《2022版高中数学第一章推理与证明1.3反证法课件北师大版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022版高中数学第一章推理与证明1.3反证法课件北师大版选修2-2（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3反证法1.1.定义：先假定命题结论的定义：先假定命题结论的反面成立反面成立，在这个前提下，在这个前提下，若推出的结果与若推出的结果与定义、公理、定理定义、公理、定理相矛盾，或与命题相矛盾，或与命题中的中的已知条件已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面题结论的反面不可能成立不可能成立，由此判定命题的结论成立，由此判定命题的结论成立. .【思考思考】有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？这种说法对吗？为什么？提示：提示：这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然这种说法是错
2、误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题确，不是通过逆否命题证题. .命题的否定与原命题是对命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对. .2.2.反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾推理下得出矛盾. .这个矛盾可以是与这个矛盾可以是与已知条件已知条件相矛盾，相矛盾，或与或与假设假设相矛盾，或与相矛盾，或与定义、公理、定理定义、公理、定理相矛盾等相矛盾等. .【思考思考】反证
3、法主要适用于什么情形？反证法主要适用于什么情形？提示：提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形只要研究一种或很少的几种情形. .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)反证法属于间接证明问题的方法反证法属于间接证明问题的方法. .( () )(2)(2)反证法的证明过程既可
4、以是合情推理，也可以是一反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理种演绎推理. .( () )(3)(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾. .( () )提示：提示：(1) .(1) .反证法属于间接证明问题的方法反证法属于间接证明问题的方法. .(2) .(2) .反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理. .(3) .(3) .反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾. .2.2.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用作为条
5、件使用( () )结论的否定；结论的否定；已知条件；已知条件；公理、定理、定义等；公理、定理、定义等；原结论原结论. .A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.反证法的定义是否定结论利用已知和定反证法的定义是否定结论利用已知和定义、定理等推矛盾义、定理等推矛盾. .3.3.用反证法证明命题用反证法证明命题“如果如果xyxy，那么，那么x x2 2yy2 2”时，下列时，下列假设正确的是假设正确的是( () )A.xA.x2 2yy2 2B.xB.x2 2yy2 2或或x x2 2=y=y2 2C.xC.x2 2yyy2 2【解析解析】选选B.B.因为反证法证明命题时，就是对结论
6、加因为反证法证明命题时，就是对结论加以否定即可以否定即可. .那么用反证法证明命题那么用反证法证明命题“如果如果xyxy，那么，那么x x2 2yy2 2”时，应该假设为时，应该假设为x x2 2ybab，则，则 ” ”时，假时，假设的内容是设的内容是_._.【解析解析】 与与 的关系有三种情况的关系有三种情况: : 和和 所以所以“ ”的反设应为的反设应为“ 或或 ”, ,即即“ ”. .答案答案: : 类型一用反证法证明否定性命题类型一用反证法证明否定性命题【典例典例】已知已知a a，b b，c c，ddR，且，且ad-bc=1ad-bc=1，求证：，求证：a a2 2+b+b2 2+c+
7、c2 2+d+d2 2+ab+cd1.+ab+cd1.【思维思维引引】正难则反，当否定性问题不易证明时，可利用反证法正难则反，当否定性问题不易证明时，可利用反证法证明证明. .【证明证明】假设假设a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2+ab+cd=1.+ab+cd=1.因为因为ad-bc=1ad-bc=1，所以所以a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2+ab+cd+bc-ad=0+ab+cd+bc-ad=0，即即(a+b)(a+b)2 2+(c+d)+(c+d)2 2+(a-d)+(a-d)2 2+(b+c)+(b+c)2 2=0.=0.所以所以a+b=0a+b
8、=0，c+d=0c+d=0，a-d=0a-d=0，b+c=0b+c=0，则则a=b=c=d=0a=b=c=d=0，这与已知条件这与已知条件ad-bc=1ad-bc=1矛盾，故假设不成立矛盾，故假设不成立. .所以所以a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2+ab+cd1.+ab+cd1.【内化内化悟悟】命题的否定形式是什么？命题的否定形式是什么？提示：提示：命题的否定只否定该命题的结论命题的否定只否定该命题的结论. .即若即若p p，则，则q.q.改成若改成若p p，则，则 q.q.【类题类题通通】1.1.反证法证明否定性命题的适用类型反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有结论
9、中含有“不不”“”“不是不是”“”“不可能不可能”“”“不存在不存在”等等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法糊，而反面比较具体，适合使用反证法. .2.2.用反证法证明数学命题的步骤用反证法证明数学命题的步骤【习练习练破破】如图所示，如图所示，ABAB，CDCD为圆的两条相交弦，且不全为直径，为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：求证：ABAB，CDCD不能互相平分不能互相平分. .【证明证明】连接连接ACAC，CBCB，BDBD，DADA，假设，假设ABAB，CDCD互相平分，互相平分，则四边形则四边
10、形ACBDACBD为平行四边形，为平行四边形，所以所以ACB=ADBACB=ADB，CAD=CBD.CAD=CBD.因为四边形因为四边形ACBDACBD为圆的内接四边形，为圆的内接四边形，所以所以ACB+ADB=180ACB+ADB=180，CAD+CBD=180CAD+CBD=180，所以所以ACB=90ACB=90，CAD=90CAD=90，所以对角线所以对角线ABAB，CDCD均为圆的直径，与已知条件矛盾，均为圆的直径，与已知条件矛盾，所以所以ABAB，CDCD不能互相平分不能互相平分. .类型二用反证法证明存在性问题类型二用反证法证明存在性问题【典例典例】1.“1.“任何三角形的外角都
11、至少有两个钝角任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是的否定是_._.2.2.已知已知a a，b b，c c都是小于都是小于1 1的正数，求证：的正数，求证：(1-a)b(1-a)b，(1-b)c(1-b)c，(1-c)a(1-c)a中至少有一个不大于中至少有一个不大于 . .【思维思维引引】当命题中出现当命题中出现“至多至多”“”“至少至少”等词语时，直接证明等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂不易入手且讨论较复杂. .这时，可用反证法证明这时，可用反证法证明. .【解析解析】1.1.该命题的否定有两部分，一是任何三角形，该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为二
12、是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其存在一个三角形，其外角最多有一个钝角外角最多有一个钝角”. .答案：答案：“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”2.2.假设假设(1-a)b(1-a)b，(1-b)c(1-b)c，(1-c)a(1-c)a都大于都大于 ，即即(1-a)b (1-a)b ，(1-b)c (1-b)c ，(1-c)a .(1-c)a .因为因为a a，b b，c c都是小于都是小于1 1的正数，的正数，所以所以 从而从而 而而 与上式矛盾与上式矛盾. .所以所以, ,原结论正确原结论正确. .【内化内化悟悟】1.1.至少有两个的否定是
13、什么？至少有两个的否定是什么？提示：提示：至多有一个至多有一个. .2.2.至少有一个的否定是什么？至少有一个的否定是什么？提示：提示：一个也没有一个也没有. .【类题类题通通】用反证法证明用反证法证明“若若p p则则q”q”的过程的过程【习练习练破破】1.1.本例本例1 1改为改为“任何三角形的内角至少有一个大于或等任何三角形的内角至少有一个大于或等于于60”60”的否定为的否定为_._.【解析解析】“至少有一个大于或等于至少有一个大于或等于60”60”的否定是的否定是“三个内角都小于三个内角都小于60”.60”.答案：答案：存在一个三角形，其三个内角都小于存在一个三角形，其三个内角都小于6
14、0602.2.本例本例1 1条件改为条件改为“任何三角形的内角至多有一个钝任何三角形的内角至多有一个钝角角”，则其否定为，则其否定为_._.【解析解析】“任何三角形的内角至多有一个钝角任何三角形的内角至多有一个钝角”的否的否定为存在一个三角形，其内角有两个或三个钝角定为存在一个三角形，其内角有两个或三个钝角. .答案：答案：存在一个三角形，其内角有两个或三个钝角存在一个三角形，其内角有两个或三个钝角【加练加练固固】 若若x0x0，y0y0，且，且x+y2x+y2，(1) (1) 时，分别比较时，分别比较 与与2 2的的大小关系大小关系. .(2)(2)依据依据(1)(1)得出的结论，归纳提出一
15、个满足条件得出的结论，归纳提出一个满足条件x x，y y都成立的命题并证明都成立的命题并证明. .【解析解析】(1)(1)当当 时时, =1+2=32, =12, =10,y0x0,y0且且x+y2,x+y2,则则 , , 至少有一个小于至少有一个小于2.2.证明证明: :假设假设 2, 2,2, 2,因为因为x0,y0,x0,y0,所以所以1+y2x,1+x2y.1+y2x,1+x2y.所以所以2+x+y2+x+y2x+2y,2x+2y,所以所以x+y2.x+y2.这与已知这与已知x+y2x+y2矛盾矛盾. .假设不成立假设不成立. .所以所以 和和 中至少有一个小于中至少有一个小于2.2.
16、类型三用反证法证明唯一性命题类型三用反证法证明唯一性命题【典例典例】已知：一点已知：一点A A和平面和平面.求证：经过点求证：经过点A A只能有一条直线和平面只能有一条直线和平面垂直垂直. .【思维思维引引】【证明证明】根据点根据点A A和平面和平面的位置关的位置关系，分两种情况证明系，分两种情况证明. .(1)(1)如图，点如图，点A A在平面在平面内，假设经内，假设经过点过点A A至少有平面至少有平面的两条垂线的两条垂线ABAB，ACAC，那么，那么ABAB，ACAC是是两条相交直线，它们确定一个平面两条相交直线，它们确定一个平面，平面，平面和平面和平面相交于经过点相交于经过点A A的一条
17、直线的一条直线a.a.因为因为ABAB平面平面，ACAC平面平面，a a ，所以，所以ABaABa，ACaACa，在平面，在平面内经过内经过点点A A有两条直线都和直线有两条直线都和直线a a垂直，这与平面几何中经过垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾. .(2)(2)如图，点如图，点A A在平面在平面外，假设经外，假设经过点过点A A至少有平面至少有平面的两条垂线的两条垂线ABAB和和AC(BAC(B，C C为垂足为垂足) )，那么，那么ABAB，ACAC是是两条相交直线，它们确定一个平面两条相交直线，它们确定一个平面，平面
18、，平面和平面和平面相交于直线相交于直线BCBC，因为，因为ABAB平面平面，ACAC平面平面，BC BC ，所以，所以ABBCABBC，ACBC.ACBC.在平面在平面内经过点内经过点A A有两条直线都和有两条直线都和BCBC垂直，这与平面垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾矛盾. .综上，经过一点综上，经过一点A A只能有一条直线和平面只能有一条直线和平面垂直垂直. .【内化内化悟悟】空间中的点空间中的点A A与平面与平面位置关系有几种？位置关系有几种？提示：提示：点点A A在平面在平面内或点内或点A A在平面在平面外
19、两种外两种. .【类题类题通通】巧用反证法证明唯一性命题巧用反证法证明唯一性命题(1)(1)当证明结论有以当证明结论有以“有且只有有且只有”“”“当且仅当当且仅当”“”“唯一唯一存在存在”“”“只有一个只有一个”等形式出现的命题时，由于反设等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明结论易于推出矛盾，故常用反证法证明. .(2)(2)用反证法证题时，一定要用到用反证法证题时，一定要用到“反设反设”进行推理，进行推理，否则就不是反证法否则就不是反证法. .用反证法证题时，如果欲证明命题用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就的反面情况只有一种
20、，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立面情况一一驳倒，才能推断结论成立. .(3)(3)证明证明“有且只有一个有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性即存在性和唯一性. .【习练习练破破】证明：方程证明：方程2 2x x=3=3有且只有一个根有且只有一个根. .【证明证明】因为因为2 2x x=3=3，所以，所以x=logx=log2 23.3.这说明方程有一个根这说明方程有一个根. .下面用反证法证明方程下面用反证法证明方程2 2x x=
21、3=3的根是唯一的的根是唯一的. .假设方程假设方程2 2x x=3=3有两个根有两个根b b1 1，b b2 2(b(b1 1bb2 2) )，则则 两式相除，得两式相除，得 =1.=1.如果如果b b1 1-b-b2 200，则，则 11，这与，这与 =1=1相矛盾；相矛盾；如果如果b b1 1-b-b2 200，则，则 1a, ba, 所以所以b-a0, b-a0, 所以所以f(xf(x0 0)=f(x)=f(x0 0).).因为因为f(x)= f(x)= 记记g(x)= f(x)= ,g(x)= f(x)= ,所以所以g(x)= 0,g(x)= 0,所以所以f(x)f(x)是是a,ba,b上的单调增函数上的单调增函数, ,所以所以 x x0 0=x=x0 0,这与假设这与假设x x0 0xx0 0矛盾矛盾, ,即即x x0 0是唯一的是唯一的. .
