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1、第五章矩阵的对角化及二次型1 向量的内积与施密特正交化方法向量的内积与施密特正交化方法定义：设有 n 维向量令则称 x, y 为向量 x 和 y 的内积向量的内积x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性： x, y = y, xx, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性： x, y = y, xl线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y
2、, z x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性： x, y = y, xl线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z l当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0；当 x 0（零向量） 时， x, x 0x, x = x12 + x22 + + xn2 0x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性： x, y = y, xl
3、线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z l当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0；当 x 0（零向量） 时， x, x 0l施瓦兹（Schwarz）不等式x, y2 x, x y, y回顾：线段的长度x1x2x1x2x3P(x1, x2)OPO若令若令 x = (x1, x2)T，则，则若令若令 x = (x1, x2, x3)T，则，则x, x = x12 + x22 + + xn2 0 向量的长度定义：令称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数）当 | x | = 1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：w非负性：
4、当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x0（零向量） 时， | x | 0w齐次性： | l x | = | l | | x | 向量的长度定义：令称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数）当 | x | = 1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：w非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x 0（零向量） 时， | x | 0w齐次性： | l x | = | l | | x |w三角不等式： | x + y | | x | + | y |xyx + yy向量的正交性施瓦兹（Schwarz）不等式x, y2 x, x y, y
5、= | x | | y |当 x 0 且 y 0 时，定义：当 x 0 且 y 0 时，把称为 n 维向量 x 和 y 的夹角当 x, y = 0，称向量 x 和 y 正交结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交xy定义：定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组正交向量组定理：定理：若若 n 维向量维向量a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量，是一组两两正交的非零向量，则则 a1, a2, , ar 线性无关线性无关证明：证明：设设 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量）（零向量），那么，那么 0 = a1,
6、0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2从而从而 k1 = 0同理可证，同理可证，k2 = k3 = = kr =0综上所述，综上所述， a1, a2, , ar 线性无关线性无关例：例：已知已知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正交两两正交分析：分析：显然显然a1a2 解：解：设设a3 = (x1, x2, x3)T ，若，若a1a3
7、， a2a3 ，则，则 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0得得从而有基础解系从而有基础解系 ，令，令 定义：定义： n 维向量维向量e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 中的向量，中的向量，满足满足e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；中的一个基（最大无关组）；e1, e2, , er 两两正交；两两正交；e1, e2, , er 都是单位向量，都是单位向量，则称则称 e1, e2, , er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基例：例：
8、是是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基也是也是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基是是 R4 的一个基，但不是规范正交基的一个基，但不是规范正交基设设 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，则，则V 中任意中任意一一个向量可唯一表示为个向量可唯一表示为 x = l l1e1 + l l2e2 + + l lrer于是于是特别地，若特别地，若 e1, e2, , er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基，则，则问题：问题： 向量空间向量空间 V 中的一个基中的一个基 a1, a2, , ar 向量空间向量空间 V 中的一个规范正交基中的
9、一个规范正交基 e1, e2, , er求规范正交基的方法第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基基正交基正交基规范正交基规范正交基第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令于是 b1, b2, , br 两两正交，并且与a1, a2, , ar 等价，即 b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基特别地，b1, , bk 与a1, , ak 等价（1 k r）第二步：单位化第二步：单位化设
10、设 b1, b2, , br 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，那么令，那么令因为因为从而从而 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个规范正交基规范正交基例：例：设设 ，试用施密特正，试用施密特正交化交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取例：例：设设 ，试用施密特正，试用施密特正交化交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第二步单位化，令第二步单位化，令例：例：已知已知 ，试求非零向量，试求非零向量a2, a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正两两正交交. .解：解
11、：若若a1a2 ， a1a3 ，则，则 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0即即a2, a3 应满足方程应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基础解系为基础解系为把基础解系正交化即为所求把基础解系正交化即为所求（以保证（以保证 a2a3 成立）成立）定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA = E，则称矩阵则称矩阵 A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 即即 A1 = AT，于是于是从而可得从而可得n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要
12、条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基 定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基. .因为因为ATA = E 与与AAT = E 等价，所以等价，所以定义：定义：如果如果 n
13、阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的行向量行向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的行向量组行向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基. .例：例：正交矩阵正交矩阵R4 的一个规范正交基的一个规范正交基
14、正交矩阵具有下列性质：正交矩阵具有下列性质：若若 A 是正交阵，则是正交阵，则 A1 也是正交阵，且也是正交阵，且|A| = 1 或或1若若 A 和和B是正交阵，则是正交阵，则 A 和和 B 也是正交阵也是正交阵定义：定义：若若 P 是正交阵，则线性变换是正交阵，则线性变换 y = Px 称为称为正交变换正交变换经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性持不变），这就是正交变换的优良特性2 特征值与特征向量特征值与特征向量引言w纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An = A
15、n (lEn) = lAn w矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA w数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l (AB) = (lA)B = A(lB)wAx = l x ? 例：一、基本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax = l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量例：则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量.一、基本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax = l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为
16、 A 对应于特征值 l 的特征向量Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (AlE) x = 0（零向量）齐次线性方程组有非零解系数行列式 | AlE | = 0特特征征方方程程特特征征多多项项式式w特征方程 | AlE | = 0w特征多项式| AlE |二、基本性质w在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）w设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多
17、项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1 = 2，l l2 = 4 当当 l l1 = 2 时，时， 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1 = 2，l l2 = 4 当当 l l2 = 4 时，时， 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p2（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的
18、特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1 = 1，l l2 = l l3 = 2 例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l1 = 1 时，因为时，因为解方程组解方程组 (A + E) x = 0解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l2 = l l3 = 2 时，因为时，因为解方程组解方程组 (A2E) x = 0解得基础解系解得基础解系 k2 p2 + k3 p3 （k
19、2 , k3 不同时为零）不同时为零）就是对应的特征向量就是对应的特征向量二、基本性质w在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）w设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|w若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组例：例：设设 l l 是方阵是方阵 A 的特征值，证明的特征值，证明(1) l l2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2) 当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特
20、征值的特征值结论：结论：若非零向量若非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的特征向量，则的特征向量，则pl l2 是是 A2 的特征值，的特征值，对应的特征向量也是对应的特征向量也是 p pl lk 是是 Ak 的特征值，的特征值，对应的特征向量也是对应的特征向量也是 p p当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值，的特征值，对应的特征向量仍然对应的特征向量仍然是是 p 二、基本性质w在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）w设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则l1 + l2 + + ln = a11 + a2
21、2 + + ann l1 l2 ln = |A|w若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组w若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + + am l m是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值例：例：设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1, 1, 2，求，求A* +3A2E 的特征值的特征值解：解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j j (A) 其中其中|A| = 1(1) 2 = 2 设设 l l 是是
22、 A 的一个特征值，的一个特征值， p 是是对应的特征向量对应的特征向量令令则则定理：定理：设设 l l1, l l2, , l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果l l1, l l2, , l lm 各不相同，则各不相同，则p1, p2, , pm 线性无关线性无关例：例：设设 l l1 和和 l l2 是方阵是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为向量依次为 p1 和和 p2， 证明证明 p1 + p2不是不是 A 的特征向量的特征向量3 相似矩阵相似
23、矩阵定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足P 1AP = B ，则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似对 A 进行运算 P 1AP 称为对 A 进行相似变换称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP = B 于是 | B lE | = | P 1AP P 1(lE) P | = | P 1(AlE ) P | = | P 1| |AlE | |P | = |AlE | 定理：若 n 阶矩阵
24、 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP = B ，则P 1AkP = Bk .设j (x) = cmxm + cm1xm1 + + c1x + c0，那么 P 1 j (A) P = P 1 (cmAm + cm1Am1 + + c1A + c0 E) P = cm P 1 Am P + cm1P 1 A m1 P + + c1 P 1 A P + c0 P 1 EP = cmBm + cm1Bm1
25、+ + c1B + c0 E= j (B) .定理：设 n 阶矩阵 L = diag(l1, l2, , ln )，则l1, l2, , ln 就是 L 的 n 个特征值证明：故 l1, l2, , ln 就是 L 的 n 个特征值定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，则从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A).若j (l) =
26、 | AlE |，那么 j (A) = O（零矩阵）.可逆矩阵可逆矩阵 P ，满足，满足 P 1AP = L L （对角阵）（对角阵）AP = PL LApi = l li pi (i = 1, 2, , n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量其中其中?P.123定理定理4：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似相似当且仅当当且仅当A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量推论：推论：如果如果 A 有有 n 个个不同的特征值，则不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化定理：定理：设设 l l1, l l2, , l l
27、m 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1, l l2, , l lm 各不相同，各不相同，则则p1, p2, , pm 线性无关线性无关 （P.120定理定理2）可逆矩阵可逆矩阵 P ，满足，满足 P 1AP = L L （对角阵）（对角阵）AP = PL LApi = l li pi (i = 1, 2, , n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量其中其中?(Al li E) pi = 0 矩阵矩阵 P 的的列向量组列向量组线性无关线性无关定理：定理：设设 l l1, l l2,
28、 , l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1, l l2, , l lm 各不相同，各不相同，则则p1, p2, , pm 线性无关线性无关（P.120定理定理2）定理：定理： n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似（即相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量（P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似说明：当说明：当 A
29、 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化（P.118例例6）定理：定理：设设 l l1, l l2, , l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1, l l2, , l lm 各不相同，各不相同，则则p1, p2, , pm 线性无关线性无关（P.120定理定理2）定理：定理：设设 l l1 和和 l l2 是是对称阵对称阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2 是是对应的特对应的
30、特征向量征向量，如果，如果 l l1 l l2 ，则，则 p1, p2 正交正交（P.124定理定理6）证明：证明： A p1= l l1 p1， A p2= l l2 2 p2 ， l l1 l l2 l l1 p1T = (l l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （A 是对称阵）是对称阵）l l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l l2 2 p2 ) = l l2 p1T p2 (l l1 l l2) p1T p2 = 0因为因为l l1 l l2 ，则，则 p1T p2 = 0，即，即 p1, p2 正交正交定理：定理：设设 A 为
31、为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP = PTAP = L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. .（P.124定理定理7）定理：定理： n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似（即相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 （P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就
32、不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化定理：定理： n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似（即相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 （P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角
33、化推论：推论：设设 A 为为 n 阶对称阵，阶对称阵，l l 是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，则重根，则矩阵矩阵 A lElE 的秩等于的秩等于 n k，恰有恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值个线性无关的特征向量与特征值 l l 对应对应例：例：设设 ，求，求正交阵正交阵 P，使，使P1AP = L L对角对角阵阵. .解：解：因为因为 A 是是对称阵，所以对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l l1 = 2， l l2 = l l3 = 1 当当 l l1 = 2 时，时， 解方程组解方程组 (A + 2E) x = 0 ，得基础解系，得基
34、础解系 当当 l l2 = l l3 = 1 时，时， 解方程组解方程组 (AE) x = 0 ，得，得 令令 ，则，则 . 问题：这样的解法对吗？问题：这样的解法对吗？p当当 l l1 = 2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2 = l l3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 . .显然，必有显然，必有x x1x x2 ， x x1x x3 ，但，但x x2x x3 未必成立未必成立于是把于是把 x x2, x x3 正交化：正交化：此时此时x x1h h2 ， x x1h h3 ，h h2h h3 单位化：单位化：p当当 l l1 = 2时，对应的特
35、征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2 = l l3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 . .p当当 l l1 = 2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2 = l l3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为于是于是 p1, p2, p3 构成正交阵构成正交阵从而从而 把对称阵把对称阵 A 对角化的步骤为：对角化的步骤为：1.求出求出 A 的所有各不相同的特征值的所有各不相同的特征值 l l1, l l2, , l ls ，它们的，它们的重数依次为重数依次为k1, k2, , ks （k1 + k2 + + ks = n）2.对每个对
36、每个 ki 重特征值重特征值 l li ，求方程组，求方程组 | Al li E | = 0 的基础解的基础解系，得系，得 ki 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量把这把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量因为因为k1 + k2 + + ks = n ，总共可得，总共可得 n 个两两正交的单位个两两正交的单位特征向量特征向量3.这这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有，便有P 1AP = L L L L 中对角元的排列次序应于中列向
37、量的排列次序相对应中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应. .例：例：设设 ，求，求 An . .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，则从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A).若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩阵）.例：例：设设 ，求，求 An . .分
38、析：分析：p数学归纳法数学归纳法p因为因为 A 是是对称阵，所以对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l l1 = 1， l l2 = 3下面求满足下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵的可逆矩阵 P 下面求满足下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵的可逆矩阵 P 当当 l l1 = 1 时，时， 解方程组解方程组 (AE) x = 0 ，得基础解系，得基础解系 当当 l l2 = 3 时，时， 解方程组解方程组 (A3E) x = 0 ，得基础解系，得基础解系 问题：是否需要单位化？问题：是否需要单位化？于是于是 Ap1 = p1， A p2= 3 p2，即，
39、即 若若 ，则，则 于是于是 ，即，即5 二次型与对称矩阵二次型与对称矩阵对应对应 投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 对应对应 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转j j 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 w解析几何中，二次曲线的一般形式ax2 + bxy + cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2 + ny 2 = 0 定义：含有 n 个变量 x1, x2, , xn 的二次齐次函数称为二次型令令 aij = aji，则，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是，于是对称阵对称阵对称阵对称阵 A 的秩也叫做
40、的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .对称阵的对称阵的二次型二次型二次型二次型的矩阵的矩阵对于二次型，寻找可逆的线性变换对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即使二次型只含平方项，即f = k1 y12 + k2 y22 + + kn yn2 定义：定义：只含平方项的二次型称为二次型的只含平方项的二次型称为二次型的标准形标准形（或法式）（或法式）.如果标准形的系数如果标准形的系数 k1 , k2 , , kn 只在只在1, 0, 1三个数中取值三个数中取值,即即 f = k1 y12 + + kp yp2
41、kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的则上式称为二次型的规范形规范形说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.简记为简记为 x = C y ，于是于是 f = xTAx = (C y)T A (C y) = yT (CTAC) y定义：定义：设设 A, B 都是都是 n 阶矩阵，阶矩阵，若有可逆矩阵若有可逆矩阵 P 满足满足P 1AP = B ，则则称矩阵称矩阵A 和和 B 相似相似（P.121定义定义7）定义：定义：设设 A, B 都是都是 n 阶矩阵，阶矩阵，若有可逆矩阵若有可逆矩阵 C 满足满足CTAC =
42、B ，则则称矩阵称矩阵A 和和 B 合同合同（P.129定义定义9） 显然，显然，pBT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B即若即若 A 为对称为对称阵，则阵，则 B 也为对称也为对称阵阵pR(B) = R(A) 经过可逆变换后，二次型经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由的矩阵由 A 变为与变为与 A 合同的矩阵合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变，且二次型的秩不变若二次型若二次型 f 经过可逆变换经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即变为标准形，即问题：问题：对对于对称阵于对称阵 A，寻找可逆矩阵，寻找可逆矩阵 C，使，使 CTAC 为对角阵为对角阵,（
43、把对称阵合同对角化）（把对称阵合同对角化）定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵定理：定理：设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP = PTAP = L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. .（P.124定理定理7）定理：定理：任给二次型任给二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，总存在，总存在正交变换正交变换 x = P
44、y ，使，使 f 化为化为标准形标准形 f (P y) = l l1 y12 + l l2 y22 + + l ln yn2 其中其中 l l1 , l l2 , , l ln 是是 f 的矩阵的矩阵 A 的特征值的特征值推论：推论：任给二次型任给二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，总存在，总存在可逆变换可逆变换 x = C z ，使，使 f (Cz) 为为规范形规范形推论：推论：任给二次型任给二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，总存在，总存在可逆变换可逆变换 x = C z ，使，使 f (C z) 为规范形为规范形证明：证明：f (P
45、 y) = l l1 y12 + l l2 y22 + + l ln yn2若若R(A) = r，不妨设，不妨设 l l1, l l2, , l lr 不等于零，不等于零， l lr+1 = = l ln =0,令令则则 K 可逆，变换可逆，变换 y = Kz 把把 f (P y) 化为化为f (PKz) = (PKz)T A (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTKz其中其中例：例：求一个正交变换求一个正交变换 x = P y ，把二次型，把二次型f = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3化为标准形化为标准形解：解：二次型的矩阵二次型的矩阵根据根据P.125例例12的结果，有正交阵的结果，有正交阵使得使得于是正交变换于是正交变换 x = P y 把二次型化为标准形把二次型化为标准形f = 2y12 + y22 + y32如果要把如果要把 f 化为规范形，令化为规范形，令 ，即，即可得可得 f 的规范形：的规范形：f = z12 + z22 + z32
