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1、2.2 2.2 等价表示、表示的幺正性和不可约表示等价表示、表示的幺正性和不可约表示一、标量函数的变换算符一、标量函数的变换算符2. 标量场标量场指标量的空间分布指标量的空间分布一些物理量，如质量、温度等一些物理量，如质量、温度等 在转动变换中保持不变，是标量在转动变换中保持不变，是标量标量用一个数字就可以完全描述标量用一个数字就可以完全描述1. 标量标量标量的概念是与变换相联系的，物理中常说的标量是标量的概念是与变换相联系的，物理中常说的标量是 对三维空间的转动变换保持不变的量对三维空间的转动变换保持不变的量用标量函数用标量函数(x)来描写，它是空间坐标的函数来描写，它是空间坐标的函数1两种
2、观点两种观点（互为逆变换）（互为逆变换） 主动观点：主动观点：坐标系不动，系统转动坐标系不动，系统转动（） 被动观点：被动观点：系统不动，坐标系转动系统不动，坐标系转动如：如：要描述要描述N个粒子的系统个粒子的系统，需要，需要3N个坐标个坐标来描写来描写为了书写方便，用一个字母为了书写方便，用一个字母x描写描写N粒子系统的粒子系统的全部坐标全部坐标用标量函数用标量函数(x)和和(x)描写变换前后描写变换前后标量场的分布标量场的分布变换变换记为记为R则：则：经过经过R变换后，在变换后，在x点的场变到了点的场变到了x点点 因标量场在变换前后保持不变因标量场在变换前后保持不变 变换后的标量场在变换后
3、的标量场在x点的值应等于变换前的场在点的值应等于变换前的场在x点的值点的值23. 标量函数的变换算符标量函数的变换算符PR 定义定义PR是一个算符，把变换前的标量函数是一个算符，把变换前的标量函数变成新的标量函数变成新的标量函数则则（定义）（定义）（x=R-1x）（标量场）（标量场）因为自变量要取遍定义域上所有的值，符号上用因为自变量要取遍定义域上所有的值，符号上用x或或x都一样都一样则有则有说说 明明1）变换算符）变换算符PR对任意函数对任意函数(x)的作用规则的作用规则 所有的标量函数都满足上式，即所有的标量函数都满足上式，即 先把原来的函数先把原来的函数(x)的自变量换成的自变量换成R-
4、1x 再把它看成再把它看成x的函数，就得到新的函数形式的函数，就得到新的函数形式PR=32）PR显然是线性算符显然是线性算符 3） 与与 PR= 是两种不同的函数形式是两种不同的函数形式 上式给出了这两个函数值上的联系上式给出了这两个函数值上的联系 PR作用在作用在上变成新的函数上变成新的函数 再做再做S变换时，变换时，PS作用在作用在上，即上，即而不是而不是4）PR构成群构成群PG，称为群，称为群G的线性实现的线性实现对称变换群对称变换群 算符算符PR与变换与变换R间一一对应间一一对应 它们的乘积仍按同一规则一一对应它们的乘积仍按同一规则一一对应 即即 变换变换R集合构成的群集合构成的群G与
5、与算符算符PR构成的群构成的群PG同构同构4练练 习习由函数基由函数基1(x,y)=x2,2(x,y)=xy,3(x,y)=y2, ,架设的三维函架设的三维函数空间对下列二维空间转动变换数空间对下列二维空间转动变换R保持不变，试计算变换保持不变，试计算变换R对应的标量函数算符对应的标量函数算符PR在此函数基中的矩阵形式在此函数基中的矩阵形式D(R):5二、等价表示二、等价表示1. 表示空间表示空间表示所作用的线性空间表示所作用的线性空间正则表示空间：正则表示空间：即是群代数即是群代数基：基：表示空间中基的选择不唯一表示空间中基的选择不唯一如：如：在给定的不变函数空间中，线性变换群在给定的不变函
6、数空间中，线性变换群PG作用在作用在(x)上，得到一个线性表示，这个线性函数空间就是表示空间上，得到一个线性表示，这个线性函数空间就是表示空间而而 对对m维方矩阵构成的矩阵群，群元素描写维方矩阵构成的矩阵群，群元素描写m维空间的线性维空间的线性变换，则这变换，则这m维空间就是矩阵群自身表示的表示空间维空间就是矩阵群自身表示的表示空间当一组基做线性组合时当一组基做线性组合时PR的矩阵形式做相似变换的矩阵形式做相似变换672. 等价表示定义等价表示定义n两个等价表示维数相同；相似变换矩阵两个等价表示维数相同；相似变换矩阵X也是同维非奇异矩阵也是同维非奇异矩阵n等价于同一表示的两个表示互相等价（传递
7、性）等价于同一表示的两个表示互相等价（传递性）n等价表示无实质上的区别（只是表现形式不同）等价表示无实质上的区别（只是表现形式不同）若群若群G所有元素所有元素R在两个表示在两个表示D(G)和和D(G)中表示矩阵存中表示矩阵存在同一相似变换关系，即在同一相似变换关系，即则这样的两个表示称为等价表示，记作则这样的两个表示称为等价表示，记作说说 明明 寻找群寻找群G所有表示的问题所有表示的问题 寻找群寻找群G所有不等价表示问所有不等价表示问题题83. 判断两个表示是否等价的充要条件判断两个表示是否等价的充要条件对有限群，每个元素在两个表示中的特征标对应相等，即对有限群，每个元素在两个表示中的特征标对
8、应相等，即注注：特征标是类的函数，同类中的元素表示矩阵的特征标相特征标是类的函数，同类中的元素表示矩阵的特征标相等，这样，只需从每类元素中选出一个元素，检验它们在两等，这样，只需从每类元素中选出一个元素，检验它们在两个表示中的特征标是否相等即可。个表示中的特征标是否相等即可。三、表示的幺正性三、表示的幺正性定理一：定理一：有限群的线性表示等价于幺正表示，而且有限群的线性表示等价于幺正表示，而且 两个等价的幺正表示一定可以通过幺正的相似变换相联系两个等价的幺正表示一定可以通过幺正的相似变换相联系推论：推论：有限群的实表示等价于实正交表示，而且有限群的实表示等价于实正交表示，而且 两个等价的实正交
9、表示一定可以通过实正交的相似变换相联系两个等价的实正交表示一定可以通过实正交的相似变换相联系9四、不可约表示四、不可约表示1. 准备知识准备知识两个子空间直和：两个子空间直和：n维线性空间中，维线性空间中，m个矢量及其所有线性组合构成个矢量及其所有线性组合构成m维维线性空间，称为线性空间，称为n维线性空间的子空间维线性空间的子空间子空间：子空间：零空间（零空间（m=0），全空间（），全空间（m=n）两个平庸子空间：两个平庸子空间：子空间的矢量关于线性算符不变子空间的矢量关于线性算符不变 PR R=S V子子不变（真）子空间：不变（真）子空间：设设W和和W是线性空间是线性空间V的子空间，若对任意
10、的子空间，若对任意x V，可找，可找到到y W，z W，并唯一的将，并唯一的将x表示为表示为 x=y+z，或，或 V=W+W，WW=则称则称V是是W和和W的直和，的直和，W和和W为互补子空间为互补子空间记为记为V=W + W102. 不可约表示定义不可约表示定义若群若群G的表示的表示D(G)的每一个表示矩阵的每一个表示矩阵D(R)都能通过一个相都能通过一个相似变换似变换X化成同一形式的阶梯矩阵化成同一形式的阶梯矩阵则此表示称为可约表示，否则称为不可约表示。则此表示称为可约表示，否则称为不可约表示。说说 明明n上式中两个子矩阵上式中两个子矩阵D(1)(R)和和D(2)(R)的集合分别构成群的集合
11、分别构成群G的线性表示的线性表示n元素在可约表示中的特征标等于子表示中的特征标之和元素在可约表示中的特征标等于子表示中的特征标之和 n可约表示的表示空间存在非平庸不变子空间可约表示的表示空间存在非平庸不变子空间n在表示空间中存在非平庸不变子空间的表示称为可约表示在表示空间中存在非平庸不变子空间的表示称为可约表示 否则是不可约表示否则是不可约表示113. 完全可约表示完全可约表示若若D(G)的表示空间存在两个互补的不变子空间，可在两个子的表示空间存在两个互补的不变子空间，可在两个子空间分别取一组基，构成整个空间的一组完备基，在这组基下，空间分别取一组基，构成整个空间的一组完备基，在这组基下，D(
12、R)都取同一形式的方块矩阵都取同一形式的方块矩阵该表示称为完全可约表示，表示的这种形式成为已约表示该表示称为完全可约表示，表示的这种形式成为已约表示（可约且完全可约可约且完全可约）有时表示空间虽存在非平庸不变子空间，但无论如何选择，有时表示空间虽存在非平庸不变子空间，但无论如何选择，其相补子空间都不是不变的，这样的表示仍然可约，但称为不其相补子空间都不是不变的，这样的表示仍然可约，但称为不能完全约化的可约表示（能完全约化的可约表示（可约却不完全可约可约却不完全可约）有限群的可约表示一定是完全可约的有限群的可约表示一定是完全可约的12 寻找群寻找群G所有表示的问题所有表示的问题 寻找群寻找群G所有不等价表示问题所有不等价表示问题 寻找所有不等价不可约表示寻找所有不等价不可约表示群论的基本任务就是如何判别表示的等价性和不可约性群论的基本任务就是如何判别表示的等价性和不可约性 找出群的所有不等价不可约表示找出群的所有不等价不可约表示 及如何把可约表示化为不可约表示的直和及如何把可约表示化为不可约表示的直和13
