《实对称矩阵的相似对角化.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实对称矩阵的相似对角化.ppt（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.3 实对称矩阵的相似对实对称矩阵的相似对角化角化证明证明一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质定理定理1 1实对称矩阵实对称矩阵 的特征值为实数的特征值为实数. .)(AAT=于是有于是有两式相减，得两式相减，得定理定理1 1的意义的意义证明证明于是于是推论推论 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是线性无关的。是线性无关的。定理定理3 3 实对称矩阵实对称矩阵A A的的k k重特征值必定对应重特征值必定对应k k个个线性无关的特征向量。线性无关的特征向量。二、正交矩阵及施密特正交化方法二、正交矩阵及施密特正交化方法定义定义
2、1 1上式中上式中A用其列向量用其列向量 表示，即表示，即1 1、正交矩阵的概念、正交矩阵的概念 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交结论结论如果将如果将A用行向量表示，则用行向量表示，则 可写为可写为则可得出如下结论则可得出如下结论 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的行向量都的行向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交 的列向量都是单位向量且两两正交的列向量都是单位向量且两两正交 A是正交矩阵结论： 的行向量都是单位向量且两两正交的行向量都是单位向量且两两正交 A是正交矩阵结论：例例1 验证矩阵验证矩阵
3、是正交矩阵是正交矩阵解解由定义由定义 可知可知Q为正交矩阵。为正交矩阵。或者或者由于由于Q的行（列）向量都是单位向量，且两两的行（列）向量都是单位向量，且两两正交，故正交，故Q为正交矩阵。为正交矩阵。2 2、施密特、施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化方法正交化方法定理定理5 5 设设 是一组线性无关的向是一组线性无关的向量，则可以找到一组正交的向量量，则可以找到一组正交的向量 使得向量组使得向量组 与与 等价。等价。证明证明首先，令首先，令即即 从而求出从而求出再令再令 及及再令再令 及及可求出可求出一般地，由一般地，由 求出求出 的公式为的公式为 由以上公式的构成可知向量组由以
4、上公式的构成可知向量组 两两正交，且两两正交，且 都可由都可由 线性表示，反之线性表示，反之 也都可由也都可由 线性表示，所以线性表示，所以,两向量组等价。两向量组等价。以上求等价正交向量组的方法称为施密特以上求等价正交向量组的方法称为施密特( Schmide )正交化方法。正交化方法。将所求正交向量组单位化：将所求正交向量组单位化：从而可以进一步得到与从而可以进一步得到与 等价的等价的正交规范向量组正交规范向量组解解例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化于是得正交阵于是得正交阵
