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1、 n2. 模型无量纲化举例n 例1. 单摆的运动：建模描述单摆运动的规律n 假设：同前。n 变量、参量：同前。n 坐标系: (x，y)，(r, )n 平衡关系：n 受力物体运动的加速度与其质量的乘积等于它所受的外力。n 外力：重力 mg，张力 T。 n模型n注意到摆球的坐标的表达式，则有n第一个方程描述了摆球沿摆弧的切线方向运动的情况，是量纲齐次的。n 对它进行无量纲化。 n变量的无量纲化n 令 称之为无量纲时间n代入模型可得n选择变换因子为 则有 n无量纲模型的分析 1. 换算因子 w0:令T0为单摆的周期，则n n nw0 为角频率n以2为时间单位时摆动的频率数。n 2. 特征时间 tc,
2、n称tc=1/w0=T0/2 为特征时间。n以2为时间单位时，摆动一次所需的时间n3.无量纲时间 = t/tc。是以特征时间为单位的时间计量。 n例2. 抛射问题：从地球表面以速度 v 竖直向上发射火箭。n讨论火箭发射的高度随时间变化的规律。n假设：n 1. 地球是球体。n 2. 火箭升空只需克服地球的引力。n 3. 火箭在地球的表面附近在引力作用下将具有自由下落的加速度 g。n平衡关系：牛顿定律，万有引力定律n 火箭升空后由于地球吸引力的作而减速运动用。 n变量、参量n时间：t，火箭的高度：y(t), n地球半径：r, 初速度：v，重力加速度：g，n火箭质量：m1,地球质量：m2.n模型n
3、m1y= - k m1m2/(y+r)2。n由假设3, y = 0 时, y= - g。故有 g = k m2/r2.n y= - r2 g / (y+r)2, y(0) = 0, y(0) = v. n模型的无量纲化n 将模型中的变量变换为无量纲变量n 令 tc，yc 分别为具有时间量纲和长度量纲的量。n则 t*= t / tc，y*= y / yc 就成为无量纲的时间和长度。注意到n模型就可以化为 n令 tc2g / yc = 1, vtc/ yc = 1, 则有n tc = v / g, yc=v2/gn分别称 tc和 yc为特征时间和特征尺度n模型可以化简为n y*=-(Ay*+1)-2, y*(0)=0, y*(0)=1, n 其中 A=v2/rgn 这时模型是简单的，而且其中所有的量都是无量纲的。 n五. 拟合模型与机理模型n 拟合模型 机理模型 假设条件 弱 强n机理分析 少 多n拟合效果 好 差n普适范围 小 大n理论深度 浅 深
