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1、2.1.1 矩阵的概念矩阵的概念1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;2.矩阵的表示；矩阵的表示；3.相等的矩阵相等的矩阵;2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法二阶矩阵与平面列向量的乘法1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则二阶矩阵与平面向量的乘法规则;2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射;3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.2.1 2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量的矩形数字（或字母）阵列称为的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵矩阵.通常用通常用大写黑大写黑体体
2、的拉丁字母的拉丁字母A、B、C表示，或者用表示，或者用(aij)表示，其表示，其中中i,j 分别表示元素分别表示元素aij 所在的行与列所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的做矩阵的行行，同一竖排中按原来次序排列的一行数，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的（或字母）叫做矩阵的列列. 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。元素。2.2.1 恒等变换恒等变换2.2.2 伸压变换伸压变换2.2.3 反射变换反射变换2.2.4 旋转变换旋转变换2.2.5 投影变换投影
3、变换2.2.6 切变变换切变变换2.2 2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换恒等变换矩阵恒等变换矩阵( (单位矩阵单位矩阵):): 恒等变换恒等变换: : 对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵 对应的变换,都把自己变成自己。这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵恒等变换矩阵( (单位矩单位矩阵阵).). 恒等变换矩阵实施的对应变换称为恒等变换矩阵实施的对应变换称为恒等变换恒等变换。二阶单位矩阵一般记为二阶单位矩阵一般记为E垂直伸压变换矩阵：垂直伸压变换矩阵： 伸压变换：伸压变换： 将平面图形作沿将平面图形作沿y y轴方向伸长或压缩轴方向伸长或压缩, ,或或作沿作沿x x轴方向伸长或压缩的变换
4、矩阵轴方向伸长或压缩的变换矩阵, ,通常称通常称做沿做沿y y轴或轴或x x轴的轴的垂直伸压变换矩阵垂直伸压变换矩阵. . 伸压变换矩阵对应的变换称为伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压垂直伸压变换变换, ,简称简称伸压变换伸压变换. . 一般地，称形如一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这这样的矩阵为样的矩阵为反射变换矩阵反射变换矩阵，对应的变换，对应的变换叫做叫做反射变换反射变换，其中（，其中（2）叫做）叫做中心反中心反射射，其余叫，其余叫轴反射轴反射.其中定直线叫做其中定直线叫做反射反射轴轴，定点称为，定点称为反射点反射点.MM(l1a a+l2b b) = l1MMa a+l2MM
5、b b 上式表明，在矩阵上式表明，在矩阵MM的作用下，直线的作用下，直线l l1 1a a+l+l2 2b b 变成直线变成直线 l l1 1MMa a+l+l2 2MMb. b. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变换线性变换。 反之，平面上的线性变换可以用矩阵来反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变换。性变换。(即形如即形如 的几何变换叫的几何变换叫做线性变换做线性变换)旋转变换旋转变换矩阵矩阵 通常叫做通常叫做旋转变换矩阵旋转变换矩阵.对应的变换称做对应的变换称做旋转变换旋转
6、变换.其中的角其中的角q q做做旋转角旋转角.点点O叫做叫做旋转中心旋转中心. 旋转变换只改变几何图形的位置，不会旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状改变几何图形的形状.图形的旋转由图形的旋转由旋转中心旋转中心和和旋转角度旋转角度决定决定. (1)投影变换的几何要素投影变换的几何要素: 投影方向投影方向, 投影到的某条直线投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点的情况是某个点 (4)投影变换是映射投影变换是映射,但不是一一映射但不是一一映射像像
7、 这类将平面内图形投影到某条直线这类将平面内图形投影到某条直线相应的变换称做相应的变换称做投影变换投影变换.(或某个点或某个点)上的矩阵上的矩阵,我们称之为我们称之为投影变换矩阵投影变换矩阵,投影变换投影变换平移平移|ky|个单位个单位:当当ky0时，沿时，沿x轴正方向移动；轴正方向移动；当当ky0)， 或者或者方向相反方向相反(l l0).特别地，当特别地，当l l=0时，特征向量被变换成了时，特征向量被变换成了0向量向量.2.5 2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量建构数学建构数学设矩阵设矩阵A ，l l R，我们把行列式我们把行列式称为称为A的的特征多项式特征多项式。分析表明，如果分
8、析表明，如果l l是矩阵是矩阵A A的特征值，则的特征值，则f (l)=0 (l)=0此时，将此时，将l l代入方程组代入方程组(*)(*)，得到一组非零解，得到一组非零解即即 为矩阵为矩阵A的属于的属于l l的一个特征向量的一个特征向量. . 如果如果a a是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值l l的一个特征向的一个特征向量，则对任意的非零常数量，则对任意的非零常数t，ta a也是矩阵也是矩阵A的属于的属于特征值特征值l l的特征向量。的特征向量。【定理定理1 1】属于矩阵的同一个特征值的特征向量属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线共线.属于矩阵的不同特征值的特征向量属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线不共线。【定理定理2 2】建构数学建构数学A A A AB B B BC C C C网络网络图图结点结点一级路矩阵一级路矩阵二级路矩阵二级路矩阵2.6 2.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用
