可以对角化矩阵

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1、7.6 可以对角化的矩阵1 定义：设 是数域 上 维向量空间 的一个线性变换。如果存在的一个基，使得 关于这个基的矩阵具有对角形式 （1） 那么就称 可以对角化。 设 是 上一个 阶矩阵。如果存在 上一个 阶可逆矩阵 ，使得具有对角形式（1），则称 可以对角化。2 定理7.6.1：令 是数域 上向量空间 的一个线性变换。如果分别是 的属于互不相同的本征值 的本征向量，则 线性无关。 推论7.6.2：设 是数域 上向量空间 的一个线性变换。 是 的互不相同的本征值。又设 是属于本征值 的线性无关的本征向量 ，则 线性无关。3 定理7.6.3：令 是数域 上向量空间 的一个线性变换。若 的特征多项

2、式 在 内有 个单根，则存在的一个基，使得 关于这个基的矩阵具有对角形式。 推论7.6.4：设 是数域 上一个阶矩阵。若 的特征多项式 在 内有 个单根，则存在一个 阶可逆矩阵 ，使得 。4 注：推论7.6.4的条件只是一个 阶矩 阵可以对角化的充分条件，但不是必 要条件。 例如： 阶单位矩阵 是一个对角形矩阵，但它的特征根只是重根1。 定义：设 是数域 上向量空间 的 一个线性变换， 是 的一个本征值。令 ，则 叫做 的属于本征值 的本征子空间，且 在 之下不变。5 结论：若线性变换 的本征值 是的特征多项式 的一个 重根，则的重数为 。设 是 的一个 重本征值，而 的属于本征值 的本征子空

3、间 的维数是 ，则 ，即： 的属于本征值 的本征子空间的维数不能大于 的重数。6 定理7.6.5：令 是数域 上 维向量空间 的一个线性变换， 可以对角化的充要条件是： （1） 的特征多项式的根都在 内； （2）对于 的特征多项式的每一个根 ，本征子空间 的维数等于的重数。7 设 上 维向量空间 的一个线性变换关于某一个基的矩阵是 ，而是 的一个本征值。则齐次线性方程组 的一个基础解系给出了本征子空间 的一个基，即基础解系的每一个解向量给出了 的一个基向量的坐标。因此， ，这里， 。8 推论7.6.6：设 是数域 上一个阶矩阵。 可以对角化的充要条件是： （1） 的特征根都在 内； （2）对于

4、 的每一个特征根 ， ，这里 是 的重数。 例1、判断矩阵能否对角化。9 如果一个 阶矩阵 可以对角化，那么存在可逆矩阵 ，使得 , 或 最后等式表明，矩阵 的第 列就是的属于特征根 的一个特征向量。因此，我们不仅可以写出与 相似的对角形矩阵，而且还可以具体地求出矩阵 。步骤如下：10 1、先求出矩阵 的全部特征根； 2、若 的特征根都在 内，则对于每一个特征根 ，求出齐次线性方程组 的一个基础解系； 3、若对于每一特征根 ，相应的齐次线性方程组的基础解系所含的向量个数等于 的重数，则 可以对角化，以这些解向量为列，作一个 阶矩阵 11由推论7.6.2可知， 的列向量线性无关，因而是一个可逆矩

5、阵，并且是对角形矩阵。 例2、检验矩阵能否对角化？若能，求出过渡矩阵 。12第七章小结一、线性映射 1、定义（会判断 是否为线性映射） 2、线性映射的逆映射仍为线性映射 3、掌握像空间和核空间的定义二、线性变换的运算：加、减、数乘、 乘法及其算律13三、线性变换和矩阵 1、线性变换关于某个基的矩阵 2、线性变换关于基的坐标 3、一个线性变换关于两个基的矩阵间的关系：相似 4、相似矩阵的定义和性质四、不变子空间 1、定义（会证明不变子空间） 2、不变子空间和简化线性变换的矩阵的关系14五、本征值和本征向量 1、定义 2、求法 3、相似矩阵的特征多项式的关系六、可以对角化的矩阵 1、定理7.6.1-7.6.6 2、怎样判定给定矩阵可否对角化 （定理7.6.6） 3、如何求可对角化矩阵的可逆矩阵 （过渡矩阵） ？15