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1、第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第八章 1一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.x0 处,关于 t 的机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅2定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:3同样可定义对 y 的偏导数若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为
2、偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 , 记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 ,4例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)5二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的6函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结
3、束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!7例例1 . 求解法解法1:解法解法2:在点(1 , 2) 处的偏导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 8例例2. 设证证:例例3. 求的偏导数 . (P14 例4)解解:求证机动 目录 上页 下页 返回 结束 9偏导数记号是一个例例4. 已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,10二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f (
4、x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:11类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为12例例5. 求函数解解 :注意注意: :此处但这一结论并不总成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 13例如例如,二者不等机动 目录 上页 下页 返回 结束 14例例6. 证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性 , 有方程机动 目录 上页 下页 返
5、回 结束 15则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明略) 16内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 19备用题备用题 设方程确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 20
