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1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想, 采用可得求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 最大值目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” 都存在,的曲面积
2、分其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面目录 上页 下页 返回 结束 定理定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有二、对面积的
3、曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1) 如果曲面方程为则2) 如果曲面方程为则目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算曲面积分其中 是球面被平面截出的顶部.解解: :目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:若 是球面被平行平面 z =h 截出的上下两部分,则目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解解: 设 的方程为利用对称性可知重心的坐标而目录 上页
4、下页 返回 结束 因此目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算其中 是球面利用对称性可知解解: 显然球心为半径为利用重心公式目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 定义:2. 计算: 设则(曲面的其他两种情况类似)目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习P217 题1；3；4 (1) ; 7 解答提示解答提示:P217 题1.P217 题3. 设则P244 题2目录 上页 下页 返回 结束 P217 题4 (1). 在 xOy 面上的投影域为这是 的面积 !目录 上页 下页 返回 结束 P218 题7. 如图所示, 有目录 上页 下页 返回 结束 P244 题2. 限中的部分, 则有( ).( 2000 考研 )目录 上页 下页 返回 结束 作业 P217 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 已知曲面壳求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在 xOy 面上的投影为 故目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 是四面体面, 计算解解: 在四面体的四个面上同上平面方程投影域目录 上页 下页 返回 结束 同上平面方程投影域
