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1、概率统计与随机过程宋 晖 2012年秋第二章 样本估计n统计基础区间估计单样本：估计均值n预测区间两样本：估计均值差区间估计（interval estimation）n引入点估计方法简单，意义明确，但无法判断估计结果的稳定性、估计值因样本不同产生误差考虑寻找参数存在的范围，以及落入该范围的概率n根据样本数据，求得两个数值，构成一个置信区间（confidence interval，C. I.），给出参数的可能范围。估计大学生平均每月可用零用钱为1000元，该估计为单一数值，是点估计；若估计大学生平均每月可用零用钱介於6002000元，为区间估计。n关系置信区间估计量基于点估计随着样本容量增大，2
2、/n随之减少，估计区间变小则称随机区间 为 的置信水平置信水平为1- 的置信区间置信区间, 分别称为置信下限置信下限和置信置信上限。上限。定义：定义：设总体使得有若存在两个统计量置信水平也称为置信度置信度, 通常较小，1-较大连续型总体,则取离散型总体,则取尽可能接近1-例例1 1 ：假设容器中装的硫磺酸容量逼近正态分布，7个容器中的容量分别为 ：9.8，10.2，10.4，9.8，10.0，10.2和9.6L。求所有容器均值的95%的置信区间。问题分析：问题分析： 样本 xi N(, 2) 根据抽样数据，可得： 1）样本均值 2）标准差求解： 估计均值的置信区间单样本：估计均值n样本均值符合
3、正态分布 N(, 2/n)存在历史经验参数 没有经验参数，未知？故对于给定的置信水平 1-，查表可求得 Z /2 使得等价地有：的样本均值为 ，根据Lindeberg-Levy定理定理 样本均值估计，样本均值估计， = 0已知已知1- Z1- /2 1- 于是 的置信水平为0.95 的一个置信区间为例如：例如： 0 =1,则则未知参数未知参数 的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间的置信区间给出了 的点估计给出了 所在的一个范围， 都可以作为 的点估计其估计误差: 以上分析的可信度为95%95%, 即若反复抽样100100 次，则包含真值的区间 约有95 个，不包含的区间大约只有 5 个.置
4、信度1- 的实际含意是什么?是否一定包含真值? 样本均值估计样本均值估计, 未知对给定的置信水平1-，可求得 ，使得, 2的无偏估计分别为 ，那么1- -t/2t/2等价地有等价地有故的置信水平为1- 的置信区间置信区间为均值均值的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间的置信区间例例1 1 解答：解答：假设容器中装的硫磺酸容量逼近正态分布，7个容器中的容量分别为 ：9.8，10.2，10.4，9.8，10.0，10.2和9.6L。求所有容器均值的95%的置信区间。解：根据抽样数据，样本均值和标准差分别为10.0和0.283.共有7个样本，自由度 n = 6， =0.05查表可得 t = 2.4
5、47。由此，的95%的置信区间为：即：9.47 10.26单边置信 某些应用中，只需要单边界， 如：某条河流中汞的含量上限、C硬盘的寿命下限对于给定的置信水平 1-，查表可求得 Z 使得单边上界：单边上界：单边下界：单边下界： 预测区间预测区间预测区间给出新样本可能出现的数据范围，以及置信度n 在质量控制中，利用估测样本预测新样本的观测值。例例2 2：Citizen银行收到抵押申请，最新50个申请样本中，平均值为257 300美元，假设总体标准差为25 000美元，那么置信度为95%时下一名顾客借贷金额？问题分析：问题分析： 样本 xi N(, 2) 根据抽样数据，可得：样本均值、标准差 求解
6、： 预测值的置信区间 预测值的分布预测值的分布假设：新观测值为X0，随机误差的方差为2 ，所有样本都来自于正态分布总体。构造统计量：Y N(0,1)，利用统计量Y 的概率分布可以计算：例例2-2-解答：解答：Citizen银行收到抵押申请，最新50个申请样本中，平均值为257 300美元，假设总体标准差为25 000美元，那么置信度为95%时下一名顾客借贷金额？解：总体方差为25,000，样本值为257,300。y0.025=1.96即：207 812.43 x0 306787.57预测区间计算，预测区间计算， 未知：未知：对于未知均值 、方差2未知的正态抽样分布，新观测值x0置信度为1- 的
7、预测区间为：例例3 3：随机检验30包瘦牛肉，样本结果的均值为瘦肉含量96.2%，标准差为0.8%，就一个新样本的99%置信的预测区间。解：自由度n=29, t0.0005=2.756, 99%置信的预测区间为：即：93.96 x0 30）均值：标准差：1- 2的1- 置信区， 12和和22已知：已知：说明：说明：在实例中，如果在实例中，如果1- 200的置信度很高，的置信度很高，可以推断可以推断 1 2 例例4-4-解答：解答：老工艺进行8 次试验,得率的平均值 样本方差 ，新工艺进行8 次试验, 得率的平均值, 样本方差 。假定老、新工艺的得率分别为 两样本相互独立。试求1- 2的置信水平
8、为0.95 的置信区间。解：由题给条件有，解：由题给条件有，求得1- 2的置信度为0.95的置信区间为新工艺是否能显著提高产品得率?故不能认为新工艺显著提高了产品得率。新工艺似乎能提高效率设为Sp2方差未知方差未知, , 12 = 22 = 2为自由度为自由度n n1 1-1-1和和n n2 2-1-1的卡方分布的卡方分布T T 符合自由度符合自由度n n1 1+ +n n2 2-2-2的的 t t 分布分布由此可知：由此可知：,且设为来自总体的样本,为来自总体的样本，两样本独立,其样本均值和样本方差分别为试求的置信水平为1- 的置信区间.的无偏估计分别为故故 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为/21-/2总结两样本样本来自两个总体n均值差置信区 2已知，正态分布2未知，t分布n方差比置信区间F分布作业n推导 未知时，预测区间计算公式n编程实现单样本均值和方差的区间估计。输入：样本（已收集的样本.xls文件）、置信度输出：均值估计、区间、样本均值和方差的概率分布图实现：n1）xls文件读写C+或JAVA实现n2）调用Matlab函数实现数据计算、画图n3）分析结果，意义续在报告中n4）设计自己的系统，以便不断扩充数据分析功能
