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1、1.1.2 1.1.2 弧度制弧度制2021/7/221问：我们是用什么单位来度量问：我们是用什么单位来度量角的？角的？1的角是怎样规定的？的角是怎样规定的？(2) 规定规定周角周角的的1/360叫做叫做1度的角。度的角。(1)用用度度作单位来度量角的单位制叫做角度制。作单位来度量角的单位制叫做角度制。单位为单位为“度度”（即（即“ ”） 不能省略不能省略2021/7/222一、弧度制一、弧度制 我们把长度等于我们把长度等于半径半径长的长的弧弧所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角。“弧度弧度”常用常用“rad”rad”表示。表示。设弧AB的长为:r若 =r,则AOB=1弧度若
2、 =2r,则AOB=r=2 radr=若 =3r,则AOB=3 radr =rOAB2021/7/223 思考：思考：若圆心角AOB表示一个顺时针方向旋转的角，且它所对的弧的长为3r,则AOB的弧度数的绝对值是？弧度数是？lr=3l=3rOABr-3弧度即即AOB= lr=3 radAOB =2021/7/2241.定义：定义：我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角为负数，零角的弧度数为零，任一已知角的弧的弧度数的绝对值：度数的绝对值：=lr其中：其中： l 以角以角为圆心角所对的弧长为圆心角所对的弧长 r r
3、角所在角所在圆的半径圆的半径这种这种用用“弧度弧度” ” 做单位来度量角的制度，叫做做单位来度量角的制度，叫做弧度制弧度制。2021/7/225 弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的比弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的比值来表示，那么一个角的弧度数与所在的圆值来表示，那么一个角的弧度数与所在的圆的半径之间存在一定的联系么？若存在，请的半径之间存在一定的联系么？若存在，请阐述是什么关系？若不存在，说明理由。阐述是什么关系？若不存在，说明理由。问题问题1 1：结论：结论：当圆心角一定时，它所对的弧长与半当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所在圆的半径大小无关。径的比值是一定的，与
4、所在圆的半径大小无关。2021/7/2262. 弧度制与角度制相比：弧度制与角度制相比：(1) 弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”为为单位单位的度量角的单的度量角的单位制，角度制是以位制，角度制是以“度度”为单位来度量角的为单位来度量角的单位制；单位制；1弧度弧度1 ； （2）1弧度弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而心角的大小，而1度是圆周度是圆周 所对的圆心角所对的圆心角的大小；的大小； 2021/7/227（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧
5、度和度为单位的角，都是一个与半）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。径无关的定值。 2021/7/228二、弧度与角度的换算二、弧度与角度的换算 思考：思考： 1.1.若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是多少？ 2.2.若弧是一个半圆，其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个半圆，其圆心角的弧度数是多少？2rad若若l=2 r,则则AOB=lr=若若l= r, 则则AOB=lr=rad360= 2 360= 2 弧度弧度180= 180= 弧度弧度l=2 rO（B）r2021/7/229问题问题2 2：180= 180= 弧度弧度由公式由公式 你可推
6、算出：你可推算出：11等于多少弧度么？等于多少弧度么？1 1弧度又等于多少度呢？弧度又等于多少度呢？180= 1 1801= 弧度弧度 001745弧度弧度1801 1弧度弧度 = =（） 57 5730= 571830= 5718180180结论：结论：2021/7/2210例题例题1.1.（1 1） 把把 67306730化成弧度。化成弧度。（2） 把把 弧度化成度。弧度化成度。53解：解： 解：解： 练习练习: (1)把把11230化成弧度（用化成弧度（用表示表示）。）。(2)把把 化为角度。化为角度。2021/7/2211 例例2.2.请写出一些特殊角的弧度数请写出一些特殊角的弧度数
7、注注: : 1.1.用弧度为单位表示角的大小时，用弧度为单位表示角的大小时， “弧度弧度”二字或二字或“radrad” 通常省略不写，但用通常省略不写，但用“度度”（）为单位不能省。）为单位不能省。 2.用弧度为单位表示角时，通常写用弧度为单位表示角时，通常写 成成“多少多少”的形式的形式, 如无特别要求，不用将如无特别要求，不用将化成小数。化成小数。度度 0 30 45 60 90 120135150180270360弧弧度度数数2021/7/2212锐角：锐角：|090直角：直角： |=90钝角：钝角： |90180平角：平角： |=1800到到90的角：的角：|090小于小于90角：角：
8、|90例例3 3：请用弧度制表示下列角度所在区间。：请用弧度制表示下列角度所在区间。2021/7/2213你能根据角度制下的弧长公式和扇形面积公式换算你能根据角度制下的弧长公式和扇形面积公式换算出弧度制下的弧长公式和扇形面积公式么？出弧度制下的弧长公式和扇形面积公式么？弧长公式：弧长公式：l = nR/180l = nR/180扇形面积公式：扇形面积公式：角度制：角度制：弧度制：弧度制：弧长公式：弧长公式：l = l = R扇形面积公式：扇形面积公式：s = R = l R 2三三.弧长弧长及及扇形面积扇形面积2021/7/2214 用弧度制表示用弧度制表示弧长弧长及及扇形面积扇形面积公式：公
9、式： 弧长弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积的绝对值与半径的积. 弧长公式：弧长公式：由公式：由公式：比公式比公式 简单简单.2021/7/2215 扇形面积公式扇形面积公式 其中其中l是扇形弧长，是扇形弧长，R是圆的半径。是圆的半径。证明：设扇形所对的圆心角为证明：设扇形所对的圆心角为n(rad)，则，则又又 R=l，所以，所以2021/7/2216证明证明2：因为圆心角为：因为圆心角为1 rad的扇形面积是的扇形面积是而弧长为而弧长为l的扇形的圆心角的大小是的扇形的圆心角的大小是 rad.所以它的面积是所以它的面积是2021/7/2217解：
10、因为解：因为60= ,所以所以l=r= 5052.5 .例例4. 扇形扇形AOB中，中， 所对的圆心角是所对的圆心角是60，半径是，半径是50米，求米，求 的长的长l（精确到（精确到0.1米）。米）。ABAB答：答： 的长约为的长约为52.5米米.AB2021/7/2218例例5. 在半径为在半径为R的圆中，的圆中，240 的中心角所对的的中心角所对的弧长为弧长为 ，面积为，面积为2R2的扇形的的扇形的中心角等于中心角等于 弧度。弧度。解：（解：（1）240= ，根据，根据l=R，得，得（2）根据）根据S= lR= R2，且，且S=2R2.所以所以 =4.2021/7/2219例例6.与角与角
11、1825的终边相同，且绝对值最小的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。的角的度数是，合弧度。 解：解：1825=536025， 所以与角所以与角1825的终边相同，且绝对值的终边相同，且绝对值最小的角是最小的角是25.合合2021/7/2220例例7. 已知一半径为已知一半径为R的扇形，它的周长等于的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长解：周长=2R=2R+l，所以，所以l=2(1)R.所以扇形的中心角是所以扇形的中心角是2(1) rad.合合( ) 扇形
12、面积是扇形面积是2021/7/22211.圆心角圆心角所对弧长与半径的比是一个所对弧长与半径的比是一个仅与角仅与角大小有关的常数大小有关的常数,所以作为度所以作为度量角的标准量角的标准.2.角度是一个量角度是一个量,弧度数表示弧长与半弧度数表示弧长与半径的比径的比,是一个实数是一个实数,这样在角集合与实这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系数集之间就建立了一个一一对应关系.正角正角零角零角负角负角正实数正实数零零负实数负实数小小结结2021/7/2222弧度制弧度制角度制角度制度量单位度量单位弧度弧度(10(10进制进制) )度度(60进进制制,1,1 =60,1=60=60,1=60 )单位规定单位规定把长度等于半径长把长度等于半径长的弧所对的圆心角的弧所对的圆心角叫做叫做1弧度的角。弧度的角。周角的周角的1/360叫做叫做1度的度的角。角。换算关系换算关系 基本关系基本关系导出关系导出关系 2021/7/2223
