《新课标版高考数学大第八章立体几何87空间向量的应用一平行与垂直课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课标版高考数学大第八章立体几何87空间向量的应用一平行与垂直课件理（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第7课时课时 空空间间向量的向量的应应用用(一一) 平行平行与垂直与垂直 20162016 考纲下载考纲下载 1能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直 2理解直线的方向向量与平面的法向量 3能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立体几何中的作用 请注意 本节知识是高考中的重点考查内容，着重考查线线、线面、面面的平行与垂直，考查以选择题、填空题形式，出现时灵活多变，以解答题出现时，往往综合性较强属于中档题 课前自助餐课前自助餐 直线的方向向量 就是指和这条直线所对应向量平行 (或共线)的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数多个 平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就
2、是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数多个，它们是共线向量 (2)在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过点 A 的平面是唯一确定的 直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用 直线 l1的方向向量 u1(a1，b1，c1)，直线 l2的方向向量为u2(a2，b2，c2) 如果 l1l2，那么 u1u2? (a1，b1，c1)(a2，b2，c2) 如果 l1l2，那么 u1u2? a1a2b1b2c1c20 直线 l 的方向向量为 u(a1，b1，c1)，平面 的法向量为 n(a2，b2，c2) 若 l，则 un? un0?
3、a1a2b1b2c1c20； 若 l，则 un? ukn? (a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)； 平面 1的法向量为 u1(a1，b1，c1)，平面 2 的法向量为 u2(a2，b2，c2) 若 12，则 u1u2? u1ku2? (a1，b1，c1)k(a2，b2，c2) 若 12，则 u1u2? u1u20? a1a2b1b2c1c20 1判断下面结论是否正确(打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的 (2)平面的单位法向量是唯一确定的 (3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 (4)若空间向量 a 平行于平面 ， 则 a 所在直线与平面 平行 答案 (1) (2)
4、(3) (4) 2已知 a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)，则下列结论正确的是 ( ) Aac，bc Bab，ac Cac，ab D以上都不对 答案 C 3若两不重合直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1(1，0， 1)，v2(2，0，2)，则 l1与 l2的位置关系是( ) A平行 B相交 C垂直 D不确定 答案 A 解析 v22v1，l1l2. 4若平面， 垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) An1(1，2，1)，n2(3，1，1) Bn1(1，1，2)，n2(2，1，1) Cn1(1，1，1)，n2(1，2，1) Dn1(1，2，1)，n2(0，2，2)
5、 答案 A 5已知AB(2，2，1)，AC(4，5，3)，则平面 ABC 的单位法向量为( ) 122122A(3，3，3) B(3，3，3) 122212C(3，3，3) D(3，3，3) 答案 C 解析 设平面 ABC 的法向量 n(x，y，z)， ?ABn0，?2x2yz0，则?即? ?4x5y3z0.?ACn0，?1?x ，1令 z1，得?2n(2，1，1) ?y1.122n平面 ABC 的单位法向量为( ， ， ) 333|n| 授人以渔授人以渔 ? 题型一 证明平行关系 例 1 (1)如图所示，在长方体 OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，点 P在棱 AA1上，且
6、 AP2PA1，点 S 在棱 BB1上，且SB12BS，点 Q，R 分别是 O1B1，AE 的中点，求证：PQRS. 【证明】 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0) AP2PA1， 2AP2PA13AA1. 24即AP3(0，0，2)(0，0，3) 4P点坐标为(3，0，3) 2同理可得 Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4， ) 32PQ(3，2，3)RS. PQRS. 又R?PQ，PQRS. 方法二：设OAa，OBb，OO1c，则 11PQPA1A1O1O1Q3A
7、A1OA2OB 11 ca b， 32RAAOOBBS RS112OBOAOB3BB1 11a2b3c. RS，PQRS. PQ又R?RQ，PQRS. (2)如图所示， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M，N 分别是 C1C， B1C1的中点求证：MN平面 A1BD. 【证明】 方法一：如图所示，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可11求得 M(0，1，2)，N(2，1，1)，D(0，0，0)，A1(1，110，1)，B(1，1，0)，于是MN( ，0， ) 22 设平面 A1BD 的法向量是 n(x，y
8、，z) 则 nDA10，且 nDB0， ?xz0，得? ?xy0.取 x1，得 y1，z1.n(1，1，1) 11又MNn( ，0， )(1，1，1)0， 22MNn.又MN?平面 A1BD，MN平面 A1BD. 11方法二：MNC1NC1M2C1B12C1C 11 (D1A1D1D) DA1， 22MNDA1.又MN?平面 A1BD， MN平面 A1BD. 【答案】 (1)略 (2)略 探究 1 (1)证明线线平行是证明线面平行和面面平行的基础，要证线线平行，只需证明相应的向量共线即可 (2)解决此类问题的依据还是要根据线面平行的判定定理，可证直线方向向量与面内一向量平行，也可证直线方向向量
9、与平面法向量垂直 (3)证明面面平行时，可以通过面面平行的判定定理，也可以用两个平面的法向量互相平行来证 思考题 1 (1)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDDC，E 是 PC的中点，求证：PA平面 EBD. 【证明】 连接 AC 交 BD 于 O，设DAa，DCb，DP11c， 则PADADPac， EODODE (DADC) (DP2211DC)2(DADP)2(ac) PA2EO，PAEO. 又 PA?平面 EBD，且 OE? 平面 EBD， PA平面 EBD. (2)在正方体 AC1中，M， N， E，F 分别是 A1B1，A1D1，
10、B1C1，C1D1的中点，求证：平面 AMN平面 EFDB. 【证明】 如图所示，以 D 为原点，分别以 DA， DC，DD1为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，1设 AD1，则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，M(1， ，21111)，N(2，0，1)，B(1，1，0)，F(0，2，1)，E(2，1，1) 11AM(0， ，1)，DF(0， ，1) 22AMDF，AMDF. 又AM?平面 EFDB，且 DF? 平面 EFDB， 1AM平面 EFDB.又ANBE( ，0，1)，可证 AN2平面 EFDB.又 ANAMA， 平面 AMN平面 EFDB. 【答案】 (1)略 (2)略
11、 ? 题型二 证明垂直关系 例 2 (1)已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 中点，N 为AC 中点，P为 OA 中点，Q 为 OB 中点，若 ABOC.求证：PMQN. 【思路】 欲证 PMQN，只需证明PMQN0. a，OBb，OCc. 【证明】 设OA11OM (OBOC) (bc)， 2211ON2(OAOC)2(ac)， 111PMPOOM2a2(bc)2(bca)， 111QNQOON2b2(ac)2(acb) 1PMQN4c(ab)c(ab) 121222 c (ab) (|OC| |BA| ) 44|AB|OC|，PMQN0，即PMQN. PMQN. (2)在正方体 A
12、BCDA1B1C1D1中，求证：BD1平面 ACB1. 【证明】 以 D 为原点，DA，DC，DD1分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0) BD1(1，1，1)，AB1(0，1，1)，AC(1，1，0) 又BD1AB1(1)0(1)1110， BD1AC(1)(1)(1)1100. BD1AB1，BD1AC，即 BD1AB1，BD1AC. 又 AB1ACA，BD1平面 ACB1. (3)已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，CD的中点，求证：平面
13、DEA平面 A1FD1. 【证明】 建立空间直角坐标系 Dxyz， 令 DD12， 则有 D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(2，2，1)，F(0，1，0) 此时DA(2，0，0)，DE(2，2，1) 设平面 ADE 的一个法向量为 n1(x，y，z)，则 ?x0，? ?2x2yz0.令 y1，则 z2，n1(0，1，2) 又D1A1(2，0，0)，D1F(0，1，2)， 设平面 A1FD1的一个法向量为 n2(x，y，z)，则 ?x0，? ?y2z0.令 z1，则 y2，n2(0，2，1) n1n2220，n1n2. 平面 DEA平面 A1FD1.
14、 【答案】 (1)略 (2)略 (3)略 探究 2 (1)要证明两线垂直， 需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础 (2)证明线面垂直，可利用判定定理如本题解法，也可证明此直线与平面的法向量共线 (3)用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直 思考题 2 如图所示， 已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面 PBC底面 ABCD. (1)求证：PABD； (2)求证：平面 PAD平面 PAB. 【思路】 空间中各元
15、素的位置关系和数量关系其核心是线与线的关系，线与线的关系完全可以用数量关系来表示，从而为向量在立体几何中的应用奠定了坚实的基础考虑到面 PBC面ABCD 及 PCPB，故可取 BC 的中点 O 为原点，OP为 z 轴，OB 为 x 轴 【证明】 (1)取 BC 的中点 O， 侧面 PBC底面 ABCD，PBC为等边三角形， PO底面 ABCD. 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点O与 AB 平行的直线为 y 轴，如图所示，建立空间直角坐标系 不妨设 CD1， 则 ABBC2，PO 3. A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1，0)，P(0，0， 3)
16、BD(2，1，0)，PA(1，2， 3) BDPA(2)1(1)(2)0( 3)0， PABD，PABD. 13(2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M(2，1，2) 33DM(2，0，2)，PB(1，0， 3)， 33DMPA 10(2)( 3)0. 22DMPA，即 DMPA. 33又DMPB21002( 3)0， DMPB，即 DMPB.又PBPAP， DM平面 PAB，又DM? 平面 PAD， 平面 PAD平面 PAB. 【答案】 (1)略 (2)略 ? 题型三 探究性问题 例 3 (2016 东北四校联考)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB1，BC2，CC15
17、，M 为棱 CC1上一点 3(1)若 C1M2，求异面直线 A1M 和 C1D1所成角的正切值； (2)是否存在这样的点 M 使得 BM平面 A1B1M？若存在，求出 C1M 的长；若不存在，请说明理由 【解析】 (1)过点 M 作MNC1D1交DD1于N，并连接 A1N，则A1MN 是异面直线 A1M 和 C1D1所成的角 由题意，可得 MN1，A1N5. 2A1N5tanA1MN . MN235当 C1M 时， 异面直线 A1M 和 C1D1所成角的正切值为 . 22 322 （ ） 22 (2)假设存在点 M 使得 BM平面 A1B1M，并设 C1Mx，则有 RtB1C1MRtBMB1.
18、 C1MB1M2，4x 5x，x4 或 x1. B1MBB1当 C1M1 或 4 时，使得 BM平面 A1B1M. 5【答案】 (1) (2)存在点 M，C1M1 或 4 2 探究 3 (1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行可用传统法也可用向量法用向量法更为普遍 (2)证明线面垂直的方法： 可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明 (3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向量垂直来证明 思考题 3 (2016衡水调研卷 )如图所示，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，A1D平面
19、 ABCD ，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 A1A2. (1)证明： ACA1B； PA且面 AB C(2)是否在棱 A1A 上存在一点P，使得 AP111面 PB1C1. 【解析】 以 DA，DC，DA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0， 3)，B(1，1，0)，D1(1，0， 3)，B1(0，1， 3)，C1(1，1， 3) (1)AC(1，1，0)，A1B(1，1， 3)， ACA1B0，ACA1B. (2)假设存在 13APPA1，P(，0，) 11设平面 AB1C1的一个法向
20、量为 n1(x1，y1，z1)， (1，1， 3)，AC(2，1， 3)， AB11?n1AB1x1y1 3z10，? ?n1AC12x1y1 3z10. 令 z1 3，则 y13，x10. n1(0，3， 3) 3同理可求面 PB1C1的一个法向量为 n2(0，1)， 13 3n1n20. 30，即 4. 1P在棱 A1A 上，0矛盾 这样的点 P不存在 【答案】 (1)略 (2)点 P不存在 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步： 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；根据运算结果的几何意义来解释相关问题
