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1、 第十部分 曲线、曲面积分一一. 重点和难点：了解多元函数积分学的整体思想。重点和难点：了解多元函数积分学的整体思想。 1. 第第型型 、第、第型曲线积分的定义、性质、各自不同的计算方法和型曲线积分的定义、性质、各自不同的计算方法和两型曲线积分互相转换的关系式。两型曲线积分互相转换的关系式。 2. 第第型型 、第、第型曲面积分的定义、性质、各自不同的计算方法和型曲面积分的定义、性质、各自不同的计算方法和两型曲面积分之间互相转换的关系式。两型曲面积分之间互相转换的关系式。 3. 格林公式的条件、结论和应用格林公式的条件、结论和应用 。 4. 平面曲线积分的四个等价命题，它们等价的条件，以及应用。
2、平面曲线积分的四个等价命题，它们等价的条件，以及应用。 5. 高斯公式的含义和用法高斯公式的含义和用法. 6. 曲面积分与曲面无关的条件曲面积分与曲面无关的条件. 7. 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式的含义和用法公式的含义和用法. *8. 空间曲线积分的四个等价命题空间曲线积分的四个等价命题. 9. 了解散度，会计算散度了解散度，会计算散度. 10. 了解旋度，会计算旋度了解旋度，会计算旋度.第十部分第十部分 曲线、曲面积分曲线、曲面积分 曲线积分和曲面积分在实际中的应用：求曲线、曲面的质量、曲线积分和曲面积分在实际中的应用：求曲线、曲面的质量、重心和转动惯量；解决变力作功问题；解决矢量
3、场沿有向闭曲线的环重心和转动惯量；解决变力作功问题；解决矢量场沿有向闭曲线的环量以及通过曲面的通量计算问题。量以及通过曲面的通量计算问题。 填空填空(4个个). 二二. 下列计算对吗？下列计算对吗？ (5题题) 三三. 判别积分的类型并计算判别积分的类型并计算. (4题题) 四四. 课堂练习课堂练习. 1. 单项选择题单项选择题(3题题) 2. 计算题计算题(3题题) 11.（按积分区域分类）（按积分区域分类）（按积分区域分类）（按积分区域分类）积分区域积分区域积分区域积分区域定积分定积分二重积分二重积分三重积分三重积分D曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分一型：对弧长一型：对弧长二型：对坐标二型
4、：对坐标一型：对面积一型：对面积二型：对坐标二型：对坐标Stokes 公式公式高斯公式高斯公式格林公式格林公式一一一一. .多元函数积分学概况多元函数积分学概况多元函数积分学概况多元函数积分学概况推推 广广推推 广广推推 广广推推 广广第一型第一型(对弧长对弧长)第二型第二型(对坐标对坐标)两型之间两型之间的关系的关系标准形式标准形式物理意义物理意义计算方法计算方法相似处相似处不同处不同处曲线积分曲线积分1.都是化曲线积分为都是化曲线积分为 定积分计算。定积分计算。2.都要把曲线表示式都要把曲线表示式 代入被积函数。代入被积函数。积分下限积分下限 上限上限L方向：从方向：从AB积分下限为起点积
5、分下限为起点A的的 t 值值上限为终点上限为终点 B的的 t 值值此处下限是此处下限是 , 上限是上限是 .1. 第第型、第型、第型曲线积分的比较型曲线积分的比较.L指曲线指曲线 AB第一型第一型(对面积对面积)第二型第二型(对坐标对坐标)两型之间两型之间的关系的关系标准形式标准形式物理意义物理意义计算方法计算方法曲面积分曲面积分 指空间曲面指空间曲面 为有向曲面为有向曲面.2. 第第型、第型、第型曲面积分的比较型曲面积分的比较解决解决 平面的曲线积分与二重积分的联系平面的曲线积分与二重积分的联系3. 格林公式格林公式LDDLl(逆逆)(顺顺)则有则有其中其中 L 是是 D 的的整个整个正向边
6、界曲线正向边界曲线.若：若：特殊情况特殊情况(D是复连通的是复连通的)下，格林公式成为：下，格林公式成为：注：注：注：注：(逆逆)(逆逆)问题。问题。4. 平面曲线积分的四个等价命题平面曲线积分的四个等价命题.若其中一个成立，另外三个也成立。若其中一个成立，另外三个也成立。等价的意义是：等价的意义是：5. 高斯公式高斯公式曲面积分与三重积分的联系曲面积分与三重积分的联系则有则有其中其中 是是 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧.若：若：.解决解决问题问题.6.曲面积分与曲面无关的条件曲面积分与曲面无关的条件. .7. Stokes 公式公式曲线积分与曲面积分的联系曲线积分与曲面积分的联系
7、若：若：解决解决问题问题 7. Stokes 公式公式曲线积分与曲面积分的联系曲线积分与曲面积分的联系则有则有若：若：解决解决问题问题. *8 空间曲线积分的四个等价命题空间曲线积分的四个等价命题.9. 散度散度.例：例：解：解：.10. 旋度旋度.例：例：解：解：由轮序对称性，由轮序对称性，11.曲线积分和曲面积分的应用曲线积分和曲面积分的应用: 填空填空.二二 下列计算对吗？下列计算对吗？解：解：aDx0yL .以上解法对吗？以上解法对吗？.二二2解：解：a .以上解法对吗？以上解法对吗？Dxyyozx 1 2.二二3解：解：a .以上解法对吗？以上解法对吗？Dxyyozx 1 2.二二4
8、解：解：a .以上解法对吗？以上解法对吗？Dxyyozx 1 2.取上侧；取上侧；取下侧取下侧.二二5解：解：a .以上解法对吗？以上解法对吗？yozx. 三 判别积分的类型并计算（判别积分的类型并计算（4个）个）四四 课堂练习课堂练习. 1. 单项选择题单项选择题BCB2. 计算题计算题谢谢 谢谢 使使 用用返回首页.oxyA(1,0)B(0,1)C(1,2)解解类型：类型：类型：类型：I I 型曲线积分型曲线积分型曲线积分型曲线积分三三1.其中，其中，.oxy14A(1,1)B(2,4)C (1,4)解解类型：类型：类型：类型：II II 型曲线积分型曲线积分型曲线积分型曲线积分三三2.方
9、法方法方法方法 I I： 直接计算直接计算直接计算直接计算. .1.也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)D解解类型：类型：类型：类型：II II 型曲线积分型曲线积分型曲线积分型曲线积分 贴补，用格林公式贴补，用格林公式贴补，用格林公式贴补，用格林公式. .1. 先先 x.三三2.方法方法方法方法 IIII：oxyz4解解类型：类型：类型：类型：I I 型曲面积分型曲面积分型曲面积分型曲面积分三三3.Dxy用平面极坐标用平面极坐标.oxyz解解类型：类型：II 型曲面积分型曲面积分三三4.S由第一卦限和第二卦限中的锥面由第一卦限和第二卦限中的锥
10、面S1和和S2构成构成.其上侧在其上侧在yOz平面的投影为平面的投影为负负；其上侧在其上侧在yOz平面的投影为平面的投影为正正.hyzohz = yDyzDyz 图形图形？.S1S2.也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：oxyz解解类型：类型：II 型曲面积分型曲面积分需贴补侧面需贴补侧面S （右侧）右侧）和半圆顶面和半圆顶面S半圆半圆（下侧）（下侧）.hhDxy 图形图形？.三三4.方法方法方法方法 II:II: 贴补，用高斯公式贴补，用高斯公式贴补，用高斯公式贴补，用高斯公式. .S S半圆半圆.2. (1) 解解方法：方法：方法：方法：21xyoL用格林公式用格林公式用格林公式用格林公式.0 t 2 C.2. (2)oxyz解解方法：方法：方法：方法：贴补，用高斯公式贴补，用高斯公式贴补，用高斯公式贴补，用高斯公式. .RSV.Dxy解解.
