解排列组合问题的常用方法pwj.ppt

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1、pwj2.2.掌握解决排列组合问题的常用策略掌握解决排列组合问题的常用策略; ; 能运用解题策略解决简单的综合应用题，能运用解题策略解决简单的综合应用题，提高学生提高学生分析问题和分析问题和解决问题解决问题的能力。的能力。 3.3.学会应用学会应用数学思想和方法数学思想和方法解决排列解决排列组合问题。组合问题。教学目标教学目标1. .进一步理解和应用进一步理解和应用分步计数原理分步计数原理和和 分类计数原理分类计数原理。完成一件事，有完成一件事，有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办法类办法中有中有m m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m2 2 种不

2、同的方法，种不同的方法，在第，在第n n类办法中有类办法中有m mn n种种不同的方法，那么完成这件事共有不同的方法，那么完成这件事共有: : _种不同的方法种不同的方法复习巩固复习巩固1.1.分类计数原理分类计数原理( (加法原理加法原理) )：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2 种不同的种不同的方法，方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法，那么种不同的方法，那么完成这件事共有：完成这件事共有： _种不同的方法种不同的方法2.2.分步计数原理（乘法原理）

3、：分步计数原理（乘法原理）：分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存，每步只能，每步只能完成事件的完成事件的一个阶段，不能完成整个事件一个阶段，不能完成整个事件3.分类计数原理、分类计数原理、分步计数原理区别：分步计数原理区别：分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立，任何一种，任何一种方法都可以方法都可以独立地完成这件事独立地完成这件事。总的原则总的原则合理分类和准确分步合理分类和准确分步 解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，

4、不重不漏。明确，分步层次清楚，不重不漏。解解: 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例例1.6个同学和个同学和2个老师排成一排照相，个老师排成一排照相，2个个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？不站排尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有种方法种方法.2)若甲若甲在第在第2、3、6、7位，则位，则排尾的排法有排尾的排法有种，种，1位

5、的排法位的排法有有种种,第第2、3、6、7位的排法有位的排法有种种，根据分步计数，根据分步计数原理，不同的站法有原理，不同的站法有 种。种。再安排老师，有再安排老师，有2种方法。种方法。（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个可组成多少个 无重复数字的五位偶数？无重复数字的五位偶数？个位数为零：个位数为零：个位数为个位数为2或或4：所以所以练练习习1（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个可组成多少个 无重复数字且能被五整除的五位数？无重复数字且能被五整除的五位数？分类：分类：后两位数字为后两位数字为5或或0：个位数为个位数为0：个位数为个位数为5：（3）0，1，2，3，4，5可组成多少个可组

6、成多少个 无重复数字且大于无重复数字且大于31250的五位数？的五位数？分类：分类：（4）31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的无重复组成的无重复 数字的五位数中从小到大第几个数？数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法方法二：（直接法）解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.1.认真审题弄清要做什么事。认真审题弄清要做什么事。2.2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事, ,即采取分步还即采取分步还 是分类是分类, ,或是或是分步与分类分步与分类同时进行同时进行, ,确定分多确定分多 少步及

7、多少类。少步及多少类。3.3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题( (有序有序) )还是还是 组合组合( (无序无序) )问题问题, ,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多 少个元素。少个元素。解决排列组合综合性问题，往往解决排列组合综合性问题，往往类与步相类与步相交叉交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。，因此必须掌握一些常用的解题策略。一一. .特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？重复数字的五位奇数？ 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求

8、,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置:先排末位共有先排末位共有_ ; 然后排首位共有然后排首位共有_;最后排其它位置共有最后排其它位置共有_;由分步计数原理得由分步计数原理得=2881.1. 7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？的花盆里，问有多少不同的种法？练习题位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法用也是最基本的方法,若以元素分析为主若

9、以元素分析为主,需需先安排先安排特殊元素特殊元素,再处理其它元素再处理其它元素.若以位置分析为主若以位置分析为主,需需先先满足特殊位置满足特殊位置的要求的要求,再处理其它位置。若有多个再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。顾其它条件。2 2（0808辽宁卷辽宁卷1010）一生产过程有）一生产过程有4 4道工序，每道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等等6 6名工人中安排名工人中安排4 4人分别照看一道工序，第人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排一

10、道工序只能从甲、乙两工人中安排1 1人，第人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排四道工序只能从甲、丙两工人中安排1 1人，则人，则不同的安排方案共有（不同的安排方案共有（ ）A A2424种种 B B3636种种 C C4848种种 D D7272种种解析：依题若第一道工序由甲来完成，则第四道解析：依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有工序必由丙来完成，故完成方案共有 种；若种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有丙二人之一来完成，故完成方案共有 ( )( )；则不同的安排方案共有则

11、不同的安排方案共有: : 种。种。 二.相邻元素捆绑策略例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁其中甲乙相邻且丙丁 相邻相邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法。种不同的排法。=480解：解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行同时对相邻元素内部进行“松绑松绑”！ 1.1.某人射击某人射击8 8枪，

12、命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中枪命中恰好有恰好有3 3枪连在一起的情形的不同种枪连在一起的情形的不同种数为（数为（ ）练习题要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用可以用“捆绑法捆绑法”来解决问题来解决问题.即将需要相邻的元素合即将需要相邻的元素合并为一个元素并为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列(即要即要“松绑松绑”!)2.变变式式 （08浙浙江江卷卷17）用用1，2，3，4，5，6组组成成六六位位数数（没没有有重重复复数数字字），要要求求任任何何相相邻邻两两个个数数

13、字字的的奇奇偶偶性性不不同同，且且1和和2相相邻邻，这这样样的的六六位位数数的的个个数数是是 （用用数数字字作作答答) 。解析：本小题主要考查排列组合知识。依解析：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除题先排除1 1和和2 2的剩余的剩余4 4个元素有个元素有 种方案，再向这排好的种方案，再向这排好的4 4个元素中插入个元素中插入1 1和和2 2捆绑的整体，有种插法，捆绑的整体，有种插法，不同的安排方案共有不同的安排方案共有 种。种。三三. .不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例3 3. .一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4个个舞舞蹈蹈, ,2 2个个相相声声, ,3 3个个 独独唱唱

14、, ,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场, ,则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种？解解: :分两步进行分两步进行: :第一步排第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种种; ;第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的5 5个元素中间及首尾两个空位共有个元素中间及首尾两个空位共有_种不同的方法种不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种.相相相相独独独独独独某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目. .如果如果将这两个新节目插入原节

15、目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两个个新节目不相邻新节目不相邻，那么不同插法的种数，那么不同插法的种数为（为（ ）练习题元素元素相离问题相离问题，可先把没有位置要求的元素，可先把没有位置要求的元素进行排队，再进行排队，再把不相邻元素插入把不相邻元素插入中间和两端中间和两端.四四. .定序问题缩定序问题缩倍、倍、空位、插入等策略空位、插入等策略例例4.74.7人排队人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定，人顺序一定，共有多少不同的排法？共有多少不同的排法？解:( (缩倍法缩倍法) )对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题, ,可先把这几个元素与其他

16、元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列, ,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数, ,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是： （空位法空位法）设想有设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 . .1思考思考: :可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗? ?（插入法插入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再把再把 其余四人其余四人依次

17、依次插入共有插入共有_种种法。法。4*5*6*7=8404*5*6*7=840定序问题可以用定序问题可以用“缩缩倍倍法法”，还可转化为，还可转化为“占位插空模型占位插空模型”来处理。来处理。练习题1010人身高各不相同人身高各不相同, ,排成前后两排，每排排成前后两排，每排5 5人人, ,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五五. .重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法？多少种不同的分法？解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习

18、生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法; ;7 7把第二名实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种种分分法法; ;依此类推依此类推, ,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法。种不同的排法。1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成 节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中， 那么不同插法的种数为（ ） 422. 2. 某某8 8层大楼，在一楼时电梯上来层大楼，在一楼时电梯上来8 8名乘客名乘客, , 他们到各自所住的一层下电梯他们到各自所住的一层下电梯, ,则下电梯则下电梯的方法的方法有有（ ）种。）种。练习题六六. .多

19、排问题直排策略多排问题直排策略例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排有两排座位，前排有两排座位，前排1111个座位，后排个座位，后排

20、1212个座位，个座位，现安排现安排2 2人就座人就座, ,规定前排中间的规定前排中间的3 3个座位不能个座位不能坐，并且这坐，并且这2 2人不左右相邻，那么不同排法的人不左右相邻，那么不同排法的种数是种数是_练习题一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11七七. .排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例例8.8.有有5 5个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内, , 每盒至少装一个球每盒至少装一个球, ,共有多少种不同的共

21、有多少种不同的装法？装法？解解: :第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元素共个组成复合元素共 有有_种方法种方法. .再把再把5 5个元素个元素( (包含一个复合包含一个复合 元素元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法. .根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.此法与此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士, ,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人, ,现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任

22、务人完成四种不同的任务, ,每人每人完成一种任务完成一种任务, ,且且正、副班长有且只有正、副班长有且只有1 1人参加人参加, ,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种。种。八八. .小集团问题先整体后局部策略小集团问题先整体后局部策略例例9.9.用用1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有重复数字的五组成没有重复数字的五位数，其中位数，其中在在1,1,两两个奇数之间个奇数之间只只有有两个偶数两个偶数, ,这样的五位数有多少个？这样的五位数有多少个？解：解：把把,5当作一个小集团与排队当作一个小集团与排队共有共有_种排法种排法;再排小集团内部共有再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共

23、有种排法，由分步计数原理共有_种排法种排法.35241小集团小集团.计划展出计划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画,幅油画幅油画,幅国画幅国画, 排成一行陈列排成一行陈列,要求同一要求同一品种的画必须品种的画必须连在一起连在一起，并且水彩画不在，并且水彩画不在 两端，那么共有陈列方式的种数为两端，那么共有陈列方式的种数为_2. 5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相邻男生相邻,女女生也相邻生也相邻的排法有的排法有_种。种。小集团排列问题中，先整体后局小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。部，再结合其它策略进行处理。九.元素相同问题隔板策略

24、例例10.有有1010个运动员名额，要分给个运动员名额，要分给7 7个班，个班，每班至少一个每班至少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：解：因为因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插块隔板，在个空档中选个位置插块隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法，班级，每一种插板方法对应一种分法，故共有故共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班练习题1.1.1010个相同的球装入个相同的球装入5 5个盒中个盒中, ,每盒至少

25、每盒至少一球，有多少种装法？一球，有多少种装法？2 .x+y+z+w=1002 .x+y+z+w=100求这个方程的自然数解求这个方程的自然数解 的组数的组数将将n个相同的元素分成个相同的元素分成m份（份（n，m为正整为正整数）数）,每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用m-1块隔块隔板，插入板，插入n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1个空隙个空隙中，所有分法数为中，所有分法数为十十. .正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略例例11.从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于个数，使其和为不小于10的偶数的偶数,不同的不

26、同的 取法有多少种？取法有多少种？（1998年奥赛题年奥赛题.）解：解：这问题中如果直接求不小于这问题中如果直接求不小于10的偶数很的偶数很 困难困难,可用总体淘汰法。可用总体淘汰法。 这十个数字中有这十个数字中有5 5个偶数个偶数5 5个奇数个奇数, ,所取的三个数所取的三个数: :含有含有3 3个个偶数的取法有偶数的取法有_;_;只含有只含有1 1个偶数的取个偶数的取法有法有_,_,和为偶数的取法共和为偶数的取法共_再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶数共的偶数共_个个,符合条件的取法共有符合条件的取法共有_种种. 9 9013013015015017017024024026026035035

27、125125123123134134+我们班有我们班有4343位同学位同学, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,其中正、其中正、副班长，团支部书记，至少有一人在内的副班长，团支部书记，至少有一人在内的抽法有多少种抽法有多少种? ?练习题有些排列组合问题有些排列组合问题,正面直接考虑比较复正面直接考虑比较复杂杂,而它的而它的反面反面往往比较简捷往往比较简捷,可以先求可以先求出它的反面出它的反面,再从整体中淘汰再从整体中淘汰.十十一一. .平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书本不同的书平均分成平均分成3堆堆,每堆每堆2本，本，共有多少不同的分法？共有多少不同的分法？解解:

28、 分三步取书得分三步取书得 种方法种方法,但这里出现但这里出现 重复计数的现象重复计数的现象,不妨记不妨记6本书为本书为ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),则则 中还有中还有 (AB,EF,CD), (CD,AB,EF), (CD,EF,AB), (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法 ,而这些分法仅是而这些分法仅是 (AB,CD,EF) 一种分法一种分法,故共有故共有 种分法。种分法。1 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队, 有

29、多少分法？有多少分法？. .某校高二年级共有六个班级，现从外地转入某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为: : 平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是都是一种情况一种情况,所以所以平均平均分组分组后一定要除以后一定要除以 (n为均分的组数为均分的组数)，以避免重复计数，以避免重复计数。十二. 合理分类与分步策略例例13.13.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中5人只会唱歌，人只会唱歌

30、，2人只会跳舞，人只会跳舞，3人为人为全能演员。全能演员。现要演出一个现要演出一个2 2人唱歌人唱歌2 2人伴人伴舞舞的节目的节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ?解：以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研究：选上唱歌人员为标准进行研究：只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中有人中有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数原理，共有原理，共有_种。种。+ + +研究10名演员名

31、演员本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：* *以以3 3个全能演员是否选上个全能演员是否选上唱歌唱歌人员为标准人员为标准; ;* *以以3 3个全能演员是否选上个全能演员是否选上跳舞跳舞人员为标准人员为标准; ;* *以以只会跳舞的只会跳舞的2 2人人是否选上跳舞人员为标准是否选上跳舞人员为标准. . 都可以得到正确结果都可以得到正确结果! !解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定,要贯穿于解题过程的始终。1.1.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参加某个人参加

32、某个 座谈会，若这座谈会，若这4 4人中必须既有男生人中必须既有男生, ,又有又有 女生，则不同的选法共有女生，则不同的选法共有_ _ 练习题2.2.3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩, ,有三艘船有三艘船, ,若若1 1号船最多乘号船最多乘3 3人人, 2, 2号船最多乘号船最多乘2 2人人,3,3号船只能乘号船只能乘1 1人人, ,他他们任选们任选2 2只船或只船或3 3只船只船, ,但但小孩不能单独乘小孩不能单独乘 一只船一只船, ,则这则这3 3人共有多少种乘船方法人共有多少种乘船方法? ? 3 . 由由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成六个数字可以组成 多少个无重复且是

33、多少个无重复且是6的倍数的五位数？的倍数的五位数？分析数字特征：分析数字特征：6的倍数既是的倍数既是2的倍数又是的倍数又是3的倍数。的倍数。其中其中3的倍数又满足的倍数又满足“各个数位上的数字之和是各个数位上的数字之和是3的的倍数倍数”的特征。把的特征。把6分成分成4组，（组，（3，3），（），（6），），（1，5），（），（2，4），每组的数字和都是），每组的数字和都是3的倍数。的倍数。因此可分成两类讨论；因此可分成两类讨论；第一类：由第一类：由1，2，4，5，6作数码；首先从作数码；首先从2，4，6中任选一个作个位数字有中任选一个作个位数字有 ，然后其余四个数在，然后其余四个数在其他数位上

34、全排列有其他数位上全排列有 ，所以，所以第二类：由第二类：由1，2，3，4，5作数码。依上法有作数码。依上法有4.（天津卷16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有_种（用数字作答）432解析：数字之和为解析：数字之和为10的情况有的情况有4，4，1，1、4，3，2，1、3，3，2，2所以共有所以共有 种不同排法种不同排法5.（海南卷（海南卷9）甲、乙、丙）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一位志愿者安排在周一至周五的至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人天

35、中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ） A. 20种种B. 30种种 C. 40种种D. 60种种甲在星期一有 种安排方法，甲在星期二有 种安排方法，甲在星期三有 种安排方法，总共有 种十十三三. .等价转换、构造模型策略等价转换、构造模型策略例例14. 14. 马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯, ,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏, ,但不能关但不能关 掉

36、相邻的掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏, ,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏, ,求满足条件的关灯方法有多少种？求满足条件的关灯方法有多少种？解：解：把此问题当作一个排队模型：在把此问题当作一个排队模型：在6 6盏亮灯的盏亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3盏盏熄灯熄灯 有有_ _ 种种一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决！ 练习题练习题1.1.某排共有某排共有1010个座位个座位, ,若若4 4人就坐人就坐, ,每人左右每人左右两边都有空位两边都有空位, ,那么不同的坐法有多少种那么不同的坐法有多少种?

37、 ?等价于等价于4 4人插人插5 5空模型空模型: : 练习练习2、12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法和种数为（ ）（08安徽，12）从后排选出4人， 占位填空模型前排6个位置中的两个：十十四四. .实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例15.15.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,2 1,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球

38、的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, , 有多少投法？有多少投法？ 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种, 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒,3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有且只有号球有且只有1种装法：种装法：3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒345对于条件比较复杂的排列组合问题，不对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用易用公式进行运算，往往利用穷举法穷举法或或画出树状图画出树状图会收到意想不到的

39、结果！会收到意想不到的结果！同理同理3 3号球装号球装5 5号盒时，号盒时，4,54,5号球有也只有种号球有也只有种装法装法, ,由分步计数原理有种投法。由分步计数原理有种投法。练习题1.1. 同一寝室同一寝室4 4人人, ,每人写一张贺年卡集中起每人写一张贺年卡集中起 来来, ,然后每人各拿一张别人然后每人各拿一张别人写写的贺年卡，的贺年卡， 则四张贺年卡不同的分配方式有多少种则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？92.2.给图中区域涂色给图中区域涂色, ,要求相邻区要求相邻区 域不同色域不同色, ,现有现有4 4种可选颜色种可选颜色, ,则则 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种. . 2

40、13457272十十五五. 分解与合成策略分解与合成策略例例16. 3003016. 30030能被多少个不同的正偶数整除能被多少个不同的正偶数整除. .分析：分析：先把先把3003030030分解成质因数的乘积形式分解成质因数的乘积形式: : 30030=235 7 1113, 30030=235 7 1113,依题依题 意可知意可知正正偶因数必先取偶因数必先取2,2,再从其余再从其余5 5个因数中任取若干个组成乘积，所有个因数中任取若干个组成乘积，所有 的的正正偶因数为：偶因数为：思考思考:已知圆上有已知圆上有12个不同的点，过个不同的点，过每两个点每两个点作一条直线，作一条直线， 那么所

41、有这些直线在已知圆内的交点个数为（那么所有这些直线在已知圆内的交点个数为（ ）B解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 面体共有_个;每个四面体有_对异面直线,正方体中的8个顶点可连成_对异面直线。3 3358=174分分 解解 与与 合合 成成策策 略略 是是 排排 列列 组组 合合 问问 题题 的的 一一 种种 最最基基 本本 的的 解解 题题 策策 略略, ,把把 一一 个个 复复 杂杂 问问 题题 分分 解解 成成 几几个个 小小 问问 题题 逐逐 一一 解解 决决, ,然然 后后 依依 据据 问问 题题 分分 解解 后后 的的结结 构构, ,用用 分分 类类 计计 数数 原原 理理

42、 和和 分分 步步 计计 数数 原原 理理 将将 问问题题 合合 成成, ,从从 而而 得得 到到 问问 题题 的的 答答 案案 , ,每每 个个比比 较较 复复杂杂的的问问题题都都要要用用到到这这种种解解题题策策略略. .例17.正方体8个顶点可连成多少对异面直线？十十六六.化归策略化归策略例例18. 2518. 25人排成人排成5555方队方队, ,现从中选现从中选3 3人人, ,要要 求求3 3人人中任何两人中任何两人不在同一行也不在同一不在同一行也不在同一 列列, ,不同的不同的 选法有多少种？选法有多少种？解：将这个问题退化成将这个问题退化成9 9人排成人排成3333方队方队, ,现

43、从中现从中选选3 3人人, ,要求要求3 3人不在同一行也不在同一列人不在同一行也不在同一列, ,有有多少选法？若从其中的一行中任选多少选法？若从其中的一行中任选1 1人后人后, ,把把这人所在的行和列都划掉：这人所在的行和列都划掉：从从5555方队中选取方队中选取3 3行行3 3列有列有_种选法，种选法，所以从所以从5555方队选不在同一行也不在同方队选不在同一行也不在同一列的一列的3 3人有人有_种种选法。选法。如此继续下去如此继续下去. .从从3333方队中选方队中选3 3人的方法人的方法有有_种。再从种。再从5555方队选出方队选出3333方队便可解决问题；方队便可解决问题；总结:方阵

44、方阵选选n人人则有则有：（）：（）（）（）！种不同的方法。种不同的方法。 处理复杂的排列组合问题时，处理复杂的排列组合问题时，可以把这个问题退化成一个简单可以把这个问题退化成一个简单的问题的问题，通过这个简单的问题的，通过这个简单的问题的解决来找到解题方法，从而进一解决来找到解题方法，从而进一步解决原来的问题，这种方法叫步解决原来的问题，这种方法叫做做“化归策略化归策略”。某城市的街区由某城市的街区由1212个全等的矩形区组成，个全等的矩形区组成，其中实线表示马路，则从其中实线表示马路，则从A A走到走到B B的的最短最短路径有多少种？路径有多少种？练习题练习题B BA AC C 小结 本节课

45、，我们对有关排列组合的几种常见的本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件掌握。根据它们的条件, ,我们就可以选取不同我们就可以选取不同的技巧来解决问题的技巧来解决问题. .对于一些比较复杂的问题对于一些比较复杂的问题, ,我们可以我们可以将几种策略结合起来应用，把复杂将几种策略结合起来应用，把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而进而为后续学习打下坚实的基础。为后续学习打下坚实的基础。