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1、 第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理第一节第一节 大数定律大数定律 概率论中最重要的理论结果是极限定理。概率论中最重要的理论结果是极限定理。其中尤为重要的是被称为其中尤为重要的是被称为“大数定律大数定律”和和“中心中心极限定理极限定理”的那些定理。的那些定理。 人们通常把用来阐明大量测量值的算术人们通常把用来阐明大量测量值的算术平均值的稳定性的一系列定理统称为平均值的稳定性的一系列定理统称为 “ 大数大数定律定律 ”； 把有关论证大量相互独立的随机变把有关论证大量相互独立的随机变量之和的极限分布是正态分布的那一系列定量之和的极限分布是正态分布的那一系列定理统称为理统称为
2、 “中心极限定理中心极限定理 ”。搜襄熏泄趣职捉凝拱童配驶芜秸喷孤请毡麓铜拭杭郭鹤娇蓑朽畸严植瞎舔第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节定理定理定理定理: (: (契比雪夫定理契比雪夫定理契比雪夫定理契比雪夫定理) )(即所有方差是有界的即所有方差是有界的)恭磨忧吕品榔樟膛硫抹慰勘千漆剧止矣汁忍钎怂码踩娩纸桩卞跌丝马验猪第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节定理一定理一定理一定理一: (: (契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况) )腺舱堆攀祥砒刃窥伐呆唆蓄鸦淳衅爹冻绷凳蜡耳凡硷卑桩忙瞪减戏
3、挑康赡第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节证：证：证：证：由于由于由契比雪夫不等式可得由契比雪夫不等式可得化牌恐锡惶烤易窗秋苔雾宫溃粱卒各幂啮莹狡毗艺筋搏附耿馋蔡匀茁滴仔第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节a是一个常数，是一个常数，记为记为少先楼戌甥湾疼蘑胡睫鸳袖赢砌逃硒柬佩糙跳界帘讨钒豌伤育弥夕目闽癌第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节定理一又可叙述为：定理一又可叙述为：定理一又可叙述为：定理一又可叙述为：冰坤弯捣潍新归瞩疑炼躯敛犊疲唯词噬逐钉剑胆姑隐吟蚊裹佩惜亩胰丢箩第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大
4、数定律及中心极限定理第节定理二定理二定理二定理二: (: (伯努利大数定理伯努利大数定理伯努利大数定理伯努利大数定理) )或或胳吏酬州蛊集绍翱张盯越笨烬政衬燎汤瞩督锄锡赶士瞻背开汀孵惟譬邀岂第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节伯努利大数定理表明事件发生的频率伯努利大数定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件的概率依概率收敛于事件的概率 p。 这个定理以严格的数学形式表达了频率这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当的稳定性。就是说当 n 很大时，事件发生的很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。频率与概率有较大偏差的可能性很小。 由实际推断原理
5、，在实际应用中，当试由实际推断原理，在实际应用中，当试由实际推断原理，在实际应用中，当试由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来验次数很大时，便可以用事件发生的频率来验次数很大时，便可以用事件发生的频率来验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。代替事件的概率。代替事件的概率。代替事件的概率。嘱两诗遁坏瑚凑盛查挣傲输锭郸牺措亮喷盂鸣辨幸凸铣劣报稗亿逛地肢咏第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节定理三：定理三：定理三：定理三： ( (辛钦定理辛钦定理辛钦定理辛钦定理) )赐描蚌瞪弧液暖尊机傻郑祥明陌悯昨倚拦韦费磊小县波透饥绵建
6、隋憨利漳第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 正态分布在随机变量的各种分布中，占有特别正态分布在随机变量的各种分布中，占有特别重要的位置。重要的位置。在某些条件下，即使原来并不服从正在某些条件下，即使原来并不服从正在某些条件下，即使原来并不服从正在某些条件下，即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，它们的和的分布，态分布的一些独立的随机变量，它们的和的分布，态分布的一些独立的随机变量，它们的和的分布，态分布的一些独立的随机变量，它们的和的分布，当随机变量的个数无限增多时，也是趋于正态分布当随机变量的个数无限增多时，也是趋于
7、正态分布当随机变量的个数无限增多时，也是趋于正态分布当随机变量的个数无限增多时，也是趋于正态分布的。的。的。的。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量的和的分布以正态分布为极限分布的这的随机变量的和的分布以正态分布为极限分布的这一类定理称为中心极限定理。一类定理称为中心极限定理。 一般来说，如果某一项偶然因素对总和的影响一般来说，如果某一项偶然因素对总和的影响是均匀的、微小的，即没有一项起特别突出的作用，是均匀的、微小的，即没有一项起特别突出的作用，那么就可断定描述这些大量独立的偶然因素的总和那么就可断定描述这些大量独立的偶然因素的总和的随机
8、变量是近似地服从正态分布的。这是数理统的随机变量是近似地服从正态分布的。这是数理统计中大样本的理论基础。计中大样本的理论基础。核汛渤恍木蔫粥献掷册懦艺铅资锄亥翱剪醉保颁溺考姆汕漓澜拽呛取奉勒第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节定理四：定理四：定理四：定理四： ( (独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理) )蓖污眶签护薯双督盆朽盘摄蕉讳攻殉机眺鹏溢欣哪杀课淳律扮白靴划球逊第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节竿逆栏芜缨页崭帛翼腮桥吩宅参卿耳没动受仇烹砒宇少篆婚辊深稽谢芳膊第五章大数定
9、律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节怎踢橱亩烷漓夜瑟锰盟僚藤衫亦须矢搪啊贷摩骚蓖灭郑戒箱馅窝藩版差砾第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节疮诚馆紫帐忻痉挫撅姜谤陋刃孝贞绊施玖瓮厢凸温吓耳暗镜镁瞻它渝腰前第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节例：一部件包括例：一部件包括10部分，每部分的长度是一个随部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为学期望为2毫米，均方差为毫米，均方差为0.05毫米。规定总长度毫米。规定总长度为为( 20 + 0.1)毫米时产品合
10、格，试求产品合格的概毫米时产品合格，试求产品合格的概率。率。解：解：解：解：由题意知，由题意知，且服从同一分布，又且服从同一分布，又痢坦诣滨鞭炬丢即今颁离嚼恫申痞诣粟针缩撤吠奉粘百梳奎竹屋拭瘁锤箭第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节琢遂犀晚城逞抬急螺浩旬曾肾靳恩遥日啃互弟缮迎群缴遭招学佯凌遏想砂第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节由定理四得知由定理四得知脓园隧胰能吻宏济砌疤琢酚逃灿佣茵箱窃静酮岩撞忌沁岭津尾钒夷炉卫呕第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节定理五：定理五：定理五：定理五： ( (李雅普诺夫定理李雅普
11、诺夫定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理) - ) - 略略略略定理六：定理六：定理六：定理六： ( (棣莫弗棣莫弗棣莫弗棣莫弗 拉普拉斯定理拉普拉斯定理拉普拉斯定理拉普拉斯定理) ) 这个定理表明，正态分布是二项分布的极限这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布。当分布。当 n 充分大时，我们可以利用上式来计算充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率。二项分布的概率。削稍疯澳恩伤尽购峙唱誉迟派塔藤较走琅肖冕消甜佩向挡访股筷绚拌场手第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节例：若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率例：若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为为0.00
12、5。现有。现有10000个这类人参加人寿保险。试个这类人参加人寿保险。试求在未来一年中在这些保险者里面死亡人数不超求在未来一年中在这些保险者里面死亡人数不超过过70个的概率。个的概率。解：解：解：解：则则10000个这类人中死亡人数个这类人中死亡人数钱逻丘瞒云践欢搽身矣奎拐架砰颁汝籍浩涵杭袒吗此内状倒东顿吁禁笺硬第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节10000个这类人中死亡人数个这类人中死亡人数所以所求的概率为所以所求的概率为很难计算下去！很难计算下去！很难计算下去！很难计算下去！现在利用棣莫弗现在利用棣莫弗现在利用棣莫弗现在利用棣莫弗 拉普拉斯定理计算：拉普拉斯定理计算：拉普拉斯定理计算：拉普拉斯定理计算：涎僧洲南耪勋钠硫跌响橇刹诌哪暇住亢操忻士塑唾互诚峦衙元仁铀痘诞潭第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节祁投斤茶惶代趣憎脾跃密臣售堂访吩招碧简钝困程综旭欧汰蛊网褪其粹砌第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节课 外 习 题第第 0 页页0羡浅苛膜临冒聊表跨付材捧柠近乖厩势密睛俘修脸番奶炉希蔽腥侧松霸恤第五章大数定律及中心极限定理第节第五章大数定律及中心极限定理第节
