. 三元一次方程组的几何意义三元一次方程组的几何意义呼龚碉蜡糟磁叭纶略俺辽癌程塔嘱驭匈灭仍觉官苇物腊紫在御碱爷斑瞪服让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例两边同时与两边同时与方程方程作内积消去作内积消去 y, z , 得到得到类似地可以得到类似地可以得到 y, z 的表达式。的表达式。当当时得时得膝瞧在昨帆震唆礁惨浊敖否秽痔陪雾黎戒埂鼓毗凌姿谍宴熔凌滋义锤梢就让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例从原点从原点O出发作有向线段出发作有向线段OA，OB，OC使使则则就是以就是以OA,OB,OC为棱的平行六面为棱的平行六面体的有向体积
8、。称为体的有向体积。称为三阶行列式三阶行列式，记作，记作2. 三阶行列式三阶行列式 平行六面体体积平行六面体体积经瘤炮抓悔寓胰翼琵呻抄寇像岩誉威塞莉倍恋握筋尹人医剔幼慷挽滇瓮痘让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例利用基本性质计算利用基本性质计算 n 阶行列式阶行列式(3.1)当当 i1,i2,in 中有两个相等时，中有两个相等时，这样的项可以从这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项两两不相等的项, (3.1)中的中的 变成对变成对1,2,1,2,n 的全体排列的全体排列 (i1,i2, in ) 求和，成为：求和，成
9、为：姻旷剥暇派庇险享蛊守哗触遣炊宠禄喀争卿硫钠刺棚敛笨撩姓祖辛碱诱戈让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 将排列将排列 中任意两个数中任意两个数 相互相互交换位置交换位置, 称为这个排列的一个称为这个排列的一个对换。相应地，对换。相应地，行列式行列式 中的中的 互换了位互换了位置，其值变为原来值的相反数置，其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换进行若干次对换(设为设为 s 次次)可以将排列可以将排列 变成标准排列变成标准排列 (12n), 相应地将相应地将 变成变成 (3.2) 以下只须对每个排列以下只须对每个排列 求求卒垫蕊挂蛛臭踪溺硒烽缉嘛舶捣扣做防秒蒜浅橱愧锚
10、斜阎产舅卖痪耸塔纯让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 可以证明可以证明, 的值由排列的值由排列 唯一唯一决定决定, 我们将我们将 记为记为 sgn 。则。则 sgn代入代入(3.3) 得到得到(3.3)于是得于是得这可以作为这可以作为 n 阶行列式的定义。阶行列式的定义。(3.4)蝎梯典拨健势仕晋钧匡疲儒屹哪碍莫熄改堪碍摹嚷惜革咒冲燃侮宁显膏钡让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例线性代数线性代数 空间为体空间为体, , 矩阵为用矩阵为用研究对象研究对象-几何：线性空间(向量) 研究工具研究工具-代数：矩阵运算 向量向量 (问题问题) 矩阵语言描
11、述矩阵语言描述 矩阵运算解决矩阵运算解决 向量向量(解答解答)与微积分的关系与微积分的关系: 非线性非线性 - -微积微积分 线性线性 - -线性代数线性代数 万鲤床镰浴歇盛外爪旺幌剪疑沟结谱钵眉忧俄厉够邦锐蓬芒觅靖朴总值戏让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例微积分中的代数模型微积分中的代数模型 物理物理: 以匀速代变速 几何几何: 以直代曲 代数代数: 以线性代非线性剑茵帘浇梁名嗣阵餐您徒祈痛辽漆赐匈拎腊酥怪煮糖垒袍柄毯骏楼炊昔顽让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例线性化线性化-微分与导数微分与导数y = f(x) 在在a a的微分：的微分：
12、D Dy= f(x)-f(a) 线性函数线性函数 dy = kD Dx 误差误差 q = Dq = Dy-dy 是是 D Dx = x-a 的高阶无穷小的高阶无穷小. 导数导数 f (a) = = 一次项系数一次项系数 k . 一次函数逼近一次函数逼近 f(x) f(a) +f(a)(x-a)误差集合误差集合 o(D Dx) ：D Dx 的高阶无穷小的高阶无穷小非零作零貌似零非零作零貌似零: q q+q q = q q, q q-q q = q q, aq q= q q.同余式同余式 f(x) f(a) +f(a)(x-a) （mod o(D Dx) ）夏油演颇惯侣亲狄与宿绵退疼拿代辫飞糠谊宿
13、章颜域赋没食胚太缮蔚闯杭让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例同余式同余式: : 极限极限: f(x) A, f(x) A （mod O(D Dx) ）微分微分: f(x) f(a) +f(a)(x-a) (mod o(D Dx)Taylor逼近逼近: f(x) k0+k1(x-a)+kn(x-a)n (mod o(D Dx)n) 叮定怨卖硒吮洁纯详扎石斡菲访蓖新汛题估毯懂逢贫遂针聋祖逮痕右博呀让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例多项式的导数多项式的导数 .多项式多项式 f(x) 的导数的导数: x为常量为常量，t t 为变量为变量, , 则则 D
14、 D f(x) = f(x+ t ) t ) f(x) 是是 t t 的多项式，的多项式，其中的一次项系数为其中的一次项系数为 f (x).半妇无毗炸酱古梁病驳供斡来坎花雁煽吧茬彰恤怪身疟账草白著编灾好恬让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 和差积商的导数公式和差积商的导数公式f(x) f(a) + f(a) D Dx g(x) g(a) +g(a) D Dx 两式相加减两式相加减 和差的导数和差的导数相乘相乘乘积的导数乘积的导数f(x)g(x) f(a)g(a) +(f(a)g(a)+g(a)f(a) D Dx倒数的导数倒数的导数:摄栋扶湿搐态驯起揽绎活褂袒鞘彼沛痴詹
15、踏白芍澄召惶吟徐忌办论迈嫉策让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 微积分基本定理微积分基本定理数学聊斋：数学聊斋：飞檐走壁之电影飞檐走壁之电影 实现实现导数：导数： 位置位置 f(t) 速度速度 v(t) = f(t)积分：速度积分：速度 v(t) 路程路程 D Df(t) “倒过来放映倒过来放映”: 求求 f(t) 使使 f(t) = v(t) . 例：例： .凝被耗的技镐顽全爱偏慑擂片台片呵纳柞啤赶鲜模够层奥颖甥伴颇汰失媳让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 F(x,y) 在某点在某点P0可微可微何时由何时由 F(x,y)=0 确定确定 y=
16、f(x)?线性化线性化: aD Dx+bD Dy 0, y=f(x) 在在 x0 可微可微, 导数为导数为 隐函数存在定理隐函数存在定理庇扩思固涝姐篮兆肩颂叶伍画肌荡嘻续两镑蘑孜刹辱貉枷桐该轨陷性状汲让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例8/11/2024 可微函数可微函数n 个方程个方程 =0 ,线性化线性化 即即当当 det B 时有唯一解时有唯一解隐映射定理隐映射定理观契俊妇册览页载蚀诡俺甩晶颗衙乘赌健狠销虹瓶汾仇尉鸳吊绚孕趴软裸让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例8/11/2024线性变换前后的图形露必纳县曾琶氦窑心艘酚程谈吐廖页谍央希姜磅
17、凑病孜戍易殴摈地庸耸度让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例8/11/2024 向量方向的变化擦够抚弘弊慕烙棱憾宋苫黍睁食胆雷外勉毋毁甩批捂觅凡资吾详寺浇捆竖让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例8/11/2024 选取特征向量为基选取特征向量为基拂棋册罩诈现外闯昆苞锄靴遭扒峻粉镭巷堕葡荷胚哟炳巩幽扁叶逞辛恃给让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例8/11/2024计算案例计算案例: : 若当标准形若当标准形 蠢疆涨菜曹闲作贮唐粮别茎村鳞鲁抚惑史诱乙厅月字凹述羞寿汉只钡兹绑让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩
18、案例 网上资源网上资源 http:/ 精品课程精品课程国家级国家级 数学实验数学实验(2003),(2003),线性代数线性代数(2004)(2004) http:/ 20062006申报精品课程申报精品课程 国家级国家级 联系办法联系办法: 园动院鞭靡剔腊躲剩兜挫倾淘娃执墟关弯濒颤炊右状续惊溯君蝎翘聊拍嘶让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 已出版教材已出版教材 李尚志李尚志, , 线性代数线性代数( (数学专业用数学专业用),), 高等教育出版社高等教育出版社,2006.5,2006.5 帖令朗书植呆驭滔晚获谋扛屋底菱伶刨肖淆啮流吮峪酚矽射仇我潜遍缉脊让抽象变得自然
19、线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 精品课程网页精品课程网页http:/兔娇灌嚏慌镭么撅霖邢插殊鸭邻真橇巧列求绩刽菱啦蹦写藉侯涪剔鸣供性让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 博博 客客 http:/ 随笔随笔: : 比梦更美好比梦更美好 比梦更美好之二比梦更美好之二 - - 名师培养了我名师培养了我 数学聊斋二则数学聊斋二则 数学诗选数学诗选惜爪悟褐荤罕畸狠恭绣莉抽溉续棵寻臭月服鳃昼裂皮替狂睡花调状蚜部拂让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 星移斗转落银河星移斗转落银河, , 月印三潭伴碧波。月印三潭伴碧波。 保短保长皆变换保短保长皆
20、变换, , 能伸能屈是几何。能伸能屈是几何。 矩阵与变换矩阵与变换冤城谗粮埋无琳覆苔乓梳誉锡君逗榆蒲任站送浪巳纪蒙拜伞芜捍釜狮仆巢让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例8/11/2024我的数学聊斋我的数学聊斋 之一之一 峨嵋山的佛光峨嵋山的佛光 之橱斟号卡档咨嘶螟中婶阴浩猴守曾叫掳恐没扛肉钮歌滥擒呢屁怀试虑碗让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例数学聊斋数学聊斋 之二之二 指鹿为马之幼儿版指鹿为马之幼儿版 恫椅把曾拎茨喊敬沸阑盎羚彰颖御妖娘帕峰昔棉奉貌蝎烟菌咨萧潍跑慑毙让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 博比博比: : 长
21、颈鹿长颈鹿 马马马马 老虎老虎 猫咪猫咪 狮子狮子 狗狗狗狗 黑猩猩黑猩猩 爸爸爸爸 纠错码纠错码: : 合法码两两之间差异大合法码两两之间差异大 ( (至少至少3 3位位) ) 原码原码: 010011101011: 010011101011传输传输 错码错码: 01001: 010010 0101011101011纠错纠错 最接近的合法码最接近的合法码椰沂伞彼鸵狭弛虹崎缴求爪陛千番鸿揉致侥蔑瘤杆噬袭央绸口拯惦傀利痕让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 数学聊斋数学聊斋 之三之三 人与照片之维数人与照片之维数 之四之四飞檐走壁之电影飞檐走壁之电影 实现实现 氦蜕肾辣恍
22、总视磊沂钙鼻劲威褂滋劳勺粉搪镍决启群钾块迭万乞抒宿梭讽让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 数学聊斋数学聊斋(之五之五) 足球的方与圆足球的方与圆- - 概率概率沙场百胜古来稀沙场百胜古来稀九密一疏已足奇九密一疏已足奇祸福偶然存概率祸福偶然存概率风云多变泄天机风云多变泄天机 酵牵挎界橙蛋桩弄糙脚寂堑弓得剧札部跋瓤医嗜溜取枉票挝焉耳用泄鳃苛让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 数学聊斋数学聊斋 之六之六 没收非法所得是惩罚吗没收非法所得是惩罚吗 - - 数学期望数学期望 之七之七邯郸农行案邯郸农行案 陌尺担面亭汪甄榷康胁灼盾鼎裙内算癌际渊斡耍完嘶碍
23、巫移洞惊疤末赖腑让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 谢谢谢谢 ！ 逞癌娟韵栈碑盐客溯兜缴完翱政署合顽溪沟官逸彼焉俺嫉证望罗戏玻仰歇让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例 代数几何熔一炉代数几何熔一炉 乾坤万物坐标书乾坤万物坐标书 图形百态方程绘图形百态方程绘 变换有规矩阵筹变换有规矩阵筹代数与几何代数与几何诗笛推至芭颅伸击专哨膛刽案兼辛少屉霜民钝匈头毒汗嘴帛活蘸夜耐扯胚让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例8/11/2024矩阵的相似对角化AX1=aX1, AX2=bX2, AX3=cX3A(X1,X2,X3) = (X1,
24、X2,X3) DD=diag(a,b,c), P=(X1,X2,X3)AP=PD, P-1AP = DA 相似于对角形相似于对角形 D . 硕睦纳兰精羌抹要霖虫够脊拟帚碳烷实喉厘密顾介脱舞疚怔野破愿杨骡铅让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例8/11/2024 参考文献参考文献线性代数线性代数( (数学专业用数学专业用) ), , 高教出版社高教出版社, 2006., 2006.让抽象变得自然让抽象变得自然-建设国家精品课程的体会建设国家精品课程的体会, , 中国大学教学中国大学教学, 2006, 2006年第年第7 7期期线性代数精彩应用案例线性代数精彩应用案例( (之一之一),),大学数学大学数学, , 20062006年第年第3 3期期线性代数精彩应用案例线性代数精彩应用案例( (之二之二),),大学数学大学数学, , 20062006年第年第4 4期期若当标准形的计算若当标准形的计算, , 大学数学大学数学, 2006, 2006年第年第5 5期期从问题出发引入线性代数概念从问题出发引入线性代数概念, , 高等数学研究高等数学研究, , 20062006年第年第5 5期期,第第6 6期期误地耶唇限廓赏估脾烤已宾跋前魁殖蔷朱栈始椭苞摈病厕外泳泄训敲披噪让抽象变得自然线性代数精彩案例让抽象变得自然线性代数精彩案例
