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1、7.6 可以对角化的矩阵1 定义:设 是数域 上 维向量空间 的一个线性变换。如果存在的一个基,使得 关于这个基的矩阵具有对角形式 (1) 那么就称 可以对角化。 设 是 上一个 阶矩阵。如果存在 上一个 阶可逆矩阵 ,使得具有对角形式(1),则称 可以对角化。2 定理7.6.1:令 是数域 上向量空间 的一个线性变换。如果分别是 的属于互不相同的本征值 的本征向量,则 线性无关。 推论7.6.2:设 是数域 上向量空间 的一个线性变换。 是 的互不相同的本征值。又设 是属于本征值 的线性无关的本征向量 ,则 线性无关。3 定理7.6.3:令 是数域 上向量空间 的一个线性变换。若 的特征多项
2、式 在 内有 个单根,则存在的一个基,使得 关于这个基的矩阵具有对角形式。 推论7.6.4:设 是数域 上一个阶矩阵。若 的特征多项式 在 内有 个单根,则存在一个 阶可逆矩阵 ,使得 。4 注:推论7.6.4的条件只是一个 阶矩 阵可以对角化的充分条件,但不是必 要条件。 例如: 阶单位矩阵 是一个对角形矩阵,但它的特征根只是重根1。 定义:设 是数域 上向量空间 的 一个线性变换, 是 的一个本征值。令 ,则 叫做 的属于本征值 的本征子空间,且 在 之下不变。5 结论:若线性变换 的本征值 是的特征多项式 的一个 重根,则的重数为 。设 是 的一个 重本征值,而 的属于本征值 的本征子空
3、间 的维数是 ,则 ,即: 的属于本征值 的本征子空间的维数不能大于 的重数。6 定理7.6.5:令 是数域 上 维向量空间 的一个线性变换, 可以对角化的充要条件是: (1) 的特征多项式的根都在 内; (2)对于 的特征多项式的每一个根 ,本征子空间 的维数等于的重数。7 设 上 维向量空间 的一个线性变换关于某一个基的矩阵是 ,而是 的一个本征值。则齐次线性方程组 的一个基础解系给出了本征子空间 的一个基,即基础解系的每一个解向量给出了 的一个基向量的坐标。因此, ,这里, 。8 推论7.6.6:设 是数域 上一个阶矩阵。 可以对角化的充要条件是: (1) 的特征根都在 内; (2)对于
4、 的每一个特征根 , ,这里 是 的重数。 例1、判断矩阵能否对角化。9 如果一个 阶矩阵 可以对角化,那么存在可逆矩阵 ,使得 , 或 最后等式表明,矩阵 的第 列就是的属于特征根 的一个特征向量。因此,我们不仅可以写出与 相似的对角形矩阵,而且还可以具体地求出矩阵 。步骤如下:10 1、先求出矩阵 的全部特征根; 2、若 的特征根都在 内,则对于每一个特征根 ,求出齐次线性方程组 的一个基础解系; 3、若对于每一特征根 ,相应的齐次线性方程组的基础解系所含的向量个数等于 的重数,则 可以对角化,以这些解向量为列,作一个 阶矩阵 11由推论7.6.2可知, 的列向量线性无关,因而是一个可逆矩
5、阵,并且是对角形矩阵。 例2、检验矩阵能否对角化?若能,求出过渡矩阵 。12第七章小结一、线性映射 1、定义(会判断 是否为线性映射) 2、线性映射的逆映射仍为线性映射 3、掌握像空间和核空间的定义二、线性变换的运算:加、减、数乘、 乘法及其算律13三、线性变换和矩阵 1、线性变换关于某个基的矩阵 2、线性变换关于基的坐标 3、一个线性变换关于两个基的矩阵间的关系:相似 4、相似矩阵的定义和性质四、不变子空间 1、定义(会证明不变子空间) 2、不变子空间和简化线性变换的矩阵的关系14五、本征值和本征向量 1、定义 2、求法 3、相似矩阵的特征多项式的关系六、可以对角化的矩阵 1、定理7.6.1-7.6.6 2、怎样判定给定矩阵可否对角化 (定理7.6.6) 3、如何求可对角化矩阵的可逆矩阵 (过渡矩阵) ?15