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1、定理定理1 (1 (无穷小与函数极限无穷小与函数极限(jxin)(jxin)的关系的关系) )其中其中 ( (x) )为为时的无穷小量时的无穷小量. . 定理定理(dngl)2 (dngl)2 有限个无穷小的代数和是有限个无穷小的代数和是无穷小无穷小. .定理(dngl)3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 2 有限个无穷小之积为无穷小有限个无穷小之积为无穷小. .推论推论1 1 常数与无穷小之积为无穷小常数与无穷小之积为无穷小. .第1页/共24页第一页，共25页。若在定义若在定义2 2中将中将(zhngjing)(zhngjing)式改为式改为则记作则记作则称函数则称函数(hns
2、h)(hnsh)当当时为无穷大时为无穷大, ,记作记作定义定义(dngy)2 (dngy)2 若任给若任给 M 0,M 0,一切满足不等式一切满足不等式的的X, ,总有总有 使对使对( (正数正数X),),总存在总存在第2页/共24页第二页，共25页。注意注意(zh y)1.1.无穷大不是无穷大不是(b shi)(b shi)很大的数很大的数, ,它是描述函数的一种过程它是描述函数的一种过程; ;2.2.函数为无穷大函数为无穷大, ,必定必定(bdng)(bdng)无界无界; ;但反之但反之不真不真. .例如例如: :函数函数不是无穷大不是无穷大. .3.3.若若 则直线则直线为曲线为曲线的铅
3、直渐近线的铅直渐近线. .第3页/共24页第三页，共25页。1.1.无穷大与有界变量无穷大与有界变量(binling)(binling)的代数的代数和是无穷大和是无穷大. . 2.2.无穷大与非零常数无穷大与非零常数(chngsh)(chngsh)的乘积的乘积是无穷大是无穷大. . 3.3.无穷大与无穷大的乘积无穷大与无穷大的乘积(chngj)(chngj)是无穷大是无穷大. . 注意注意 1.1.无穷大与无穷大之和不一定是无穷大无穷大与无穷大之和不一定是无穷大. . 但两个同号的无穷大之和是同号的无穷大但两个同号的无穷大之和是同号的无穷大. .无穷大的性质无穷大的性质2.2.无穷大与有界变量
4、的乘积不一定是无穷大无穷大与有界变量的乘积不一定是无穷大. .第4页/共24页第四页，共25页。第5页/共24页第五页，共25页。若若为无穷大为无穷大, ,为无穷小为无穷小; ;若若为无穷小为无穷小, ,且且则则为无穷大为无穷大. .则则由定理由定理4,4,关于无穷大的问题关于无穷大的问题(wnt)(wnt)都可转化为都可转化为 无穷小来讨论无穷小来讨论. .定理定理4 4 在自变量的同一变化在自变量的同一变化(binhu)(binhu)过程中过程中, ,说明说明(shumng)(shumng)第6页/共24页第六页，共25页。 对一个对一个(y )函数而言函数而言,在自变量的某个变化过程中在
5、自变量的某个变化过程中,其其无穷小恰为极限存在无穷小恰为极限存在(cnzi)时的特殊情况时的特殊情况,无穷大是极限无穷大是极限不不要么有极限要么有极限,要么无极限要么无极限,二者必居其一二者必居其一,且仅居其一且仅居其一.存在时的特殊情况存在时的特殊情况.只要抓住这两种特殊情形只要抓住这两种特殊情形,就可以就可以有助于解决一般性的问题有助于解决一般性的问题.第7页/共24页第七页，共25页。第8页/共24页第八页，共25页。一、极限的四则运算一、极限的四则运算(s z yn sun)(s z yn sun)法则法则 二、复合函数的极限二、复合函数的极限(jxin)(jxin)运算法则运算法则
6、三、极限三、极限(jxin)(jxin)的计算方法的计算方法第五节第五节 极限运算法则极限运算法则第9页/共24页第九页，共25页。定理定理(dngl(dngl)1)1注意 使用运算法则前提,参与(cny)运算的极限都存在.第10页/共24页第十页，共25页。推论推论(tu(tuln)ln)第11页/共24页第十一页，共25页。定理定理(dngl)2(dngl)2 说明说明(shumng) (shumng) 若定理中若定理中则类似则类似(li (li s)s)可得可得第12页/共24页第十二页，共25页。1.1.直接利用极限运算直接利用极限运算(yn (yn sun)sun)法则法则第13页/
7、共24页第十三页，共25页。小结小结(xioji) (xioji) 代入法代入法例如例如(lr)(lr)第14页/共24页第十四页，共25页。2.2.无穷小与有界变量无穷小与有界变量(binling)(binling)乘积仍乘积仍为无穷小为无穷小3.3.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系(gun (gun x)x)第15页/共24页第十五页，共25页。4.4.分解因式分解因式(ynsh)(ynsh)约去零因子约去零因子( (零因子约分法零因子约分法) )例例5 5 计算计算(j (j sun)sun)例例6 6 计算计算(j sun)(j sun)第16页/共24页第十六页，共25页。5
8、.5.有理化有理化(lhu)(lhu)约去零因子约去零因子例例7 7 计算计算(j sun)(j sun)例例8 8 计算计算(j sun)(j sun)例例9 9 计算计算第17页/共24页第十七页，共25页。6.6.分子、分母分子、分母(fnm)(fnm)同除以无穷大量法同除以无穷大量法例例1111注意注意第18页/共24页第十八页，共25页。为非负常数为非负常数(chngsh)一般有如下结果：一般有如下结果：第19页/共24页第十九页，共25页。第20页/共24页第二十页，共25页。7.7.无穷大减无穷大无穷大减无穷大: :通分或者通分或者(huzh)(huzh)有理化有理化 第21页/
9、共24页第二十一页，共25页。第22页/共24页第二十二页，共25页。极限极限(jxin)(jxin)计算的计算的思路分析思路分析无穷小与有界变量无穷小与有界变量(binling)(binling)乘积为无穷小乘积为无穷小无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系(gun x)(gun x)4.4.分解因式约去零因子分解因式约去零因子直接利用极限运算法则直接利用极限运算法则 5.5.有理化约去零因子有理化约去零因子7.7.通分或者有理化通分或者有理化 状态归类晓状态归类晓定者仅三条定者仅三条悟得转化术悟得转化术极限知多少极限知多少( (转化为确定型转化为确定型) )6.6.分子、分母同除以一个无
10、穷大分子、分母同除以一个无穷大第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的欣赏(xnshng)！第24页/共24页第二十四页，共25页。内容(nirng)总结定理1 (无穷小与函数极限的关系)。定理2 有限个无穷小的代数和是无穷小.。定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.。推论(tuln)1 常数与无穷小之积为无穷小.。1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种过程。但两个同号的无穷大之和是同号的无穷大.。对一个函数而言,在自变量的某个变化过程中,其。无穷小恰为极限存在时的特殊情况,无穷大是极限不。要么有极限,要么无极限,二者必居其一,且仅居其一.。说明 若定理中。感谢您的欣赏第二十五页，共25页。
