《2022年数学分析教案_第十七章__多元函数微分学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学分析教案_第十七章__多元函数微分学（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师精编精品教案第十七章多元函数微分学教学目的： 1. 理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系； 2. 掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。教学重点难点 ：本章的重点是全微分的概念、 偏导数的计算以及应用； 难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。教学时数 ：18 学时 1 可微性一可微性与全微分：1可微性：由一元函数引入 . 亦可写为, 时. 2全微分 :例 1 考查函数在点处的可微性 . P107例 1 二.偏导数 : 1.偏导数的定义、记法 : 2.偏导数的几何意义 : P109 图案 171.精选学习资料 - - - -
2、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页名师精编精品教案3.求偏导数 : 例 2 , 3 , 4 . P109110 例 2 , 3 , 4 . 例 5. 求偏导数 . 例 6. 求偏导数 . 例 7. 求偏导数 , 并求. 例 8. 求和. 解=, =. 例 9证明函数在点连续 , 并求和. 证. 在点连续 . , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页名师精编精品教案不存在 . 三.可微条件 : 1.必要条件 : Th 1 设为函数定义域的内点 .在点可微 , 和存在 ,
3、 且. ( 证 ) 由于, 微分记为. 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分 . 例 10考查函数在原点的可微性 . 1P110 例 5 . 2.充分条件 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页名师精编精品教案 Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续 , 点存在 , 则函数在点可微 . 证. 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例 11验证函数
4、在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证, 留为作业 ) 证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页名师精编精品教案因此 , 即, 在点可微 , . 但时, 有, 沿方向不存在 , 沿方向极限不存在 ; 又时, , 因此, 不存在 , 在点处不连续. 由关于和对称,也在点处不连续 . 四.中值定理 : Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于该邻域 , 则存在和, , 使得. ( 证 ) 例 12设在区域 D内. 证明在 D内. 五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：精选学习资料
5、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页名师精编精品教案1可微性的几何意义：切平面的定义 . P113. Th 5 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微 . ( 证略 ) 2. 切平面的求法 : 设函数在点可微 ，则曲面在点处的切平面方程为（ 其中），法线方向数为，法线方程为. 例 13试求抛物面在点处的切平面方程和法线方程 . P115例 6 3. 作近似计算和误差估计 : 与一元函数对照 , 原理 . 例 14 求的近似值 . P115例 7 例 15 应用公式计算某三角形面积 . 现测得,. 若测量的误差为的
6、误差为. 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116. 2 复合函数微分法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页名师精编精品教案简介二元复合函数 : . 以下列三种情况介绍复合线路图; , ; . 一.链导法则 : 以“外二内二”型复合函数为例. Th 设函数在点D可微 , 函数在点可微 , 则复合函数在点可微, 且, . ( 证 ) P118 称这一公式为 链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加 ，沿线乘” 或“并联加，串联乘”）来概括 . 对所谓“外三内二”、“外二内三”、“
7、外一内二”等复合情况，用“并联加 ，串 联乘” 的原则可写出相应的链导公式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页名师精编精品教案链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱 . 对外元, 内元, 有，. 外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例 1. 求和. P120例 1 例 2, . 求和. 例 3, 求和. 例 4设函数可微 . 求、和. 例 5用链导公式计算下列一元函数的导数 : ; . P121例 4 精选学习资料 - - - - - - -
8、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页名师精编精品教案例 6设函数可微. 在极坐标变换下 , 证明. P120例 2 例 7设函数可微 , . 求证. 二.复合函数的全微分 : 全微分和全微分形式不变性 .例 8. 利用全微分形式不变性求, 并由此导出和.P122 例 5 3 方向导数和梯度一方向导数：1方向导数的定义：定义设三元函数在点的某邻域内有定义 . 为从点出发的射线 . 为上且含于内的任一点 , 以表示与两点间的距离 . 若极限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页名师精编
9、精品教案存在 , 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数 , 记为或、. 对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 . 易见 , 、和是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数 . 例 1=. 求在点处沿方向的方向导数 , 其中为方向; 为从点到点的方向 . 解为方向的射线为. 即. , . 因此 , 从点到点的方向的方向数为方向的射线为. , ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页名师精编精品教案. 因此 , 2. 方向导数的计算 : Th 若函数在点可微 , 则在点处沿任一方向的方向导数都存在 , 且 +
10、, 其中、和为的方向余弦 . ( 证 ) P125 对二元函数, +, 其中和是的方向角 . 註由+= =, , , , , 可见 , 为向量, , 在方向上的投影 . 例 2 ( 上述例 1 ) 解的方向余弦为=, =, =. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页名师精编精品教案=1 , =, =. 因此 , =+ =. 的方向余弦为=, =, =. 因此 , =. 可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 . 例 3 P126 . 二. 梯度 ( 陡度 ) : 1. 梯度的定义 : , , . |= . 易见
11、 , 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义 : 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为|. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页名师精编精品教案其中是与夹角. 可见时取最大值 , 在的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算 : .(+) = +. () = +. . () = . 证 , . . 4 Taylor公式和极值问题一、高阶偏导数 : 1.高阶偏导数的定义、记法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
12、13 页，共 20 页名师精编精品教案例 9 求二阶偏导数和. P128例 1 例 10 . 求二阶偏导数 . P128例 2 2.关于混合偏导数 : P129 131. 3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , P131-132 例 11 . 求和. P132例 3 4. 验证或化简偏微分方程 : 例 12 . 证明+ . ( Laplace 方程 ) 例 13 将方程变为极坐标形式 . 解. , , , . , ; 因此, . 方程化简为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页名师精编精品教案例 1
13、4试确定和, 利用线性变换将方程化为. 解 , . =+= =+2+. =+= =+. =+. 因此 , + (+ . 令, 或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页名师精编精品教案或 , 此时方程化简为. 二中值定理和泰肋公式：凸区域 . Th 1 设二元函数在凸区域 D上连续 , 在 D的所有内点处可微 . 则对 D内任意两点D , 存在, 使. 证令. 系若函数在区域 D上存在偏导数 , 且, 则是 D上的常值函数 . 二. Taylor 公式: Th 2 ( Taylor 公式 ) 若函数在点的某邻域内有直到
14、阶连续偏导数 , 则对内任一点, 存在相应的, 使证P134 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页名师精编精品教案例 1 求函数在点的 Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算 P135 136 例 4 . 三. 极值问题 : 1. 极值的定义 : 注意只在内点定义极值 . 例 2 P136例 5 2极值的必要条件： 与一元函数比较 . Th 3 设为函数的极值点 . 则当和存在时 , 有=. ( 证 ) 函数的驻点、不可导点， 函数的可疑点 . 3. 极值的充分条件 : 代数准备 : 给出二元 (
15、实 ) 二次型. 其矩阵为. 是正定的 ,顺序主子式全,是半正定的 ,顺序主子式全; 是负定的 , 其中为阶顺序主子式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页名师精编精品教案是半负定的 , . , 为 ( 严格 ) 极小值点 ; , 为 ( 严格 ) 极大值点 ; 时, 不是极值点 ; 时, 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上 , 有以下定理 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页名师精编精品教案Th 4 设函数在点的某邻
16、域内有连续的二阶偏导数 , 是驻点 . 则 时 , 为极小值点 ; 时 , 为极大值点 ; 时 , 不是极值点 ; 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 例 37 P138 140 例 610 . 四 函数的最值：例 8 求函数在域 D = 上的最值 . 解令解得驻点为. . 在边界上 , , 驻点为, ; 在边界上 , , 没有驻点 ; 在边界上 , , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页名师精编精品教案驻点为, . 又. 于是 , . . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页
