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1、高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学第十六章第十六章 选考部分选考部分第二节第二节 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程第二讲第二讲 坐标系与参数方程坐标系与参数方程高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学课前自主学案课前自主学案 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学知识梳理知识梳理 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(,)=0,并且坐标适合方程f(,)=0的点都在曲线C上,那么方程f(,)=0叫做曲线C的极坐标方程. 2.直线的极坐标方程(1)过极点且与极轴成角的直线方程是:=和=-;(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a,0)(a0)的直线方程为:
2、cos=a;(3)与极轴平行且在x轴的上方,与极轴的距离为a的直线方程为:sin=a.高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学3.圆的极坐标方程(1)以极点为圆心,半径为r的圆的方程为:=r;(2)圆心在极轴上且过极点,半径为r的圆的方程上:=2rcos;(3)圆心在过极点且与极轴成/2的射线上,过极点,半径为r的圆的方程为:=2rsin.4.极坐标与直角坐标的互化公式 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学基础自测基础自测 1在极坐标系中,过极点,倾斜角为/3的直线方程是( )解析:根据极坐标方程的定义,易知所求直线方程是=/3和=4/3故选D.答案:D高考总复习高考总复习.理科理科.数学
3、数学2把极坐标方程=-10cos化为直角坐标方程为( )A.x2+y2=-10x B.x2+y2=-10yC.x2+y2=10 D.x2+y2=25解析:把=-10cos的两边同乘以,得2=-10cos,再代入极坐标与直角坐标的互化公式,得直角坐标方程为x2+y2=-10x.答案: A 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学3. (2009年上海卷)在极坐标系中,由三条直线=0, =/3,cos+sin=1围成图形的面积是_解析:化为普通方程,分别为:y=0, y= , x+y=1,画出三条直线的图象如右图,可求得三角形AOB的面积为:答案:高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学4.(20
4、09年广州一模)在极坐标系中,直线sin(+/4)=2被圆=4截得的弦长为_答案:高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学课堂互动探究课堂互动探究 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学求圆的极坐标方程 已知圆C的圆心坐标为 半径为5,求圆C的极坐标方程. 解析:解析: 设点P(,)是圆C上的任意一点,如右图所示,由平面几知识可知,APO=90, PAO=,AO=10,sin=/10,=10sin. 即所求圆C的极坐标方程为:=10sin 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学变式探究变式探究 1.已知圆A的圆心坐标为(2,0),半径为2,则圆A的极坐标方程是_解析:由cos=/4,得=4
5、cos.答案:=4cos高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学求直线的极坐标方程 设点P的极坐标为(1,1),直线l过P且与极轴所成的角为,求直线l的极坐标方程. 分析:分析:用直接法求解 解析:解析:如右图所示,设M(,)为直线l上除点P外的任意一点,连接OM,则|OM|=,xOM=.由点P的极坐标为(1,1)知,|OP|=1,xOP=1.设直线l与极轴交于点A,已知直线l与极轴成角,所以xAM=.在MOP中,OMP=-,OPM=-(-1),由正弦定理得 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学显然,点P的坐标(1,1)是上述方程的解.所以,上述方程就是直线l的极坐标方程. 点评:本例题很
6、好地展示了求直线的极坐标方程的基本方法,点评:本例题很好地展示了求直线的极坐标方程的基本方法,注意与直角坐标方程的求解方法相互比较,仔细揣摩注意与直角坐标方程的求解方法相互比较,仔细揣摩. . 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学变式探究变式探究 2.求过点A(a,0)(a0),且垂直于极轴的直线l的极坐标方程. 解析:如右图所示,设M(,)为直线l上,除点A外的任意一点,连接OM,由RtMOA有|OM|cosMOA=|OA|,即cos=a.可以验证,点A(a,0)满足上式.所以,cos=a.就是所求直线的极坐标方程。高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学曲线的极坐标方程与直角坐标方程的
7、互化曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 把极坐标方程=2cos-4sin化成直角坐标方程.分析:直接运用极坐标与直角坐标的互化公式即可. 解析:把=2cos-4sin两边同乘以,得到2=2cos-4sin,即 x2+y2=2x-4y,所以,所求的直角坐标方程是(x-1) 2+(y-2) 2=5。点评:熟悉极坐标与直角坐标的互化公式,熟练进行恒等变点评:熟悉极坐标与直角坐标的互化公式,熟练进行恒等变形是这个问题的目的所在形是这个问题的目的所在. . 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学3.把直角坐标方程2x-3y-1=0化成极坐标方程.变式探究变式探究 解析:把x=cos,y=sin代入2
8、x-3y-1=0,即得所求的极坐标方程是2cos-3sin-1=0高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学曲线的极坐标方程的应用 已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b(ab0),A,B分别为椭圆上的两点,且OAOB.(1)求证: 为定值;(2)求AOB面积的最大值和最小值.分析:由于点的极坐标更加容易表示距离和角度,所以涉及到长度和角度问题,采用极坐标系往往能够简化思路、简便运算.高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学解析:(1)以椭圆中心O为直角坐标原点,长轴所在的直线为x轴建立直角坐标系,则椭圆的直角坐标方程为将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程,得 高考总复习高考总复习.理
9、科理科.数学数学高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学(2)高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学点评:恰当的选用极坐标系,有时能够有效地提供解决解析点评:恰当的选用极坐标系,有时能够有效地提供解决解析几何问题的方法和思路,提高问题解决的速度几何问题的方法和思路,提高问题解决的速度. . 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学变式探究变式探究 证明:以原直角坐标系的Ox轴为极轴建立极坐标系.那么双曲线的极坐标方程为 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学温馨提示温馨提示 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学1.根据极坐标方程的定义,求曲线的极
10、坐标方程与求曲线的直角坐标方程类似,一般步骤是:建立适当的极坐标系;列出动点所满足的关系式;将上述关系式用动点坐标(,)的解析式来表示;化简得到的解析式;证明所得到的方程就是所求的曲线方程.求曲线的极坐标方程的主要方法有:直接法、几何法以及相关点法. 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学2.由于极坐标中极径和极角鲜明的简化特征,所以在处理与角度和距离有密切关系的问题时,用极坐标更容易表示已知的条件,代数变换也更加直接,再加上几何的直观性,因而解题过程显得简洁、明了;但是,在极坐标系中,判别曲线形状及其位置关系、计算距离和角度等等问题,通常需要先转化为直角坐标,在直角坐标系中求解后再转化为极
11、坐标.这样一来,处理极坐标问题的有两个基本策略:其一直接用极坐标;其二转化为直角坐标,选择的基本原则就是简单性. 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 题型展示台题型展示台 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 (2009年辽宁卷)坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 (1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程. 解析:高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 (2009年安徽卷)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为 ,它与曲线 相交于两点A和B,则|AB|=_解析:直线的普通方程为y=x,曲线的普通方程 答案:高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学题型训练题型训练 1.(2009年梅州一模) 在极坐标系中,圆=2上的点到直线 的距离的最小值是_答案是:12.在极坐标系中,圆=2cos的圆心的极坐标是_,它与方程 所表示的图形的交点的极坐标是_答案是高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学