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1、第第第第 1 1 页页页页第八章第八章 系统的状态变量分析系统的状态变量分析 前面几章的分析方法称为前面几章的分析方法称为外部法外部法，它强调用系统，它强调用系统的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。其其特点特点：（1）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将增加复杂性；统，将增加复杂性；（2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况一无所知，也无法控制。内部情况一无所知，也无法控制。 第第第第 2 2 页页页页 本章将介绍的本章将介绍的内部法内部
2、法状态变量法，状态变量法，它是用它是用n个个状态变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描状态变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系统。述系统。优点优点有：有：（1）提供系统的内部特性以便研究；）提供系统的内部特性以便研究；（2）便于分析多输入多输出系统；）便于分析多输入多输出系统；（3）一阶方程组便于计算机数值求解，并容易推广用）一阶方程组便于计算机数值求解，并容易推广用于时变系统和非线性系统。于时变系统和非线性系统。 内部法内部法状态变量法状态变量法第第第第 3 3 页页页页8.1 状态变量与状态方程状态变量与状态方程一、状态与状态变量的概念一、状态与状态变量的概念从一个电路系统实
3、例引入从一个电路系统实例引入以以u(t)和和iC(t)为输出为输出 若还想了解内部三个若还想了解内部三个变量变量uC(t), iL1(t), iL2(t)的的变化情况。变化情况。这时可列出方程这时可列出方程a第第第第 4 4 页页页页 这是由三个内部变量这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)构成构成的一阶微分方程组。的一阶微分方程组。 若初始值若初始值uC(t0)、iL1(t0)和和iL2(t0)已知，则根据已知，则根据tt0时的给定激励时的给定激励uS1(t)和和uS2(t)就可唯一地确定在就可唯一地确定在tt0时时的解的解uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)。第第第
4、第 5 5 页页页页 系统的输出容易地由三系统的输出容易地由三个内部变量和激励求出：个内部变量和激励求出：一组代数方程一组代数方程 状态与状态变量的定义状态与状态变量的定义 系统在某一时刻系统在某一时刻t0的的状态状态是指表示该系统所必需是指表示该系统所必需最最少的一组数值少的一组数值，已知这组数值和，已知这组数值和tt0时系统的激励，就时系统的激励，就能完全确定能完全确定tt0时系统的全部工作情况。时系统的全部工作情况。 状态变量状态变量是描述状态随时间是描述状态随时间t 变化的一组变量，变化的一组变量，它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态状态。第
5、第第第 6 6 页页页页 对对n阶动态系统需有阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用个独立的状态变量，通常用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。表示。 说明说明：（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的线性组合；的线性组合；（2）状态变量应线性独立；）状态变量应线性独立；（3）状态变量的选择并不是唯一的）状态变量的选择并不是唯一的 。在初始时刻的值称为在初始时刻的值称为初始状态初始状态。第第第第 7 7 页页页页二、状态方程和输出方程二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时，用状态变量分析系统
6、时，一般分一般分两步两步进行：进行：（1）第一步第一步是根据系统的初始状态求出状态变量；是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系统输出。系统输出。 状态变量状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该程组来得到，该一阶微分方程组一阶微分方程组称为称为状态方程状态方程。 状态方程状态方程描述了描述了状态变量的一阶导数状态变量的一阶导数与与状态变量和状态变量和激励激励之间的关系之间的关系 。 而描述而描述输出输出与状态变量和激励之与状态变量和激励之间关系的一组间
7、关系的一组代数方程代数方程称为称为输出方程输出方程 。通常将状态方程和输出方程总称为通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程动态方程或系统方程。 第第第第 8 8 页页页页动态方程的一般形式 n阶多输入阶多输入多输出多输出LTI连续系统，如图连续系统，如图 。其状态方程和输出方程为其状态方程和输出方程为 第第第第 9 9 页页页页矩阵形式矩阵形式状态方程状态方程输出方程输出方程其中其中A为为nn方阵，称为方阵，称为系统矩阵系统矩阵，B为为np矩阵，称为矩阵，称为控制矩阵控制矩阵，C为为qn矩阵，称为矩阵，称为输出矩阵输出矩阵，D为为qp矩阵矩阵 对离散系统，类似有对离散系统，类似有状态
8、方程状态方程输出方程输出方程状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。第第第第 1010 页页页页8.2 连续系统状态方程的建立连续系统状态方程的建立一、一、由电路图直接建立状态方程由电路图直接建立状态方程 首先选择状态变量首先选择状态变量 。通常选通常选电容电压电容电压和和电电感电流感电流为为状态变量状态变量。 必须保证所选状态变必须保证所选状态变量为量为独立独立的电容电压的电容电压和独立的电感电流。和独立的电感电流。 四种非独立的电路结构四种非独立的电路结构第第第第 1111 页页页页状态方程的建立：状态方程的建立：根据
9、电路列出各状态变量的一阶微分方程。根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。由于由于为使方程中含有状态变量为使方程中含有状态变量uC的一阶导数的一阶导数 ，可对接有该可对接有该电容的独立结点电容的独立结点列写列写KCL电流方程；电流方程； 为使方程中含有状态变量为使方程中含有状态变量iL的的一阶导数一阶导数 ，可对含有该可对含有该电感的独立回路电感的独立回路列写列写KVL电压方程。电压方程。 对列出的方程，只保留对列出的方程，只保留状态变量和输入激励状态变量和输入激励，设法，设法消消去去其他其他中间的变量中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。，经整理即可给出标准的状态方程。 对于对于输出输出方
10、程，通常可用方程，通常可用观察法观察法由电路直接列出。由电路直接列出。第第第第 1212 页页页页由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：（1）选电路中所有）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为独立的电容电压和电感电流作为状态变量状态变量；（2）对接有所选）对接有所选电容的独立结点电容的独立结点列出列出KCL电流方程，电流方程，对含有所选对含有所选电感的独立回路电感的独立回路列写列写KVL电压方程；电压方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的态变量，则利用适当的KCL、K
11、VL方程将它们方程将它们消去消去，然后整理给出然后整理给出标准的状态方程标准的状态方程形式；形式；（4）用）用观察法观察法由电路或前面已推导出的一些关系直由电路或前面已推导出的一些关系直接接列写输出方程列写输出方程，并整理成标准形式。，并整理成标准形式。 第第第第 1313 页页页页例例：电路如图，以电阻电路如图，以电阻R1上的电压上的电压uR1和电阻和电阻R2上的电上的电流流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。为输出，列写电路的状态方程和输出方程。解：解： 选状态变量选状态变量x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t) L 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS
12、1(t) aC 2(t) + iR2(t) = x1(t) 消去消去 iR2(t),列右网孔列右网孔KVL方程：方程： R2iR2(t) + uS2(t) x2(t) = 0 代入整理得代入整理得输出方程：输出方程：uR1(t) = R1x1(t) 第第第第 1414 页页页页二、由输入二、由输入输出方程建立状态方程输出方程建立状态方程 这里需要解决的问题是这里需要解决的问题是：已知系统的外部描述（已知系统的外部描述（输入输入输出方程、系统函数、输出方程、系统函数、模拟框图、信号流图等模拟框图、信号流图等）；如何写出其）；如何写出其状态方程状态方程及输及输出方程。出方程。具体方法具体方法：（1
13、）由系统的输入）由系统的输入输出方程或系统函数，首先画输出方程或系统函数，首先画出其出其信号流图或框图信号流图或框图；（2）选）选一阶子系统一阶子系统(积分器积分器)的输出的输出作为作为状态变量状态变量；（3）根据每个一阶子系统的）根据每个一阶子系统的输入输出关系输入输出关系列状态方列状态方程；程；（4）在）在系统的输出端系统的输出端列输出方程。列输出方程。第第第第 1515 页页页页例例1：某系统的微分方程为某系统的微分方程为y (t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) + 8 f (t)试求该系统的状态方程和输出方程。试求该系统的状态方程和输出方程。解：解：由微分方程
14、不难写出其系统函数由微分方程不难写出其系统函数 方法一方法一：画出直接形式的信号流图：画出直接形式的信号流图设状态变量设状态变量x1(t)、 x2(t)x1x2由后一个积分器，有由后一个积分器，有由前一个积分器，有由前一个积分器，有系统输出端，有系统输出端，有 y(t) =8 x1+2 x2第第第第 1616 页页页页方法二：方法二：画出串联形式的信号流图画出串联形式的信号流图设状态变量设状态变量x1(t)、 x2(t)x2x1设中间变量设中间变量 y1(t)y1系统输出端，有系统输出端，有 y(t) =2 x2第第第第 1717 页页页页方法三：方法三：画出并联形式的信号流图画出并联形式的信
15、号流图f(t)y(t)设状态变量设状态变量x1(t)、 x2(t)x1x2系统输出端，有系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2可见可见H(s)相同的系统，相同的系统，状态变量的选择并不状态变量的选择并不唯一。唯一。第第第第 1818 页页页页例例2： 某系统框图如图，状态变量如图标示，试某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和输出方程。列出其状态方程和输出方程。解：解： 对三个一阶系统对三个一阶系统其中，其中， y2= f x3输出方程输出方程 y1(t) = x2y2(t) = x3 + f第第第第 1919 页页页页三、由状态方程列输入三、由状态方程列输入输出方程输出
16、方程例例3： 已知某系统的动态已知某系统的动态方程如下，列出描述方程如下，列出描述y(t)与与f(t)之间的微分方程。之间的微分方程。解法一解法一:由输出方程得由输出方程得y(t)=x1(t)y (t)=x1 (t) = 4 x1(t) + x2(t)+ f(t)y (t)= 4 x1 (t) + x2 (t)+ f (t)=44 x1(t) + x2(t)+ f (t) + 3 x1(t) + f (t) + f (t)=13 x1(t) 4x2(t) 3 f (t) + f (t)y +a y + by=(13 4a +b) x1+(4+a) x2+ f (t) +(a3) f (t) a
17、=4，b=3y +4 y + 3y= f (t) + f (t) 第第第第 2020 页页页页解法二解法二:对方程取拉氏变换，零状态。对方程取拉氏变换，零状态。第第第第 2121 页页页页 y +4 y + 3y= f (t) + f (t) 第第第第 2222 页页页页8.3 离散系统状态方程的建立离散系统状态方程的建立与连续系统类似，具体方法为：与连续系统类似，具体方法为：（1）由系统的）由系统的输入输入输出方程输出方程或或系统函数系统函数，首先首先画出其画出其信号流图信号流图或或框图；框图；（2）选）选一阶子系统一阶子系统(迟延器）的迟延器）的输出输出作为作为状态变量状态变量；（3）根据
18、每个）根据每个一阶子系统一阶子系统的的输入输出关系输入输出关系列状态方程；列状态方程；（4）在）在系统的输出端系统的输出端列输出方程。列输出方程。第第第第 2323 页页页页例例1：某离散系统的差分方程为某离散系统的差分方程为 y(k) + 2y(k 1) y(k 2) = f(k 1) f(k 2) 列出其动态方程。列出其动态方程。解：解：不难写出系统函数不难写出系统函数 画信号流图：画信号流图：设状态变量设状态变量x1 (k) ，x2 (k) ：x1x2x1(k+1)=x2(k) ：x2(k+1)x2(k+1)= x1(k) 2x2(k) + f(k) ：输出方程输出方程y (k)=x1(
19、k) + x2(k)第第第第 2424 页页页页例例2：某离散系统有两个输入某离散系统有两个输入f1(k)、f2(k)和两个输出和两个输出y1(k)、y2(k)，其信号流图如图所示。列写该系统的状态方程其信号流图如图所示。列写该系统的状态方程和输出方程。和输出方程。 解：解： p1(k) = 2x1(k) +2x3(k)p2(k) =3p1(k)-x3(k) +f2(k) = 6x1(k) +5x3(k) + f2(k) 第第第第 2525 页页页页 第第第第 2626 页页页页二、由状态方程进行系统模拟二、由状态方程进行系统模拟例：例：某离散系统的状态方程和输出方程为某离散系统的状态方程和输
20、出方程为 画出该系统的信号流图画出该系统的信号流图 第第第第 2727 页页页页 结果第第第第 2828 页页页页8.4 连续系统状态方程的求解连续系统状态方程的求解状态方程和输出方程的一般形式为状态方程和输出方程的一般形式为 用拉普拉斯变换法求解状态方程用拉普拉斯变换法求解状态方程 sX(s) x(0) = A X(s) + BF(s) ( sI A )X(s) = x(0) +BF(s) X(s)=(sI A )-1x(0) +(sI A )1BF(s)=(s)x(0) +(s)BF(s) 式中式中(s) = ( sI A ) 1常称为常称为预解矩阵预解矩阵 。Y(s) = CX(s) +
21、DF(s)Yzi(s) = C(s)x(0) Yzs(s) = C(s)B +D F(s) H(s) = C(s)B +D (s)的的极点就是极点就是H(s)的极点，即的极点，即| sIA|=0的根。的根。=C(s)x(0) + C(s)B +D F(s)第第第第 2929 页页页页例例1： 描述描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为因果系统的状态方程和输出方程为解：解：X(s) = (s)x(0) +BF(s) 起始状态起始状态x1(0)=3，x2(0)=2，输入输入f(t) =(t)。求状态变求状态变量和输出，并判断该系统是否稳定。量和输出，并判断该系统是否稳定。第第第第 3030 页页
22、页页 y(t) = 1 1x(t) + f(t) = =(t)+ 6e-2t(t) 由于由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。H(s)的极点就是的极点就是|sIA|=0的根。的根。 |sIA|=(s+2)(s+3)第第第第 3131 页页页页8.5 离散系统状态方程的求解离散系统状态方程的求解状态方程和输出方程的一般形式状态方程和输出方程的一般形式 用用z 变换法求解状态方程变换法求解状态方程 zX(z) zx(0) = AX(z)+BF(z) Y(z) = CX(z)+DF(z) X(z) = (zI A) 1zx(0) +(zI A) 1B
23、F(z) 设设(z)= (zI A)1 z X(z) = (z)x(0) +z 1(z)BF(z) Y(z) = C(z)x(0)+Cz 1(z)B+DF(z) yzi(k) =Z 1C(z) x(0) ，yzs(k) =Z 1( Cz 1(z)B+D )F(z) H(z)=Cz 1(z)B+D(z)的的极点就是极点就是H(z)的极点的极点.即即| zI A|=0的的根。根。第第第第 3232 页页页页例例1: 描述描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为因果系统的状态方程和输出方程为初始状态为初始状态为 ，激励，激励f(k)=(k)。求状态方程的解求状态方程的解解解: (z)=zI A 1z= X(z)=(z)x(0)+z1BF(z)= 和系统的输出。和系统的输出。第第第第 3333 页页页页
