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1、会计学1函数的单调函数的单调(dndio)性与极值性与极值3理理第一页，共36页。一、单调一、单调一、单调一、单调(dndio)(dndio)(dndio)(dndio)性的判别法性的判别法性的判别法性的判别法定理定理(dngl)第1页/共35页第二页，共36页。证证应用应用(yngyng)拉拉氏定理氏定理,得得第2页/共35页第三页，共36页。例例1 1解解注意注意: :函数的单调性是一个区间函数的单调性是一个区间(q jin)(q jin)上的性上的性质，要用导数在这一区间质，要用导数在这一区间(q jin)(q jin)上的符号来上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区判定，
2、而不能用一点处的导数符号来判别一个区间间(q jin)(q jin)上的单调性上的单调性第3页/共35页第四页，共36页。二、单调二、单调二、单调二、单调(dndio)(dndio)(dndio)(dndio)区间求法区间求法区间求法区间求法问题问题(wnt):(wnt):如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调(dndio)(dndio)的，则该区间称为函数的单调的，则该区间称为函数的单调(dndio)(dndio)区间区间. .导数等
3、于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :第4页/共35页第五页，共36页。例例2 2解解单调单调(dndio)区间为区间为第5页/共35页第六页，共36页。例例3 3解解单调单调(dndio)区间为区间为第6页/共35页第七页，共36页。例例4 4证证注意注意:区间内个别区间内个别(gbi)点导数为零点导数为零,不影响区间的单不影响区间的单调性调性.例如例如(lr),第7页/共35页第八页，共36页。 三、函数极值三、函数极值(j zh)的定义的定义第8页/共35页第九页，共36页。定义定义(dngy)函数的极大值与极小值统称为极
4、值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得使函数取得(qd)极值的点称为极值点极值的点称为极值点.第9页/共35页第十页，共36页。 四、函数四、函数(hnsh)极值的求法极值的求法定理定理(dngl)1(dngl)1(必要条必要条件件) )定义定义(dngy)注意注意:例如例如,第10页/共35页第十一页，共36页。定理定理2(2(第一第一(dy)(dy)充分充分条件条件) )(是极值是极值(j zh)点点情形情形)第11页/共35页第十二页，共36页。求极值求极值(j zh)(j zh)的步的步骤骤: :(不是不是(b shi)极值点极值点情形情形)第12页/共35页第十三页，共36页。
5、例例1 1解解列表列表(li bio)讨论讨论极极大大值值极极小小值值第13页/共35页第十四页，共36页。图形图形(txng)如如下下第14页/共35页第十五页，共36页。定理定理(dngl)3(dngl)3(第二充第二充分条件分条件) )证证第15页/共35页第十六页，共36页。例例2 2解解图形如下图形如下第16页/共35页第十七页，共36页。注意注意(zh (zh y):y):第17页/共35页第十八页，共36页。例例3 3解解注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点, ,也可能也可能(knng)(knng)是函数的是函数的极值点极值点. .第18页/共35页第十九页，共36页。五、
6、小结五、小结(xioji)(xioji)单调单调(dndio)性的判别是拉格朗日中值定理定性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然仍然(rngrn)成立成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.第19页/共35页第二十页，共36页。极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念(ginin):(ginin):极大值可能小于极极大值可能小于极小值小值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值. .驻点和不可驻点和
7、不可(bk)(bk)导点统称为临界点导点统称为临界点. .函数的极值函数的极值(j zh)必在临界点取得必在临界点取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)第20页/共35页第二十一页，共36页。思考题思考题2、下述命题、下述命题(mng t)正确正确吗？吗？第21页/共35页第二十二页，共36页。思考题思考题1解答解答(jid)不能断定不能断定(dundng).例例但但第22页/共35页第二十三页，共36页。当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增
8、第23页/共35页第二十四页，共36页。思考题思考题2解答解答(jid)不正确不正确(zhngqu)例例第24页/共35页第二十五页，共36页。在在1和和1之间振荡之间振荡故命题故命题(mng t)不成立不成立第25页/共35页第二十六页，共36页。练练 习习 题题1第26页/共35页第二十七页，共36页。第27页/共35页第二十八页，共36页。练练 习习 题题2第28页/共35页第二十九页，共36页。第29页/共35页第三十页，共36页。练习题练习题1答案答案(d n)第30页/共35页第三十一页，共36页。第31页/共35页第三十二页，共36页。练习题练习题2答案答案(d n)第32页/共
9、35页第三十三页，共36页。当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增第33页/共35页第三十四页，共36页。第34页/共35页第三十五页，共36页。内容(nirng)总结会计学。第1页/共35页。导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.。单调性的判别是拉格朗日中值定理(dngl)定理(dngl)的重要应用.。定理(dngl)中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.。应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.。极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.。当 时，。练 习 题1第三十六页，共36页。
