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1、离离 散散 数数 学学 ( (II) )代数系统PPT课件古典代数与近世代数古典代数与近世代数l古典代数的研究对象：方程古典代数的研究对象：方程 以方程根的计算与分布为其研究中心以方程根的计算与分布为其研究中心l近世代数的研究对象：代数系统近世代数的研究对象：代数系统l古典代数的发展过程导致了群的概念的古典代数的发展过程导致了群的概念的提出，发展成了近世代数提出，发展成了近世代数代数系统PPT课件古典代数的发展过程古典代数的发展过程一元一次方程一元一次方程 公元前公元前1700年年一元二次方程一元二次方程 公元前几世纪公元前几世纪 巴比伦人巴比伦人一元三次方程一元三次方程 我国：在公元七世纪我
2、国：在公元七世纪 一般的近似解法一般的近似解法 唐朝数学家王孝通唐朝数学家王孝通缉古算经缉古算经 西方：西方：16世纪世纪 意大利数学家意大利数学家 卡丹公式卡丹公式代数系统PPT课件Cardan J(15011576) 闻名全欧的医生、颇为人知的数学教授 精通赌博、占星术Fontana N（Tartaglia）（1500-1557）自学成才的意大利数学家、工程师、军事科学家。以发现三次方程的一般解法和始创弹道学而闻名。1535年2月22日 意大利米兰大教堂 30个3次方程 Tartaglia -2个小时 Fior0题1539年3月25日Cardan骗到公式并于1545年发表 宣战：各出31题
3、 Tartaglia -7天 Ferrari L - 5个月 1题古典代数的发展过程古典代数的发展过程代数系统PPT课件古典代数的发展过程古典代数的发展过程四次方程四次方程 Ferrari L 化为求一个三次方程和两个二次方程的根化为求一个三次方程和两个二次方程的根 五次方程五次方程 失败：失败：Euler L(1907 -1983) 、Van de monde、Lagrange J L、Ruffini P、Gauss K F 19世纪世纪 法国青年数学家法国青年数学家 Galois : 五次以上方程无根式解五次以上方程无根式解代数系统PPT课件Galois(18111832)(1811183
4、2)(18111832)(18111832)-近世代数的创始人近世代数的创始人Evariste Galois 代数系统PPT课件Galois(18111832)(18111832)(18111832)(18111832)-近世代数的创始人近世代数的创始人l1829年3月 发表第一篇论文 l1829年5月关于五次方程的代数解法问题Cauchy A 遗失；Fourier J 去世l1831年关于用根式解方程的可解性条件 Poisson S D:“完全不能理解” l1829年 父亲自杀；两次投考巴黎综合工科学校被拒绝，进入高等师范学校学习l1830年12月因抨击校长在“七月革命”中的两面行为被开除代
5、数系统PPT课件Galois(18111832)(18111832)(18111832)(18111832)-近世代数的创始人近世代数的创始人l1831年6月7月两次被捕l1832年5月29日“请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性而不是正确性发表的他们看法。在这以后，我希望有人会发现将这堆东西整理清楚对他们是有益的。” l1832年5月29日决斗身亡l1846年 Liouville L纯粹与应用数学杂志l1870年 Jordan 论置换与代数方程 代数系统PPT课件Galois(18111832)(18111832)(18111832)(18111832)超越时代的天才超越时代的天才l开创
6、了置换群论的研究，彻底解决了一开创了置换群论的研究，彻底解决了一般方程的根式解难题。般方程的根式解难题。l发展了一整套关于群和域的理论发展了一整套关于群和域的理论-伽罗伽罗瓦理论。创立了抽象代数学，把代数学瓦理论。创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程，标志着数的研究推向了一个新的里程，标志着数学发展现代阶段的开始。学发展现代阶段的开始。l用用GaloisGalois理论可解决古希腊四大几何做理论可解决古希腊四大几何做图难题：将任意角三等分、倍立方、化图难题：将任意角三等分、倍立方、化圆为方、作正圆为方、作正n n边形边形代数系统PPT课件近世代数的特点近世代数的特点 - 抽象抽象
7、代数系统：代数系统：群群环环域域格格布尔代数布尔代数离散数学离散数学II代数系统PPT课件第六章第六章 群群 与与 环环代数系统PPT课件6.1 代代 数数 系系 统统l 代数运算的定义及其性质代数运算的定义及其性质l 代数系统的定义代数系统的定义代数系统PPT课件二元代数运算二元代数运算 设设S是一个非空集合，称是一个非空集合，称SS到到S的一个映射的一个映射f为为S的一个二元代数运的一个二元代数运算，即，对于算，即，对于S中任意两个元素中任意两个元素a，b，通过通过f，唯一确定唯一确定S中一个元素中一个元素c：f（a，b）= c，常记为常记为a * b = c。 Note：代数运算是闭运算
8、。代数运算是闭运算。 该运算具有很强的抽象性，不限于该运算具有很强的抽象性，不限于+，-， *，/，意义很广泛。意义很广泛。 类似地，可定义类似地，可定义S的的n元代数运算：元代数运算： Sn到到S的映射。的映射。代数运算的定义代数运算的定义 代数系统PPT课件加加法法和和乘乘法法是是自自然然数数集集N上上的的二二元元代代数数运运算；减法和除法不是算；减法和除法不是N上的二元代数运算上的二元代数运算加加法法、减减法法、乘乘法法都都是是整整数数集集Z上上的的二二元元代代数运算；除法不是数运算；除法不是Z上的二元代数运算上的二元代数运算乘乘法法、除除法法是是非非零零实实数数集集R* 上上的的二二元
9、元代代数数运运算算；加加法法和和减减法法不不是是R*上上的的二二元元代代数数运运算算代数运算的例子代数运算的例子代数系统PPT课件矩矩阵阵加加法法和和乘乘法法是是n阶阶实实矩矩阵阵集集合合上上的的二元代数运算。二元代数运算。设设S是是一一个个非非空空集集合合，（S） 是是S的的幂幂集集，则则、是是（S）上上的的二二元元代代数数运算。运算。、 都是真值集合都是真值集合0，1上的二元代数运算。上的二元代数运算。 代数运算的例子代数运算的例子代数系统PPT课件设设 * 是集合是集合S上的二元代数运算，如果对于上的二元代数运算，如果对于任意任意a，b S ，a * b = b * a 都成立，则都成立
10、，则称运算称运算 * 满足交换律。满足交换律。 例例.设设Q为有理数集合，对任意为有理数集合，对任意a,bQ ,Q ,定定义义Q上的运算上的运算如下如下 ：a b=a+b-a b=a+b-a b b，则则是是Q Q上的二元代数运算，且满足交换律：上的二元代数运算，且满足交换律： ab=a+b-a b=a+b-a b= b + a - b b= b + a - b a= b a= ba 代数运算的性质代数运算的性质交换律交换律代数系统PPT课件设设 * 是是集集合合S上上的的二二元元代代数数运运算算，如如果果对对于于任任意意a，b，c S ，(a * b) * c = a *(b * c)都成立
11、，则称运算都成立，则称运算 * 满足结合律。满足结合律。例例. .设设A A是是一一个个非非空空集集合合，对对任任意意a,b a,b AA，定义定义A A上的运算上的运算如下：如下：abb= =b b， 则则是是A A上上的的二二元元代代数数运运算算，且且满满足足结结合合律律:(:(ab)c=bc = cb)c=bc = c a(bc)=ac = c(bc)=ac = c代数运算的性质代数运算的性质结合律结合律代数系统PPT课件设设 * 是是集集合合S上上的的二二元元代代数数运运算算，a是是S中中的的元元素素，如如果果a * a = a,则则称称a是是关关于于运运算算 * 的的幂幂等等元元。如
12、如果果S中中每每个个元元素素都都是是关关于于 * 的的幂幂等元，则称运算等元，则称运算*满足等幂律。满足等幂律。 结结论论：若若a是是关关于于运运算算 * 的的等等幂幂元元，则则对对于于任意正整数任意正整数n n，a an n=a .=a .代数运算的性质代数运算的性质等幂律等幂律 代数系统PPT课件 设设 * 和和 + 是是集集合合S上上的的两两个个二二元元代代数数运运算算，如果对于如果对于如果对于任意如果对于任意a，b，c S, a * （b + c） = （a * b） + （a * c），），（b + c） * a = （b * a） + （c * a）都成立，则称运算都成立，则称运算
13、 * 对对 + 满足分配律。满足分配律。代数运算的性质代数运算的性质分配律分配律代数系统PPT课件设设 * 和和 + 是是集集合合S上上的的两两个个二二元元代代数数运运算算，如果对于任意如果对于任意a，b S ， a * （a + b） = a ，a + （a * b） = a，都成立，则称运算都成立，则称运算 * 和和 + 满足吸收律。满足吸收律。 代数运算的性质代数运算的性质吸收律吸收律代数系统PPT课件设设 * 是是集集合合S上上的的二二元元代代数数运运算算，如如果果对对于于S中中任意三个元素任意三个元素a，b，c，（1）若若 a * b = a * c，则，则b = c，（2）若若 b
14、 * a = c * a，则，则b = c，就称就称 * 满足消去律。满足消去律。例例. n阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律法不满足消去律. . 代数运算的性质代数运算的性质消去律消去律代数系统PPT课件例例. 整整数数集集Z上上的的加加法法、乘乘法法都都满满足足结结合合律律和和交交换换律律，乘乘法法对对加加法法满满足足分分配配律律，但但加加法法对对乘乘法法不不满满足足分分配配律律；减减法法不不满满足足结结合合律律，也也不不满满足足交交换换律律；它它们们都都不满足等幂律，也不满足吸收律。不满足等幂律，也不满足吸收律。例例. n阶阶实实矩矩阵
15、阵集集合合上上的的加加法法满满足足结结合合律律，也也满满足足交交换换律律；乘乘法法满满足足结结合合律律，但但不不满满足足交交换换律律；它它们们都都不满足等幂律，也不满足吸收律。不满足等幂律，也不满足吸收律。代数运算性质例代数运算性质例代数系统PPT课件例例. .设设（S） 是非空集合是非空集合S的幂集，则的幂集，则 （S）上的交运算上的交运算、并运算、并运算都满足结合律，都满足结合律，交换律，交换律，对对、对对都满足分配律，它们都都满足分配律，它们都满足等幂律，也满足吸收律满足等幂律，也满足吸收律, ,但但、不满足消不满足消去律去律。例例. .设设S是所有命题的集合，则是所有命题的集合，则S上
16、的上的、都满都满足结合律，交换律，足结合律，交换律， 对对、对对都满足分都满足分配律，它们都满足等幂律，也满足吸收律配律，它们都满足等幂律，也满足吸收律, ,但但、不满足消去律不满足消去律。代数运算性质例代数运算性质例代数系统PPT课件设设S S是一个非空集合，是一个非空集合，f f1 1，f fm m是是S S 上上的若干代数运算，把的若干代数运算，把S S及其运算及其运算f f1 1，f fm m看成一个整体来看，叫做一个代数系统，看成一个整体来看，叫做一个代数系统，记为（记为（S S， f f1 1，f fm m） 代数系统的定义代数系统的定义代数系统PPT课件例例. 设设S是是一一个个
17、非非空空集集合合，（S） 是是S的的幂幂集集，则则（S），）为为代数系统。代数系统。例例. 设设、是是真真值值集集合合0，1上上的的合合取取与与析析取取运运算算，则则（0，1，）是代数系统。）是代数系统。代数系统的例代数系统的例代数系统PPT课件例例. 设设Z为为整整数数集集，Z0为为偶偶数数集集，N为为自自然然数数集集，+、 是数的加法和乘法，则是数的加法和乘法，则（Z,+）、（）、（Z,）、（）、（Z,+,）、（）、（Z0,+）、）、（Z0, ）、（）、（Z0, +,）、（）、（N,+）、（）、（N,）、）、 （N,+,）都是代数系统。都是代数系统。例例. 设设 、 分分别别表表示示求求最最大大公公约约数数和和求求最最小小公公倍倍数数的的运运算算，那那么么（Z, ）、（Z0, ）、（N, ）都是代数系统。都是代数系统。代数系统的例代数系统的例代数系统PPT课件
