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1、4.3平面向量的数量积平面向量的数量积及平面向量的应用及平面向量的应用 考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考4.3平平面面向向量量的的数数量量积积及及平平面面向向量量的的应应用用双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理1两个向量的夹角两个向量的夹角(1)夹角的定义夹角的定义定义定义范围范围已知两个已知两个_向量向量a，b，作，作 a， b，则，则 AOB叫作向量叫作向量a与与b的夹角的夹角(如图如图)向量夹角向量夹角的范围是的范围是_ 当当_时，两向量时，两向量共线；共线；当当_时，两向时，两向量垂直，记作量垂
2、直，记作a b(规定规定零向量可与任一向量垂零向量可与任一向量垂直直).，0或或18090非零非零0，180(2)射影的定射影的定义义设设是是a与与b的的夹夹角，角，则则_叫作叫作b在在a方向上方向上的射影的射影_叫作叫作a在在b方向上的射影方向上的射影射影是一个射影是一个实实数，不是数，不是线线段的段的长长度，也不是向量度，也不是向量当当_时时，它是正，它是正值值；当；当_时时，它是，它是负值负值；当；当_时时，它是，它是0.(90，18090|b|cos|a|cos0，90)提示：提示：不正确求两个向量的不正确求两个向量的夹夹角角时时，两向量起，两向量起点点应应相同，向量相同，向量a与与b
3、的的夹夹角角为为 ABC.思考感悟思考感悟|a|b|cos|a|cosab0abcos_对对任意两个向量任意两个向量a、b，有，有|ab|a|b|，当且，当且仅仅当当a b时时等号成立等号成立(3)向量数量向量数量积积的运算律的运算律给给定向量定向量a，b，c和和实实数数，有，有abba；(交交换换律律)(a)b(ab)_；(数乘数乘结结合律合律)a(bc)_ (分配律分配律)a(b)abac思考感悟思考感悟2当当a0时时，由，由ab0一定有一定有b0吗吗？提示：提示：不一定不一定ab0有三种情形；有三种情形；a0；b0；a b即即a与与b的的夹夹角角为为90.3平面向量数量平面向量数量积积的
4、坐的坐标标运算运算(1)平面向量数量平面向量数量积积的坐的坐标标表示表示已知两个非零向量已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则则ab_.即两个向量的数量即两个向量的数量积积等等于它于它们对应们对应坐坐标标的乘的乘积积的和的和x1x2y1y2x2y2(4)两个向量垂直的充要条件两个向量垂直的充要条件设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则则a b_.(5)直直线线的方向向量的方向向量把与直把与直线线l共共线线的向量的向量m称称为为直直线线l的方向向量，的方向向量，设设直直线线方程方程为为ykxb，则则其方向向量其方向向量为为m_设设直直线线方程方程为为AxByC0，则则其方向向
5、量其方向向量为为m_，利用直利用直线线的方向向量可以表示的方向向量可以表示过过定点的直定点的直线线方程、方程、求两直求两直线线的的夹夹角等，角等，这给这给我我们处们处理解析几何理解析几何问题问题增加了一条新途径增加了一条新途径x1x2y1y20(1，k)(B，A)解析：解析：选选B. a b， ab0， 6x560， x5.课前热身课前热身2(原原创题创题)若若a0，ab0，则满则满足条件的足条件的b的的个数是个数是()A0 B1C2 D无数个无数个解析：解析：选选D.只要只要b a即可，故即可，故b有无数个有无数个答案：答案：C答案：答案：3答案：答案：2向量的数量向量的数量积积是向量之是向
6、量之间间的一种运算，它是向量的一种运算，它是向量与向量的运算，与向量的运算，结结果却是一个数量平面向量的果却是一个数量平面向量的数量数量积积运算运算类类似于多似于多项项式的乘法式的乘法平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破 (1)(2010年高考北京卷年高考北京卷)若若a，b是非零向是非零向量，且量，且a b，|a|b|，则则函数函数f(x)(xab)(xba)是是()A一次函数且是奇函数一次函数且是奇函数B一次函数但不是奇函数一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数二次函数且是偶函数D二次函数但不是偶函数二次函数但不是偶函数例
7、例例例1 1【思路点思路点拨拨】利用向量数量利用向量数量积积的定的定义义、性、性质质、运算律及模的求法，即可解决运算律及模的求法，即可解决【答案答案】(1)A(2)D(3)B1数量数量积积大于大于0说说明不共明不共线线的两向量的两向量夹夹角角为锐为锐角；角；数量数量积积等于等于0说说明两向量的明两向量的夹夹角角为为直角；数量直角；数量积积小于小于0且两向量不共且两向量不共线时线时，两向量的，两向量的夹夹角就是角就是钝钝角角2找两向量的找两向量的夹夹角，在角，在图图形中必形中必须须使两向量共使两向量共起点，可以起点，可以结结合解三角形求角合解三角形求角3解决向量垂直解决向量垂直问题问题，常用向量
8、垂直的充要条，常用向量垂直的充要条件即非零向量件即非零向量a bab0x1x2y1y20.利用平面向量解决夹角、垂直等问题利用平面向量解决夹角、垂直等问题 (2009年高考江年高考江苏苏卷卷)设设向量向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若若a与与b2c垂直，求垂直，求tan()的的值值；(2)求求|bc|的最大的最大值值；(3)若若tantan16，求，求证证：a b.例例例例2 2【思路点拨思路点拨】利用两向量垂直时数量积为利用两向量垂直时数量积为0的的坐标运算公式可以解第一问，第二问中模的最值坐标运算公式可以解第一问，第二问中模的最值可以转化为三
9、角函数的有界性求解，第三问中利可以转化为三角函数的有界性求解，第三问中利用两向量平行的充要条件进行转化即可得证用两向量平行的充要条件进行转化即可得证【名名师师点点评评】求解求解|bc|时时注意到向量注意到向量b与向量与向量c的模都不是定的模都不是定值值，因而利用坐，因而利用坐标标法先求和再求法先求和再求模，此方法模，此方法较较|bc|2b2c22bc要快捷得多要快捷得多证证明两向量平行明两向量平行时时，可以利用两向量平行的充，可以利用两向量平行的充要条件公式要条件公式向量与其它知向量与其它知识结识结合，合，题题目新目新颖颖而精巧，既符合而精巧，既符合考考查查知知识识的的“交交汇处汇处”的命的命
10、题题要求，又加要求，又加强强了了对对双双基覆盖面的考基覆盖面的考查查，特，特别别是通是通过过向量坐向量坐标标表示的运表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题问题的的同同时时，把，把问题转问题转化化为为新的函数、三角或几何新的函数、三角或几何问题问题平面向量的应用平面向量的应用【思路点思路点拨拨】(1)根据向量加、减法的几何意根据向量加、减法的几何意义义求解；求解；(2)根据向量数量根据向量数量积积的坐的坐标标运算，列方程求解运算，列方程求解例例例例3 3【名名师师点点评评】利用向量解平面几何、解析几何利用向量解平面几何、解析几何问题问题要注意向量要注
11、意向量线线性运算的几何意性运算的几何意义义及数量及数量积积的的坐坐标标表示的表示的应应用用方法技巧方法技巧1要熟要熟练类练类似似(ab) (satb)sa2(ts)abtb2的运算律的运算律(、s、t R)(如例如例1(1)2解决向量模的解决向量模的问题问题的关的关键键是利用是利用|a|2a2，将，将模的模的问题转问题转化化为为数量数量积积的的问题问题，通，通过过数的精确数的精确计计算来解决算来解决问题问题(如例如例2)方法感悟方法感悟3平面向量的数量平面向量的数量积积的运算法的运算法则则把平面向量与把平面向量与实实数数紧紧密地密地联联系在一起，使它系在一起，使它们们之之间间的相互的相互转转化
12、化得以得以实实施因此，一方面我施因此，一方面我们们要善于把向量的有要善于把向量的有关关问题问题通通过过数量数量积转积转化化为实为实数数问题问题，利用，利用实实数的数的有关知有关知识识来解决来解决问题问题；另一方面，也要善于把；另一方面，也要善于把实实数数问题转问题转化化为为向量向量问题问题，利用向量作工具来解决，利用向量作工具来解决相关相关问题问题(如例如例3)1零向量：零向量：(1)0与与实实数数0的区的区别别，不可写，不可写错错；0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向的方向是任意的，并非没有方向，是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，与任何向量平行，我我们们只定只定义义了非零
13、向量的垂直关系了非零向量的垂直关系2ab0不能推出不能推出a0或或b0，因，因为为ab0a b.失误防范失误防范平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之一，平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之一，考查重点是向量的数量积运算，向量的垂直以及考查重点是向量的数量积运算，向量的垂直以及用向量方法解决简单的几何问题等，既有选择题，用向量方法解决简单的几何问题等，既有选择题，填空题，又有解答题，属中低档题目近几年试填空题，又有解答题，属中低档题目近几年试题中与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题题中与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题的综合题是高考的一个热点，主要考查运算能力的综合题是高考的一个热
14、点，主要考查运算能力和数形结合思想和数形结合思想考情分析考情分析考情分析考情分析考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考预测预测2012年高考仍将以向量的数量年高考仍将以向量的数量积积运算、向量运算、向量的垂直的垂直为为主要考点，以与三角、平面几何、解析主要考点，以与三角、平面几何、解析几何的交几何的交汇汇命命题为题为考向考向规范解答规范解答例例例例【解解】(1)法一：法一：bc(cos1，sin)，则则|bc|2(cos1)2sin22(1cos).3分分 1cos1， 0|bc|24，即，即0|bc|2.当当cos1时时，有，有|bc|2， 向量向量bc的的长长度的最大度的最大值为值为2.6分分法
15、二：法二： |b|1，|c|1，|bc|b|c|2.3分分当当cos1时时，有，有bc(2,0)，即，即|bc|2，所以向量所以向量bc的的长长度的最大度的最大值为值为2.6分分【名名师师点点评评】(1)本本题题易失易失误误的是：的是：对对向量向量的加法、数量的加法、数量积积的坐的坐标标运算公式掌握不清，不会运算公式掌握不清，不会运算，运算，导导致无从下手；致无从下手；知道相关知知道相关知识识，知道解，知道解决思路，但运算出决思路，但运算出现错误现错误，结结果不准确；果不准确；书书写写过过程不程不详细详细，逻辑逻辑性不性不强强，语语句不流句不流畅畅，卷面不，卷面不整整洁洁，对对而不全；而不全；
16、出出现现|bc|b|c|这这种种错错误误(2)本本题题主要考主要考查查平面向量、三角函数的概念、三平面向量、三角函数的概念、三角角变换变换和向量运算等基本知和向量运算等基本知识识，考，考查查基本运算能基本运算能力此力此题题将平面向量、三角函数、三角将平面向量、三角函数、三角变换变换三部三部分知分知识进识进行有机的融合，行有机的融合，综综合性合性强强学科内知学科内知识识融合的融合的问题问题是近年来高考考是近年来高考考查查的的热热点，因点，因为这类为这类题题能很全面地考能很全面地考查查考生考生综综合运用知合运用知识识，分析，分析问题问题、解决解决问题问题的能力的能力(3)一般来一般来说说向量与三角
17、融合向量与三角融合时时，都会，都会给给出向量的出向量的坐坐标标，都会，都会进进行向量的坐行向量的坐标标运算，因此向量的坐运算，因此向量的坐标标运算公式是必运算公式是必须须要要记记住且要会使用涉及向量住且要会使用涉及向量平行或垂直，两个坐平行或垂直，两个坐标标关系式也要会熟关系式也要会熟练练地地应应用用此此题题第第(1)问问，就是要先通，就是要先通过过向量的加法运算求向向量的加法运算求向量量bc的坐的坐标标，第，第(2)问问涉及涉及a (bc)，要利用，要利用两个向量垂直的坐两个向量垂直的坐标标关系式，再关系式，再结结合三角知合三角知识识就就可以使可以使问题问题得到很好的解决得到很好的解决(4)向量的数量向量的数量积积的坐的坐标标运算运算经经常会与其他数学常会与其他数学问问题联题联系起来，特系起来，特别别是与三角函数是与三角函数问题问题相相联联系，解系，解答答这类问题这类问题的关的关键键是要熟是要熟练练地运用向量的数量地运用向量的数量积积的坐的坐标标运算公式，通运算公式，通过过公式，将向量公式，将向量问题转问题转化化为为一般的三角函数一般的三角函数问题问题求解求解名师预测名师预测
