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1、三次混合多项式曲线和区间曲面的研究 杨勤民指导教师 汪国昭 教授浙江大学硕士学位论文答辩2002年于浙江大学年于浙江大学次溷合多项式曲线间曲面究概述计算机辅助几何设计(CAGD)CAGD中的曲线及其拐点和奇点 C-曲线、三次C- Bzier曲线 三次参数曲线上的拐点、尖点和二重点CAGD中的区间曲线曲面及其降阶逼近 区间Bzier曲线论文主要内容 平面混合多项式曲线及其拐点、尖点和二重 点的存在条件 区间三角Bzier曲面的降阶逼近次溷合多项式曲线间曲面究广义摆线定义性质 1.周期性 2. 当 且 是摆线 3.可以精确表示一些特殊曲线C-曲线 广义摆线的一段次溷合多项式曲线间曲面究三次C- B
2、zier曲线是三次C-曲线的特例性质 1几何不变性 2端点插值性 3端边相切性 4凸包性 5变差缩减性 次溷合多项式曲线间曲面究广义摆线的形状特征 拐点、尖点和二重点的分布其中与相对曲率 同号特征函数单重零点 拐点二重零点 尖点无零点 二重点拐点、尖点和二重点的互斥性次溷合多项式曲线间曲面究C-曲线的形状特征判断特征函数在判断特征函数在 上的零点的类型上的零点的类型 单重零点 拐点二重零点 尖点存在使二重点次溷合多项式曲线间曲面究三次C- Bzier曲线的形状特征次溷合多项式曲线间曲面究三次C-Bzier曲线形状分类结果LNNLLSDNNSSSDDCCCFE次溷合多项式曲线间曲面究平面三次混合
3、双曲多项式曲线及其形状分类 三次混合双曲多项式曲线一段三次混合双曲多项式曲线 三次H-Bzier曲线的形状分类几何不变性、端点插值性、端边相切性、凸包性和变差缩减性 次溷合多项式曲线间曲面究区间三角区间三角Bzier曲面曲面 次溷合多项式曲线间曲面究区间三角Bzier曲面的降阶逼近问题 给定一张n次的区间三角Bzier曲面 ，寻求一张m次(mn)的区间三角Bzier曲面 使得 ，且 。 其中：解决方案 先通过约束优化求出 的升阶形式 (n次) ，然后将其还原为 。次溷合多项式曲线间曲面究实 例次溷合多项式曲线间曲面究总结给出了平面三次混合多项式曲线上拐点、尖点和二重点存在的充分必要条件设计了一
4、种区间三角Bzier曲面的降阶逼近算法。谢谢！次溷合多项式曲线间曲面究次溷合多项式曲线间曲面究广义摆线改写为：为一个椭圆为一条直线且当时，是一条摆线在一般情况下，称为一条广义摆线次溷合多项式曲线间曲面究广义摆线的周期性由周期数量函数的定义可推广定义周期向量值函数向量值函数 为周期函数当且仅当存在常数和常向量 使得对任意 有广义摆线所以广义摆线 为周期函数满足对任意 有次溷合多项式曲线间曲面究广义摆线的特征函数在 处的相对曲率：其中称为的特征函数。它的符号与一致。次溷合多项式曲线间曲面究特征函数的零点当 时， 恒为零， 是一条直线。这里只考虑 的情形当 时， 有单重零点；当 时， 有二重零点；当
5、 时， 无零点。次溷合多项式曲线间曲面究广义摆线的形状分类拐点: 定义为切向量连续，曲率为零的非直线点 特征函数的单重零点对应于广义摆线的拐点 即：尖点：对于适当参数化的曲线而言定义为一阶导向量为零的点 特征函数的二重零点对应于广义摆线的尖点 即：二重点：曲线的自相交点 特征函数无零点时，广义摆线上存在二重点 即：次溷合多项式曲线间曲面究三次C-曲线的形状分类判断三次判断三次C-C-曲线上内部拐点和尖点的存在情况，曲线上内部拐点和尖点的存在情况，就是要判断特征函数在就是要判断特征函数在 上的零点的类型上的零点的类型 三次C-曲线是广义摆线的一段: 单重零点 拐点二重零点 尖点存在使二重点次溷合
6、多项式曲线间曲面究三次C-Bzier曲线其中次溷合多项式曲线间曲面究将三次C-Bzier曲线化为C-曲线次溷合多项式曲线间曲面究平面三次混合双曲多项式曲线及其形状分类 三次混合双曲多项式曲线及其形状分类 一段三次混合双曲多项式曲线的形状分类 三次H-Bzier曲线的形状分类几何不变性、端点插值性、端边相切性和凸包性 次溷合多项式曲线间曲面究区间三角区间三角Bzier曲面曲面 设 是三角形 内的任意一点， 表示重心坐标， 。令则区间三角Bernstein-Bzier曲面定义为 其中区间运算几何意义厚度次溷合多项式曲线间曲面究区间三角Bzier曲面的降阶问题 给定一张n次的区间三角Bzier曲面
7、，寻求一张m次(mn)的区间三角Bzier曲面 使得 ，且 。 其中：解决方案 先通过约束优化求出 的升阶形式 (n次) ，然后将其还原为 。次溷合多项式曲线间曲面究区间三角Bzier曲面的升阶与还原利用升阶公式可以将三角Bzier曲面价改写成高阶的形式 本文推广定义了区间三角Bzier曲面的升阶公式，并证明了升阶的合理性由升阶公式可以得到它的逆变换，称之为还原公式。本文还探讨了能够对这些区间控制顶点进行逆变换的限制条件，称之为还原条件次溷合多项式曲线间曲面究约束优化目标函数 厚度最小约束条件求解包含关系：还原条件：可降为m次的条件在一般情况下可采用Matlab等软件求解，降阶次数比较低时也可
8、采用分析法求解次溷合多项式曲线间曲面究待解决的问题特征函数的虚根与曲线上的二重点是否存在某种联系？空间三次混合多项式曲线上拐点和奇点存在的充分必要条件；平面三次有理混合多项式曲线上拐点和奇点存在的充分必要条件；空间三次有理混合多项式曲线上拐点和奇点存在的充分必要条件；探讨区间三角Bzier曲面降阶逼近的更为有效的算法。次溷合多项式曲线间曲面究总结给出了平面三次混合多项式曲线上拐点、尖点和二重点存在的充分必要条件。这些平面三次混合多项式曲线包括：广义摆线(平面三次混合三角多项式曲线)、三次C-曲线、三次C-Bzier曲线、平面三次混合双曲多项式曲线、平面三次混合双曲多项式曲线段、三次H-Bzie
9、r曲线。 方法：通过特征函数零点的分布得到拐点和尖点的分布，直接从定义出发可得到二重点的分布设计了一种区间三角Bzier曲面的降阶逼近算法。 方法：先采用约束优化法得到所求曲面的升阶形式，再将其还原谢谢！次溷合多项式曲线间曲面究向量值函数的周期性由周期数量函数的定义推广定义周期向量值函数向量值函数 为周期函数当且仅当存在常数和常向量 使得对任意 有数量函数 为周期函数当且仅当存在常数使得对任意 有写成向量形式即令向量值函数 则次溷合多项式曲线间曲面究三次C-曲线上的尖点一个尖点次溷合多项式曲线间曲面究三次C-曲线上的拐点一个拐点二个拐点次溷合多项式曲线间曲面究三次C-曲线上的二重点根据重点的定义可推导次溷合多项式曲线间曲面究区间三角Bzier曲面的升阶公式对于一般的三角Bzier曲面 定义区间三角Bzier曲面的升阶公式如下 次溷合多项式曲线间曲面究约束优化次溷合多项式曲线间曲面究分析法求解次溷合多项式曲线间曲面究
