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1、 1相似三角形相似三角形 (1)定定义义：对应对应角相等，角相等，对应边对应边成比例的两个三角形叫成比例的两个三角形叫做做 ，相似三角形，相似三角形对应边对应边的比的比值值叫做叫做 或或( ) (2)预备预备定理：平行于三角形一定理：平行于三角形一边边的直的直线线和其他两和其他两边边(或或两两边边的延的延长线长线)相交，所构成的三角形与原三角形相交，所构成的三角形与原三角形 相似三角形相似三角形相似比相似比相似系数相似系数相似相似 2相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理 (1)判定定理判定定理1：对对于任意两个三角形，如果一个三角形于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两
2、个角的两个角与另一个三角形的两个角对应对应相等，那么相等，那么这这两个三两个三角形相似，角形相似，简简述述为为： 对应对应相等，两三角形相似相等，两三角形相似 (2)判定定理判定定理2：对对于任意两个三角形，如果一个三角形于任意两个三角形，如果一个三角形的两的两边边和另一个三角形的两和另一个三角形的两边对应边对应成比例，并且成比例，并且夹夹角相等，角相等，那么那么这这两个三角形相似，两个三角形相似，简简述述为为： 对应对应成比例且成比例且 相等，两三角形相似相等，两三角形相似两角两角两两边边夹夹角角 引理：如果一条直引理：如果一条直线线截三角形的两截三角形的两边边(或两或两边边的延的延长线长线
3、)所所得的得的对应线对应线段成比例，那么段成比例，那么这这条直条直线线平行于三角形的平行于三角形的 (3)判定定理判定定理3：对对于任意两个三角形，如果一个三角形的于任意两个三角形，如果一个三角形的三条三条边边和另一个三角形的三条和另一个三角形的三条边对应边对应成比例，那么成比例，那么这这两个三角两个三角形相似，形相似，简简述述为为： 对应对应成比例，两三角形相似成比例，两三角形相似 说说明明在在这这些判定方法中，些判定方法中，应应用最多的是判定定理用最多的是判定定理1，即，即两角两角对应对应相等，两三角形相似因相等，两三角形相似因为为它的条件最容易它的条件最容易寻寻求在求在实际证实际证明当中
4、，要特明当中，要特别别注意两个三角形的公共角判定定理注意两个三角形的公共角判定定理2则则常常见见于于连续连续两次两次证证明相似明相似时时，在，在证证明明时时第二次使用此定理的第二次使用此定理的情况情况较较多多第三第三边边三三边边 3直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理 (1)定理：定理：如果两个直角三角形有一个如果两个直角三角形有一个 对应对应相等，相等，那么它那么它们们相似；相似； 如果两个直角三角形的两条直角如果两个直角三角形的两条直角边边 那么那么它它们们相似相似 (2)定理：如果一个直角三角形的斜定理：如果一个直角三角形的斜边边和一条直角和一条直角边边与与另一个三角形的斜另
5、一个三角形的斜边边和一条直角和一条直角边边 ，那么，那么这这两两个直角三角形个直角三角形 锐锐角角对应对应成比例成比例对应对应成比例成比例相似相似 说说明明对对于直角三角形相似的判定，除了以上方法于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，外，还还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边边上的高分上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似成的两个直角三角形与原三角形相似 在在证证明直角三角形相似明直角三角形相似时时，要特，要特别别注意直角注意直角这这一一隐隐含含条件的利用条件的利用 例例1如如图图，已知在，已知在ABC中，中，ABAC，A36，BD是角平分是角平分线线，
6、证证明：明：ABCBCD. 思路点思路点拨拨已知已知ABAC，A36，所以，所以ABCC72，而，而BD是角平分是角平分线线，因此，可以考因此，可以考虑虑使用判定定理使用判定定理1. 判定两三角形相似，可按下面判定两三角形相似，可按下面顺顺序序进进行：行：(1)有平有平行截行截线线，用，用预备预备定理；定理；(2)有一有一对对等角等角时时，找另一找另一对对等角，等角，找找夹这夹这个角的两个角的两边对应边对应成比例；成比例；(3)有两有两对应对应边边成比例成比例时时，找找夹夹角相等，角相等，找第三找第三边对应边对应成比例，成比例，找一找一对对直角直角1. 如如图图，在，在 ABCD中，中，E、F
7、分分别别在在AD 与与CB的延的延长线长线 上，上，请请写出写出图图中所有中所有 的相似三角形的相似三角形解：解：ABCD，EDHEAG，CHMAGM，FBGFCH.ADBC，AEMCFM，AEGBFG，EDHFCH.图图中相似的三角形有：中相似的三角形有：AEMCFM，CHMAGM，EDHEAGFBGFCH.3已知，如已知，如图图，在正方形，在正方形ABCD中，中，P是是 BC上的点，且上的点，且BP3PC，Q是是CD的中点的中点 求求证证：ADQQCP. 不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系有时用它来证例式的成立确定两直线的平行关系有时用它来证明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系5. 如如图图，四，四边边形形ABCD是平行四是平行四边边形，点形，点F在在BA的延的延长线长线上，上， 连连接接CF交交AD于点于点E.(1)求求证证：CDEFAE；(2)当当E是是AD的中点，且的中点，且BC2CD时时，求，求证证：FBCF.点击下图进入应用创新演练点击下图进入应用创新演练
