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1、第三节 初等函数一、指数函数二、对数函数三、幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考初等复变函数一、指数函数一、指数函数1. 复指数函数的定义复指数函数的定义:2.复指数函数的性质复指数函数的性质:2初等复变函数例例1 注意注意：3初等复变函数4初等复变函数二、对数函数二、对数函数1. 定义定义5初等复变函数于是有于是有特殊地特殊地, 6初等复变函数例例2 解解注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.7初等复变函数例例3解解8初等复变函数2. 性质性质9初等复变函数
2、证证 (3)证毕证毕10初等复变函数三、幂函数三、幂函数1. 定义定义注意注意: :11初等复变函数12初等复变函数13初等复变函数特殊情况特殊情况: 14初等复变函数15初等复变函数例例4 4解解答案答案课堂练习课堂练习16初等复变函数2. 幂函数性质幂函数性质它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的,17初等复变函数 它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的平面内是解析的,18初等复变函数四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义三角函数的定义将两式相加与相减将两式相
3、加与相减, 得得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况.19初等复变函数20初等复变函数2. 三角函数的性质三角函数的性质21初等复变函数第五次课结束第五次课结束22初等复变函数 解方程解方程解解23初等复变函数( (注意：这是与实变函数完全不同的注意：这是与实变函数完全不同的) )24初等复变函数其他复变数三角函数的定义其他复变数三角函数的定义25初等复变函数3. 双曲函数的定义双曲函数的定义26初等复变函数4. 双曲函数的性质双曲函数的性质27初等复变函数28初等复变函数五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函
4、数1. 反三角函数的定义反三角函数的定义29初等复变函数 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤重复以上步骤, 可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:2. 反双曲函数的定义反双曲函数的定义30初等复变函数例例5 5解解31初等复变函数六、小结与思考六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性质本性质, 又有一些与后者不同的特性又有一些与后者不同的特性. 如如: 1. 指数函数具有周期性指数函数具有周期性2. 负数无对数的结论不再成立负数无对数的结论不再成立3. 三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性4. 双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数32初等复变函数课堂练习课堂练习33初等复变函数
