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1、三角函数根底知识精华三角函数根底知识精华1 1、任意角终边相同的角、轴线角、象限角、任意角终边相同的角、轴线角、象限角 与 0 360 终 边 相 同 的 角 的 集 合 角与 角的 终 边 重 合 ：| k360,k Z象限角：第一象限的角表示为|k360k360+90， kZ；第二象限的角表示为|k360+90k360+180， kZ；第三象限的角表示为|k360+180k360+270， kZ；第四象限的角表示为|k360+270k360+360， kZ；或|k36090k360， kZ轴线角：终边在 x 轴正半轴上的角的集合：|=k360， kZ；终边在 x 轴负半轴上的角的集合：|=
2、k360+180，kZ；终边在 x 轴上的角的集合：|=k180，kZ；终边在 y 轴正半轴上的角的集合：|=k360+90，kZ；终边在 y 轴负半轴上的角的集合：|=k360+270，kZ；终边在 y 轴上的角的集合：|=k180+90，kZ；终边在坐标轴上的角的集合：|=k90，kZ2 2、弧度制、弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角它的单位是 rad 读作弧度，这种用“弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制性质：平角、周角的弧度数， 平角= rad、周角=2 rad正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0角的弧度数的绝对值ll为弧长，r为半径r角度制、弧度
3、制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同都是0 ；用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同角度制与弧度制的换算：360=2 rad180= rad180 1=rad 0.01745rad1rad 57.30 57 181803 3、扇形相关公式扇形相关公式弧长公式：l r周长公式：c 2r l扇形面积公式S 第1页11lR R2其中是圆心角，l是扇形弧长，R是圆的半径224 4、三角函数定义：、三角函数定义
4、：设是一个任意角，在的终边上任取异于原点的一点Px,yP 与原点的距离为 r，那么：y ya a的终边的终边P P（x,yx,y) )r r正弦： sinyx；余弦： cos；rr正切： tanyx；余切： cot；xyy yP PT To ox x5 5、三角函数在各象限的符号：、三角函数在各象限的符号： 一全二正弦，三切四余弦一全二正弦，三切四余弦+ + +o ox x- - -正弦、余割正弦、余割y y- -+ +o o- -+ +x x余弦、正割余弦、正割y y- -+ +o ox x+ +- -正切、余切正切、余切y yO OMMA A x x6 6、特殊角的三角函数值：、特殊角的三
5、角函数值：角度弧度0304560901201351501800061232334222233221233234225612sin正弦0cos余弦11201232221tan正切013 313307 7、同角三角函数的根本关系式：、同角三角函数的根本关系式：22sin tancos cottancot1sin cos1cossin8 8、诱导公式：、诱导公式：把k“奇变偶不变，符号看象限的三角函数化为的三角函数，概括为：2公式组一公式组一公式组二公式组二公式组三公式组三公示四公示四sin(2k x) sin xtan(2k x) tan xsin(x) sin xtan(x) tan xcos(
6、2k x) cosxcos(x) cosxsin( x) cosx2cos( x) sin x2tan( x) cot x2sin( x) cosx2cos( x) sin x2tan( x) cot x2第2页公式组四公式组四公式组五公式组五公式组六公式组六sin( x) sin xtan( x) tanxsin(2 x) sin xtan(2 x) tan xsin( x) sin xtan( x) tanxcos( x) cosxcos(2 x) cosxcos( x) cosx9 9、三角恒等变换公式、三角恒等变换公式cos() coscossinsinsin 2 2sincoscos
7、() coscossinsincos2 cos2sin2 2cos2112sin2sin() sincoscossintan22tan1tan2sin() sincoscossinsin 21cos2tan() tan tan1coscos 1tantan22tantantan 1cossin1cos1 tantan21cos1cossin21sin2a (sinacosa)21sin2a (sinacosa)tan() 21+cos2a 2cos a升幂公式：21cos2a 2sin a1cos2a1:3型： sina3cosa 2sin(a)23cos a 2降幂公式：辅助角公式：3:1型
8、：3sinacosa 2sin(a)1cos2a2sin a 62sinacosa 2sin(a)1:1型：41010、正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：、正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：定义域值域周期性奇偶性y sin xRxy cosRy tanx1,k Zx | x R且x k21,121,12R奇函数偶函数奇函数单调性22k,22k上为增函2k 1,2k；上为增函数2k,2k 1上为减函数k Zk,k上22数；32k,2k上为减函数22k Z为增函数k Z对称轴x x0x0是函数取最大或最小值时对应的x 值无对称中心(x0,0)函数图像与 x 轴的交点第3页定义域值域周期
9、性奇偶性y tan （x+）y AsinxA、0Rx | xR且x k,k ZR A,A2f (0) 0时，为奇函数f (0) 0时，为奇函数；f (0)是极值时，为偶函数当kx k时，22单调性为增函数k Z当2k223当2kx 2k时，为减函数22k Zx 2k时，为增函数；对称轴无x x0x0是函数取最大或最小值时对应的x 值对称中心(x0,0)函数图像与 x 轴的交点注意：y sin x与y sin x的单调性正好相反；y cosx与y cosx的单调性也同样相反。y sin x与y cosx的周期是.y sin(x)或y cos(x) 0的周期T 2y.Oxxy tan的周期为 2T
10、 T 2，如图，翻折无效.2y sin(x)的对称轴方程是x k2k Z ，对称中心k,0 ；y cos(x)的对称轴方程是x kk Z ，对称中心k1,0 ；y tan(x )的对称中心2k。,02当tantan1, k2(k Z)；tantan 1, k2(k Z).y cosx与y sinx 2k是同一函数,而y cos(x)是偶函数，那么2y cos(x) sin(wxk) cos(wx).2函数y tan x在R上为增函数. 只能在某个单调区间单调递增. 假设在整个定义域，yy tan x为增函数，同样也是错误的.y sinx不是周期函数；y sinx为周期函数T ；y=cos|x|
11、图象x第4页；y cosx是周期函数；y cosx为周期函数T y cos2x y1的周期为如图 ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：1/22y=|cos2x+1/2|图象xy f (x) 5 f (x k),k R.11、三角函数图象的作法： 、几何法： 、描点法及其特例五点作图法正、余弦曲线 ，三点二线作图法正、余切曲线. 、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsinx的振幅|A|，周期T 2，频率f 1|，相位x;初相即|T2当 x0 时的相位 当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号 ，由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，
12、纵坐标伸长 当|A|1或缩短 当 0|A|1到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换 用 y/A 替换 y由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长0|1或缩短|1到原来的|1|倍，得到 ysin x 的图象，叫做周期变换周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用x 替换x)由 ysinx 的图象上所有的点向左当0或向右当 0平行移动个单位，得到 ysinx的图象，叫做相位变换相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向上当b0或向下当b0平行移动b个单位，得到ysinxb 的图象叫做沿 y
13、 轴方向的平移 用 y+(-b)替换 y由 ysinx 的图象利用图象变换作函数yAsinx A0，0 xR的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。正弦定理及变形正弦定理及变形： A，B，C 为三角形三个顶角，a，b，c，R 为外接圆半径abcabc 2Rsin Asin BsinCsin Asin B sinC变形：a 2RsinAb2RsinBc 2RsinCb2c2a2a2c2b2a2b2c2余弦定理余弦定理：cos A cosB cosC 2bc2ac2ab变形：a2 b2c22bccos Ab2 a2c22accos Bc2 a2b22abcosC三角形及面积的计算三角形及面积的计算：S 三角形内诱导公式：三角形内诱导公式：c111abcabsinC acsin B bcsin A 2224Rsin A sin(B C)cos A cos(B C)tan A tan(B C)sinABCABCABC cos()cos sin()tan cot()222222第5页
