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1、1第四、五节第四、五节 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 一、一、行列式的性质行列式的性质 二、行二、行列式的计算列式的计算 22009,HenanPolytechnicUniversity24 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. 记记32009,HenanPolytechnicUniversity34 5 4
2、 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式证明证明按定义按定义 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为42009,HenanPolytechnicUniversity44 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式故故证毕证毕性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .证明证明证明证明设行列式设行列式说明说明 行列式中行
3、与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的,52009,HenanPolytechnicUniversity54 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式于是于是则有则有即当即当 时时,当当 时时,62009,HenanPolytechnicUniversity64 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性
4、质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 故故证毕证毕72009,HenanPolytechnicUniversity74 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用
5、数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面82009,HenanPolytechnicUniversity84 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明92009,HenanPolytechnicUniversity94 5 4 5 4
6、 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如102009,HenanPolytechnicUniversity104 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同
7、一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如112009,HenanPolytechnicUniversity114 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式n阶行列式的性质122009,HenanPolytechnicUniversity124 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式132009,HenanPol
8、ytechnicUniversity134 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式记号例如:c3c1表示把第1列乘以-1加到第3列上去.例如:r23r4表示把第4行乘以3加到第2行上去.142009,HenanPolytechnicUniversity144 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式例例二、行列式的计算计算行列式常用方法：利用行列式运算性质计算行列式常用方法：
9、利用行列式运算性质, 把把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值值152009,HenanPolytechnicUniversity154 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式解解162009,HenanPolytechnicUniversity164 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式172009,HenanPolyt
10、echnicUniversity174 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式182009,HenanPolytechnicUniversity184 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式192009,HenanPolytechnicUniversity194 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章
11、第二章第二章 行列式行列式行列式行列式202009,HenanPolytechnicUniversity204 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式例例计算计算212009,HenanPolytechnicUniversity214 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式例例计算计算222009,HenanPolytechnicUniversity224 5 4 5 4
12、5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式例例 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得232009,HenanPolytechnicUniversity234 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式242009,HenanPolytechnicUniversity244 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质
13、及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式更一般的有更一般的有252009,HenanPolytechnicUniversity254 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式例例 计算行列式计算行列式262009,HenanPolytechnicUniversity264 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式另外还有另外还有（形如形如 ，称为箭形（或爪形）行
14、列式），称为箭形（或爪形）行列式）更一般的有更一般的有272009,HenanPolytechnicUniversity274 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式解解 从第从第 4 4 行开始，后行减前行：行开始，后行减前行：例计算行列式计算行列式282009,HenanPolytechnicUniversity284 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式上页下页返回
15、292009,HenanPolytechnicUniversity294 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式例例证明证明302009,HenanPolytechnicUniversity304 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式证明证明312009,HenanPolytechnicUniversity314 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质
16、及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式322009,HenanPolytechnicUniversity324 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式计算计算解解例332009,HenanPolytechnicUniversity334 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式计算行列式的方法比较灵活，同一行列计算行列式的
17、方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法常用的几种方法注：注：342009,HenanPolytechnicUniversity344 5 4 5 4 5 4 5 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值行列式的值三、小结行列式的行列式的6个性质个性质
