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1、11-1 11-1 电磁感应定律电磁感应定律电磁感应定律电磁感应定律一、电磁感应的基本现象一、电磁感应的基本现象 第十一章第十一章第十一章第十一章 电磁感应电磁感应电磁感应电磁感应 则一般都会在导体回路中引起电流则一般都会在导体回路中引起电流感应电流感应电流 Ii ，将形成感应电流的电动势称为将形成感应电流的电动势称为感应电动势感应电动势 i 。 使闭合导体回路的面积使闭合导体回路的面积 S 变化；变化； 使通过导体回路的磁感应强度使通过导体回路的磁感应强度 B 变化。变化。 回路所围面积回路所围面积 S 的法向与通过回路的的法向与通过回路的 B 的方向的夹角的方向的夹角 变化；变化；1. 获
2、得感应电流的实验现象及产生的原因获得感应电流的实验现象及产生的原因 产生感应电流产生感应电流 Ii 的条件：的条件： 导体构成回路导体构成回路 ( 如不构成回路，则不形成感应如不构成回路，则不形成感应 电流，但有感应电动势电流，但有感应电动势 ab 存在存在 )； 电磁感应现象电磁感应现象不论什么原因引起穿过回路的磁不论什么原因引起穿过回路的磁通量通量 m 变化时，回路中有感应电动势存在的变化时，回路中有感应电动势存在的现象。现象。 穿过回路的磁通量穿过回路的磁通量m 发生发生变化。变化。2. 楞次定律和法拉弟通量法则楞次定律和法拉弟通量法则 楞次定律：回路中感应电流的方向，总是企图楞次定律：
3、回路中感应电流的方向，总是企图使感应电流使感应电流本身产生的磁场本身产生的磁场通过回路的磁通量通过回路的磁通量阻阻碍碍反抗和补偿原磁通量的反抗和补偿原磁通量的变化变化。 注意注意：感应电流本身产生的感应电流本身产生的磁场磁场和和原磁场原磁场的方的方向可以向可以相同相同，可以，可以相反相反。 楞次定律的物理意义：楞次定律的物理意义：能量守恒在电磁感应现能量守恒在电磁感应现能量守恒在电磁感应现能量守恒在电磁感应现象中的具体表现！象中的具体表现！象中的具体表现！象中的具体表现！用楞次定律判断感应电流方向NSNSNSNS法拉弟通量法则法拉弟通量法则 反映电磁感应现象反映电磁感应现象更本质更本质的物理量
4、是感应电动势。的物理量是感应电动势。二、法拉弟电磁感应定律二、法拉弟电磁感应定律单位：伏特单位：伏特 =韦伯韦伯/秒秒 ( 1V = 1Wb / s )负号负号表示感应电动势总是表示感应电动势总是反抗反抗磁通的磁通的变化！变化！国际单位制下：国际单位制下：如果线圈是单匝，法拉弟电磁感应定律为：如果线圈是单匝，法拉弟电磁感应定律为：如果线圈有如果线圈有 N 匝，通过每匝的磁通量都是匝，通过每匝的磁通量都是m ，则，则磁通链磁通链 如果线圈有如果线圈有 N 匝，通过第匝，通过第 i 匝的磁通量匝的磁通量是是mi，则，则全磁通全磁通 t = t2 t1时间内流过线圈任一导线横截面的感应时间内流过线圈
5、任一导线横截面的感应电量：电量： 即流过线圈的即流过线圈的感应电量感应电量仅与仅与磁通链变化磁通链变化的绝对值成的绝对值成正比正比 ，与其变化率无关。，与其变化率无关。设线圈的电阻为设线圈的电阻为 R，则通过线圈的感应电流：，则通过线圈的感应电流： 任意选闭合回路的绕向；任意选闭合回路的绕向；一旦选定就成为约定一旦选定就成为约定 如果如果 Ii 0 ， i 0，则，则 Ii 和和 i 的方向与所选绕的方向与所选绕向向一致一致，如果，如果 Ii 0， i 0，则，则 b 点电势高点电势高b 为正极，方向从为正极，方向从 a b ba i若若 ab 0，方向与所选的逆时针绕向一致，否则相反。，方向
6、与所选的逆时针绕向一致，否则相反。由于由于 B 变时，整个回路上都有感应电动势。变时，整个回路上都有感应电动势。ydx 坐标如图，钭边的方程为坐标如图，钭边的方程为I BxyvCArB 如果三角形线框整体向右如果三角形线框整体向右匀速成运动，匀速成运动， i =？abc用法拉弟电磁感应定律求：用法拉弟电磁感应定律求：选取选取绕向顺时针方向，则绕向顺时针方向，则o如果如果 I 不随不随 t 变，则变，则只有只有 r 随随 t 变变，求导为，求导为当当 r = d 时，线框中的电动势为时，线框中的电动势为方向：方向： i 0 顺时针方向顺时针方向也可直接用动生电动势公式做：也可直接用动生电动势公式
7、做： i = AC + CB + BA CB= 0CB 边不切割磁力线，有边不切割磁力线，有AC 边：边：I BxyvCAda+dBabcoI BxyvCAdBabc BA边：边： i = AC + CB + BAo90 11-3 11-3 感生电动势感生电动势感生电动势感生电动势 感生电场感生电场感生电场感生电场一、产生的原因一、产生的原因 现象上：磁场随时间变化现象上：磁场随时间变化 ，导体，导体不不运动运动 ( 如构成回如构成回路，所围面积路，所围面积 S 不变不变 )。 电本质上：变化的磁场在空间激发感生电场电本质上：变化的磁场在空间激发感生电场( 涡旋电场涡旋电场 ) 感生电场力感生
8、电场力提供非静电力提供非静电力。 m 的变化由的变化由 B 变化导致变化导致。 感生电场作用于放置在空间的导体，在导体中产生感生电场作用于放置在空间的导体，在导体中产生感生电动势，在回路则产生感应电流。感生电动势，在回路则产生感应电流。 麦克斯韦假设麦克斯韦假设：变化的磁场在周围空间，甚至在磁：变化的磁场在周围空间，甚至在磁场之外，场之外，B = 0 的区域都激发一个的区域都激发一个非非静静电场电场 涡旋涡旋电场，电场，称之为称之为感生电场感生电场 Ek 。在一段导体在一段导体 ab上：上：对导体对导体回路回路：二、感生电场二、感生电场 Ek 这种电场的电场线是无头无尾的闭合曲线这种电场的电场
9、线是无头无尾的闭合曲线是是无源有旋非保守场无源有旋非保守场。 1. 定义：随定义：随 t 变化的磁场变化的磁场 B 在周围空间感应出在周围空间感应出的一种非静电场的一种非静电场涡旋电场。涡旋电场。 与静电场不同与静电场不同 激发的原因不同激发的原因不同E 场源是静止电荷场源是静止电荷 ( 激发激发 )Ek场源是变化的磁场场源是变化的磁场 ( 激发激发 ) 做功的性质不同做功的性质不同 通量的性质不同通量的性质不同2. 与静电场的异同与静电场的异同 对导体的作用不同对导体的作用不同静电场中导体电荷发生重新分布静电场中导体电荷发生重新分布静电感应静电感应现象现象感生电场中导体产生感生电动势感生电场
10、中导体产生感生电动势电磁感应电磁感应现象现象相同相同： 都对电荷有作用力；都对电荷有作用力； 若有导体存在都能形成电流；若有导体存在都能形成电流； 都对电荷做功。都对电荷做功。结合法拉弟电磁感应定律与感生电动势公式：结合法拉弟电磁感应定律与感生电动势公式：有有S 是以是以 L 为边界的为边界的任意任意曲面曲面注意注意三、三、的关系的关系比较比较满满足足左左手手螺螺旋旋关关系系满满足足右右手手螺螺旋旋关关系系 例例1：半径为：半径为 R 的通有变化电流的长直螺线管中，的通有变化电流的长直螺线管中，dB / dt 0，求螺线管内外的，求螺线管内外的 Ek。注注注注意意意意oRoL rL 解：对称性
11、分析解：对称性分析轴对称轴对称Ek 的电场线是以轴为心的同心圆周线的电场线是以轴为心的同心圆周线选为回路选为回路 选回路选回路 L 的绕向为的绕向为逆时针逆时针方向，所围圆面方向，所围圆面S 的正法的正法向垂直屏幕朝外向垂直屏幕朝外 ，由：由：注意：大于注意：大于R的圆面有磁通量的只在的圆面有磁通量的只在R圆面内！圆面内！解出：解出：方向：方向：dB /dt 0， Ek 0， Ek 与绕向相同与绕向相同 逆时针切向逆时针切向dB /dt 0， Ek 0， ab 0，方向从方向从 abbabadB /dt 0， ab 0 ， L 0 说明说明 L 与电流方向相反；与电流方向相反；di /dt 0
12、 说明说明 L 与电流方向相同。与电流方向相同。 自感电动势的方向总是要使它自感电动势的方向总是要使它阻碍阻碍回路本身回路本身电流的电流的变化。变化。 自感自感 L 有有维持原电路状态维持原电路状态的能力，它表征回路的能力，它表征回路电磁惯性电磁惯性的大小。的大小。二、二、 互感互感i1k1R 1i2k2R 21. 现象现象 当两闭合导体回路中的当两闭合导体回路中的电流变化电流变化时，相互在对方时，相互在对方回路中激起感应电动势回路中激起感应电动势 互感电动势互感电动势 的现象。的现象。R 当两个线圈相互垂直放置时，虽然各自电流当两个线圈相互垂直放置时，虽然各自电流 i 变化变化 ，但因各自的
13、磁感应线，但因各自的磁感应线不不穿过对方，穿过对方，磁通互不干涉磁通互不干涉，所以所以没有没有互感现象。互感现象。当两个线圈平行放置时，互感应现象最严重。当两个线圈平行放置时，互感应现象最严重。2. 互感电动势互感电动势 M 与互感系数与互感系数 M线圈线圈 1 中的中的 i1 在线圈在线圈 2 中产生的全磁通：中产生的全磁通：线圈线圈 2 中的中的 i2 在线圈在线圈 1 中产生的全磁通：中产生的全磁通：M21 是是L1对对L2的互感系数的互感系数M12 是是L2对对L1的互感系数的互感系数可证：可证：单位：单位： 亨利亨利 H 互感电动势与别的线圈中的电流变化快慢互感电动势与别的线圈中的电
14、流变化快慢 di/dt 有有关；与两个线圈的结构以及它们之间的相对位置和磁关；与两个线圈的结构以及它们之间的相对位置和磁介质的分布即互感系数介质的分布即互感系数 M 有关。有关。例例1：计算同轴螺旋管的自感和互感。：计算同轴螺旋管的自感和互感。Si1i2两个共轴螺旋管长为两个共轴螺旋管长为 l，匝，匝数分别为数分别为 N1 、N2，管内充，管内充满满 的的磁介质，截面磁介质，截面 S，包，包围的体积围的体积V = Sl。线圈线圈 1 产生的磁场通过线圈产生的磁场通过线圈 2 的磁通链数的磁通链数线圈线圈 1 产生的产生的同理可求出：同理可求出：由互感定义由互感定义V = Sl线圈线圈1的自感的
15、自感 L1和线圈和线圈 2 的自感的自感 L2由自感定义：由自感定义：根据上面的结果对此题很容易得到根据上面的结果对此题很容易得到 满足此式的两线圈称为满足此式的两线圈称为共轭共轭线圈，无线圈，无漏磁漏磁现象。现象。一般：一般： k 耦合系数耦合系数，由两个线圈，由两个线圈的相对位置和各自的绕法决定。的相对位置和各自的绕法决定。0k1注意注意：一个：一个细细螺绕环的自感系数与长直螺线螺绕环的自感系数与长直螺线 管的自感系数相同。管的自感系数相同。R 如图：环的截面积为如图：环的截面积为 S，轴线半径轴线半径为为 R，单位长度上的匝数为单位长度上的匝数为 n，环中环中充满充满 r 的介质。的介质
16、。当螺绕环组通有电流为当螺绕环组通有电流为 i 时，管内磁场时，管内磁场( 不是细管，则不是细管，则 B是半径是半径 r 的函数的函数 )管内全磁通为管内全磁通为由于由于 2 RS = V 为螺绕环管内的体积，所以为螺绕环管内的体积，所以 但如果但如果 B 是半径是半径 r 的函数时的函数时，L 不是这样的不是这样的表达式。因为管内全磁通要做表达式。因为管内全磁通要做积分积分！dS=hdrhD2D1i与细环的自感系数是不一样的！与细环的自感系数是不一样的！ 例例2：将自感分别为：将自感分别为 L1 和和 L2，互感为，互感为 M 的两个线圈的两个线圈 1 和和 2 串联串联 ，如果两线圈的，如
17、果两线圈的磁通互相加强磁通互相加强，如图，如图 ，称为称为顺接顺接；如果；如果两磁通相互削弱两磁通相互削弱见图见图 ，则称为，则称为反接反接，计算在两种接法下两线圈的等效总自感。计算在两种接法下两线圈的等效总自感。L2L1MSNNSIL2L1MSNNSI图图图图解：设串联线圈的等效自感为解：设串联线圈的等效自感为L。L2L1MSNNSI 顺接时：顺接时：由于磁通相互加强，有由于磁通相互加强，有如果如果 L1=L2，则，则而而 L1=L2=L / 4注意注意L1=L2不是不是 L 的的 1 / 2L2L1MSNNSI 反接时：反接时：由于磁通相互减弱，有由于磁通相互减弱，有如果如果 L1=L2，
18、则，则11-5 11-5 磁场的能量磁场的能量磁场的能量磁场的能量一、自感磁能一、自感磁能RL 由于由于 L 的存在，在给线圈通以电的存在，在给线圈通以电流流 I 时，在其周围建立磁场的过程时，在其周围建立磁场的过程中中 ，电源克服自感电动势做功转化，电源克服自感电动势做功转化为的为的磁场的能量。磁场的能量。 这与电容器充电以后，当极板电压为这与电容器充电以后，当极板电压为 U 时所储存时所储存的电能的公式类似。的电能的公式类似。二、互感磁能二、互感磁能i2k2R2 2i1k1R1 1L1L2M12M21 考虑两个邻近的电流回路，它们各自电流从考虑两个邻近的电流回路，它们各自电流从零零分别分别
19、增大到增大到 I1 ，I2 的过程。的过程。“+”对应两个回路对应两个回路 I1 和和 I2 激发的磁通量相互激发的磁通量相互加强加强I1I2M“”对应两个回路对应两个回路 I1 和和 I2激发的磁通量相互激发的磁通量相互减弱减弱I1I2M 互感磁能为负时，是互感使磁能减少，其中一部互感磁能为负时，是互感使磁能减少，其中一部分转化为回路中感应电流做的功。分转化为回路中感应电流做的功。 这样分别通有电流这样分别通有电流 I1 和和 I2 的两个回路所组成的系统的两个回路所组成的系统的总磁能为：的总磁能为：“+” 对应两个回路对应两个回路 I1 和和 I2 激发的磁通量相互激发的磁通量相互加强。加
20、强。“” 对应两个回路对应两个回路 I1 和和 I2 激发的磁通量相互激发的磁通量相互减弱。减弱。三、磁场的能量三、磁场的能量单位体积内的磁能单位体积内的磁能磁场的能量密度磁场的能量密度适用条件适用条件：只适用：只适用弱弱磁质，对磁质，对铁铁磁质磁质不不能用！能用！对对任何介质任何介质都适用的磁场的能量密度公式：都适用的磁场的能量密度公式： 对铁磁质对铁磁质 BH 不是线性关系，必须给出不是线性关系，必须给出 B H 的的函数关系才能积分。按几何关系，磁场的能量密度函数关系才能积分。按几何关系，磁场的能量密度是是 B 轴与轴与 B H 曲线所围的面积。曲线所围的面积。BH铁铁顺顺抗抗Bo蓝蓝色
21、阴影面积是铁磁质的色阴影面积是铁磁质的紫紫色阴影面积是顺磁质的色阴影面积是顺磁质的黄黄色阴影面积是抗磁质的色阴影面积是抗磁质的 麦克斯韦提出麦克斯韦提出：变化的电场：变化的电场 E ( r ，t ) 可视可视为一种等效电流为一种等效电流位移电流位移电流 ID，它激发感生，它激发感生磁场磁场( BD， HD = BD / 0 ) 无源有旋矢量场。无源有旋矢量场。jD是对应位移电流的是对应位移电流的位移电流密度矢量位移电流密度矢量一、麦克斯韦位移电流的假设一、麦克斯韦位移电流的假设11 -6 11 -6 位移电流位移电流位移电流位移电流 ( ( 变化的电场产生磁场变化的电场产生磁场变化的电场产生磁
22、场变化的电场产生磁场 ) ) 这样空间的总场由传导电流这样空间的总场由传导电流 ie ，磁化电流，磁化电流 I 以以及位移电流及位移电流 ID 共同产生，原来稳恒电流情况下的共同产生，原来稳恒电流情况下的安培环路定律安培环路定律应修正为：应修正为：S是以是以 L 为边界所围的为边界所围的任意曲面任意曲面 有了有了 ID，麦克斯韦就把乍一看起来不连通的电路，麦克斯韦就把乍一看起来不连通的电路接通了。接通了。对于非稳恒电流：其连续性方程为对于非稳恒电流：其连续性方程为流出闭合面的电流强度流出闭合面的电流强度流出闭合面的电流强度流出闭合面的电流强度等于面内电荷的减少等于面内电荷的减少等于面内电荷的减
23、少等于面内电荷的减少电荷守恒的数学表达式电荷守恒的数学表达式电荷守恒的数学表达式电荷守恒的数学表达式而由高斯定理：而由高斯定理：代入有：代入有：二、位移电流密度矢量二、位移电流密度矢量 jD = ？ 位位 移移 电电 流流 ID = ？ 通过空间任一曲面的通过空间任一曲面的位移电流：位移电流：由由 即通过空间任一曲面的即通过空间任一曲面的位移电流位移电流等于通过该曲面的等于通过该曲面的电位移通量对时间的导数电位移通量对时间的导数。对真空对真空 r = 1方向方向：但但 jD 永远与电路中永远与电路中传导电流的方向一致传导电流的方向一致。空间某点的位移电流密度矢量：空间某点的位移电流密度矢量：比
24、较这两式，非常对称，它说明比较这两式，非常对称，它说明 动电生磁，动磁生电。动电生磁，动磁生电。四、全电流四、全电流 IS在任何情况下，全电流总是连续的。在任何情况下，全电流总是连续的。全电流的安培环路定律：全电流的安培环路定律：S 是以是以 L 为边界所围的为边界所围的任意曲面。任意曲面。 例：在真空中，有半径为例：在真空中，有半径为 R = 0.10 m 的两块金属圆的两块金属圆形板。构成平行板电容器，若对电容器匀速充电，使形板。构成平行板电容器，若对电容器匀速充电，使两板间电场的变化率：两板间电场的变化率： dE / dt = 1.01013 V / m.s，求两板间的位移，求两板间的位
25、移电流，并计算电容器内与两极板中心联线相距为电流，并计算电容器内与两极板中心联线相距为 r 处处的磁感应强度。的磁感应强度。ieo+-+-Sieo+-+-S 解：忽略边缘效解：忽略边缘效应，极板间电场均应，极板间电场均匀分布，因为电容匀分布，因为电容器均匀器均匀充电，充电，所以所以位移电流是成柱状位移电流是成柱状对称分布的。对称分布的。S 两板间的两板间的 IDS 与板面平面的任一等大的面与板面平面的任一等大的面S dE / dt 0 与与 E 同向，也与同向，也与 ie 一致。一致。ieo+-+-SID 的的方向：方向：ieo+-+- 感生磁场感生磁场 BDSL PL 由于位移电流对称分由于
26、位移电流对称分布布B ，H 应具有同样应具有同样的轴对称性的轴对称性则离轴则离轴线相同距离线相同距离 r 处，处，B 相相同，同，B方向是圆周切线，方向是圆周切线，且与且与 dE / dt 满足右手螺满足右手螺旋旋磁感应线是以轴为磁感应线是以轴为心的心的同心圆周线同心圆周线 选以选以 o 为圆心，为圆心，r 为半径的环路为半径的环路 L 为积为积分回路分回路 ，L 所围的圆所围的圆面面 S 为积分曲面。为积分曲面。由：由：= 0ieo+-+-SL PLr R r R 时，包含的位移电流时，包含的位移电流 ID 是是 R2上的。上的。注意：注意：小于小于ie等于等于ie解出：解出：r RBroR
27、 r 1/rr =R 时，两个公式都给出：时，两个公式都给出：11 -7 11 -7 麦克斯韦电磁场方程组和电磁波麦克斯韦电磁场方程组和电磁波麦克斯韦电磁场方程组和电磁波麦克斯韦电磁场方程组和电磁波真空中：真空中：一、麦克斯韦电磁场方程组一、麦克斯韦电磁场方程组一、麦克斯韦电磁场方程组一、麦克斯韦电磁场方程组介质中：介质中：V 是是 S 所围的体积所围的体积S 是以是以 L为边界的任意曲面为边界的任意曲面 方程组中各场量并不是互相独立、互不相关方程组中各场量并不是互相独立、互不相关的，对于各向同性介质，有下列关系：的，对于各向同性介质，有下列关系： 电导率电导率 电容率电容率 磁导率磁导率 以
28、上是说明运动电荷产生电磁场和电磁场的以上是说明运动电荷产生电磁场和电磁场的运动、变化的规律。运动、变化的规律。二、电磁波二、电磁波二、电磁波二、电磁波介质中：介质中：真空中：真空中：正好是光速，使人们后来认识到光是电磁波中的一正好是光速，使人们后来认识到光是电磁波中的一部分部分 ( 波长在波长在 40007600 )。 麦克斯韦总结了一系列电磁理论，导出电场和磁麦克斯韦总结了一系列电磁理论，导出电场和磁场相互垂直场相互垂直 ，而且和传播方向垂直的电磁波，而且和传播方向垂直的电磁波 ，更奇，更奇妙的就是从这一方程中得出电磁波的速度是妙的就是从这一方程中得出电磁波的速度是导出：导出：( 注意电磁波
29、是横波，且电场与磁场垂直注意电磁波是横波，且电场与磁场垂直 )对沿对沿 x 方向传播的电磁场方向传播的电磁场 ( 波波 ) 就只就只有有Ey 和和 HZ电磁波电磁波uEH波动方程波动方程任一物理量任一物理量传播方向传播方向物理量是物理量是波速是波速是方程的解：方程的解：平面电磁波的波函数平面电磁波的波函数比较比较三、电磁波的基本特点三、电磁波的基本特点1. 传播传播不需不需要媒质，在要媒质，在真空中真空中也可进行。也可进行。同一频率同一频率 的波：在不同介质中有不同的波速和波长！的波：在不同介质中有不同的波速和波长！在真空中：在真空中：在介质中：在介质中：n 介质的折射率介质的折射率n12 相
30、对折射率相对折射率2. 电磁波是电磁波是横波横波uEHE、H分别在各自的平面上振动，称为分别在各自的平面上振动，称为偏振。偏振。3. E 和和 H 位相相同位相相同，同位相变化，即同地同，同位相变化，即同地同 时达到最大，同地同时减到最小。时达到最大，同地同时减到最小。沿沿 x 正向传播正向传播的的平面平面电磁波！电磁波！真空中：真空中：4. 任一时刻，在空间任一点的任一时刻，在空间任一点的 E 和和 H 的大的大 小，以及振幅小，以及振幅 Em 和和 Hm 成比例成比例。四、电磁波谱四、电磁波谱 电磁波的波段电磁波的波段 ( 下面指在真空中下面指在真空中 ) 在一个很大的范在一个很大的范围内
31、：围内：无线电波无线电波红外线红外线可见光可见光紫外线紫外线X 射线射线 射线射线波波长长长长的的波波，衍衍射射现现象象严严重重波波长长短短的的波波，穿穿透透能能力力越越强强五、电磁波的物质性五、电磁波的物质性对各向同性的介质：对各向同性的介质：1. 电磁场的能量电磁场的能量辐射能辐射能 ( 电磁波的能量密度电磁波的能量密度 )2. 电磁波的能流密度电磁波的能流密度坡印廷矢量坡印廷矢量 S 电磁波的传播伴随有电磁能量的流动电磁波的传播伴随有电磁能量的流动这种以电磁这种以电磁波形式传送能量的方式称为波形式传送能量的方式称为辐射，辐射，所以电磁能量称为所以电磁能量称为辐射能。辐射能。 我们把在我们
32、把在单位时间内单位时间内通过通过垂直于传播方向垂直于传播方向的的单位面单位面积积上的辐射能称为电磁波的上的辐射能称为电磁波的能流密度能流密度辐射强度辐射强度 ( 波波的强度的强度 ) ，用，用 S 表示：表示：dA大小：大小：单位时间内通过垂直于传播方向上单位时间内通过垂直于传播方向上 单位面积上的能量单位面积上的能量方向方向：波的传播方向即波速：波的传播方向即波速 u 的方向。的方向。即能量密度与波速的乘积为能流密度即能量密度与波速的乘积为能流密度用矢量表示为：用矢量表示为：与机械波的情况一样！与机械波的情况一样！代入代入：有有：注意到：注意到： 通常将它称为坡印廷通常将它称为坡印廷通常将它称为坡印廷通常将它称为坡印廷 ( ( Poynting Poynting ) ) 矢量矢量矢量矢量 。由由波速波速波速波速
