《2020春八年级数学下册 第19章 全等三角形 19.4逆命题与逆定理 4线段的垂直平分线习题课件 华东师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020春八年级数学下册 第19章 全等三角形 19.4逆命题与逆定理 4线段的垂直平分线习题课件 华东师大版（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.线段的垂直平分线1.1.线段的垂直平分线线段的垂直平分线(1)(1)性质定理性质定理定理描述定理描述: :线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的_._.几何语言几何语言: :如图如图,MNAB,MNAB,垂足为点垂足为点C,AC=BC,_.C,AC=BC,_.距离相等距离相等PA=PBPA=PB(2)(2)判定定理判定定理定理描述定理描述: :到一条线段的两个到一条线段的两个_的的_相等的点相等的点, ,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. .几何语言几何语言: :如图如图,QA=QB,QA=QB,点点Q Q在在ABAB的垂直
2、平分线上的垂直平分线上. .端点端点距离距离【归纳归纳】线段的垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理线段的垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理. .2.2.三角形三边垂直平分线的性质定理三角形三边垂直平分线的性质定理(1)(1)定理描述定理描述: :三角形三条边的垂直平分线相交于三角形三条边的垂直平分线相交于_,_,并且该并且该点到三个顶点的点到三个顶点的_._.(2)(2)几何语言几何语言: :如图如图,直线直线l，m m，n n分别是三角形三边的垂直平分别是三角形三边的垂直平分线分线,OA=OB=OC.,OA=OB=OC.一点一点距离相等距离相等【点拨点拨】三角形三条边的垂直平分线的
3、交点和三角形三内角平三角形三条边的垂直平分线的交点和三角形三内角平分线的交点不同分线的交点不同. .【预习思考预习思考】1.1.一条线段及线段的垂直平分线是轴对称图形吗一条线段及线段的垂直平分线是轴对称图形吗? ?提示：提示：是是. .2.2.是否存在一种三角形是否存在一种三角形, ,有一点到三角形各边的距离和到三角有一点到三角形各边的距离和到三角形各顶点的距离都相等形各顶点的距离都相等? ?提示：提示：等边三角形内有一点到三角形各边的距离和到三角形各等边三角形内有一点到三角形各边的距离和到三角形各顶点的距离都相等顶点的距离都相等. . 线段垂直平分线的性质和判定的应用线段垂直平分线的性质和判
4、定的应用【例例1 1】如图如图, ,点点B B，C C在在SATSAT的两边上的两边上, ,且且AB=AC.AB=AC.(1)(1)请按下列语句用尺规画出图形请按下列语句用尺规画出图形( (不写画法不写画法, ,保留作图痕迹保留作图痕迹).).ANBC,ANBC,垂足为垂足为N N；SBCSBC的平分线交的平分线交ANAN延长线于延长线于M M；连结连结CM.CM.(2)(2)该图中有该图中有_对全等三角形对全等三角形. .【解题探究解题探究】1.(1)1.(1)根据已知条件根据已知条件,ABC,ABC是什么三是什么三角形角形? ?过过A A点作的点作的BCBC的垂线有什么特点的垂线有什么特点
5、? ?答答: :AB=AC,ABCAB=AC,ABC是等腰三角形是等腰三角形, ,根根据等腰三角形的三线合一据等腰三角形的三线合一, , 过过A A点作的点作的BCBC的垂线是线段的垂线是线段BCBC的垂直的垂直平分线平分线. .(2)SBC(2)SBC的平分线交的平分线交ANAN延长线的交点延长线的交点M M有什么特点有什么特点? ?答答: :因为点因为点M M既在线段既在线段BCBC的垂直平分线上的垂直平分线上, ,又在又在SBCSBC的平分线上的平分线上, ,所以点所以点M M到到B B，C C两点的距离相等两点的距离相等, ,到直线到直线ASAS，BCBC，ATAT的距离相等的距离相等
6、. .2.(1)2.(1)连结连结CMCM后后,BMC,BMC是什么三角形是什么三角形? ?答答: :BMCBMC是等腰三角形是等腰三角形. .(2)(2)寻找图中全等三角形寻找图中全等三角形, ,说出全等的依据说出全等的依据: :答答: :ABNACN(H.L.)ABNACN(H.L.)；MBNMCN(H.L.)MBNMCN(H.L.)；ABMACM(S.A.S.)ABMACM(S.A.S.). .(3)(3)答案：答案：3 3【规律总结规律总结】线段垂直平分线口诀线段垂直平分线口诀遇见垂直平分线遇见垂直平分线, ,引向两端把线连；引向两端把线连；两条连线定相等两条连线定相等, ,一般思路要
7、记清一般思路要记清. .要证线段倍与半，延长缩短可试验要证线段倍与半，延长缩短可试验. .【跟踪训练跟踪训练】1.1.如图如图, ,在在ABCABC中中,BC=8 cm,AB,BC=8 cm,AB的垂直的垂直平分线交平分线交ABAB于点于点D,D,交交ACAC于点于点E,EBCE,EBC的的周长等于周长等于18 cm,18 cm,则则ACAC的长等于的长等于( )( )(A)6 cm (B)8 cm(A)6 cm (B)8 cm(C)10 cm (D)12 cm(C)10 cm (D)12 cm【解析解析】选选C.C.因为因为DEDE是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线, ,所以所以EA=EB
8、.EA=EB.所以所以AC=AE+EC=EB+EC.AC=AE+EC=EB+EC.又因为又因为EB+EC+BC=18,BC=8,EB+EC+BC=18,BC=8,所以所以EB+EC=EB+EC=18-8=1018-8=10，即，即AC=10.AC=10.故应选故应选C.C.2.2.如图如图,AC=AD,BC=BD,AB,AC=AD,BC=BD,AB与与CDCD相交于相交于O O，则则ABAB与与CDCD的关系是的关系是_._.【解析解析】因为因为AC=AD,BC=BD,AC=AD,BC=BD,所以所以,AB,AB是线段是线段CDCD的垂直平分线的垂直平分线, ,即即ABAB垂直平分垂直平分CD
9、.CD.答案：答案：ABAB垂直平分垂直平分CDCD3.ABC3.ABC中中,ABC=80, BAC=40,ABC=80, BAC=40,ABAB的垂直平分线分别与的垂直平分线分别与ACAC，ABAB交于点交于点D D，E.E.用圆规和直尺在图中作出用圆规和直尺在图中作出ABAB的的垂直平分线垂直平分线DE.DE.【解析解析】如图所示如图所示: : 线段垂直平分线的性质和判定的实际应用线段垂直平分线的性质和判定的实际应用【例例2 2】(6(6分分) )为进一步打造为进一步打造“宜居重庆宜居重庆”, ,某区拟在新竣工的矩某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉形广场的内部修建一个音乐喷泉,
10、 ,要求音乐喷泉要求音乐喷泉M M到广场的两个到广场的两个入口入口A A，B B的距离相等的距离相等, ,且到广场管理处且到广场管理处C C的距离等于的距离等于A A和和B B之间距之间距离的一半离的一半,A,A，B B，C C的位置如图所示的位置如图所示. .请在请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M M的位置的位置.(.(要求要求: :不写已知、求作、作法和不写已知、求作、作法和结论结论, ,保留作图痕迹保留作图痕迹, ,必须用铅笔作图必须用铅笔作图).).【规范解答规范解答】如图所示如图所示: :(1)(1)连结连结AB AB 1 1分分(2)(2)作
11、出作出ABAB的垂直平分线的垂直平分线 3 3分分(3)(3)找出找出M M点的位置点的位置5 5分分(4)(4)标出字母标出字母M M 6 6分分特别提醒特别提醒: :作作M M点时要以点时要以C C为圆心为圆心,AB,AB的一半为半径的一半为半径画弧交画弧交ABAB的垂直平分线的垂直平分线于于M.M.【规律总结规律总结】线段垂直平分线性质及判定的应用线段垂直平分线性质及判定的应用(1)(1)线段的垂直平分线是证明线段相等的重要依据之一，在应用线段的垂直平分线是证明线段相等的重要依据之一，在应用时要注意分清条件与结论，防止混淆时要注意分清条件与结论，防止混淆. .(2)(2)线段垂直平分线的
12、图形结构中含有全等三角形，但在应用线段垂直平分线的图形结构中含有全等三角形，但在应用时，一般情况下不用三角形全等的方法来解决，以免给解题增加时，一般情况下不用三角形全等的方法来解决，以免给解题增加麻烦麻烦. .【跟踪训练跟踪训练】4.4.如图如图,A,A，B B，C C三个居民小区的位置三个居民小区的位置成三角形成三角形, ,现决定在三个小区之间修建现决定在三个小区之间修建一个购物超市一个购物超市, ,使超市到三个小区的距使超市到三个小区的距离相等离相等, ,则超市应建在则超市应建在( )( )(A)(A)在在ACAC，BCBC两边高线的交点处两边高线的交点处(B)(B)在在ACAC，BCBC
13、两边中线的交点处两边中线的交点处(C)(C)在在ACAC，BCBC两边垂直平分线的交点处两边垂直平分线的交点处(D)(D)在在A A，B B两内角平分线的交点处两内角平分线的交点处【解析解析】选选C.C.要使超市到三个小区的距离相等要使超市到三个小区的距离相等, ,即超市的位置在即超市的位置在以以A A，B B，C C三个居民小区的位置成三角形的三边垂直平分线上三个居民小区的位置成三角形的三边垂直平分线上, ,又因为三角形三边垂直平分线交于一点又因为三角形三边垂直平分线交于一点, ,所以选项所以选项C C正确正确. .5.5.如图如图,ABC,ABC中中,DE,DE垂直平分垂直平分AC,AC,
14、与与ACAC交于点交于点E,E,与与BCBC交于点交于点D,D,C=15,BAD=60,C=15,BAD=60,则则ABCABC是是_三角形三角形. . 【解析解析】因为因为DEDE垂直平分垂直平分AC,AC,即即DA=DC,DA=DC,所以所以DAC=C=15DAC=C=15, ,ADB=15ADB=15+15+15=30=30. .又因为又因为BAD=60BAD=60，所以，所以B=180B=180- -BAD-ADB=90BAD-ADB=90, ,即即ABCABC是直角三角形是直角三角形. .答案：答案：直角直角6.6.如图如图, ,八年级八年级(1)(1)班与八年级班与八年级(2)(2
15、)班这两个班的学生分别在班这两个班的学生分别在M M，N N两处参加劳动两处参加劳动, ,现要在道路现要在道路ABAB，ACAC的交叉区域内设一个茶水供应的交叉区域内设一个茶水供应点点P,P,使使P P到两条道路的距离相等到两条道路的距离相等, ,且使且使PM=PN,PM=PN,你能找出符合条件你能找出符合条件的点的点P,P,并简要说明理由吗并简要说明理由吗? ?【解析解析】作作BACBAC的角平分线的角平分线AD,AD,作线段作线段MNMN的垂直平分线的垂直平分线EF,ADEF,AD与与EFEF交于点交于点P,P,如图所示如图所示: :ADAD平分平分BAC,BAC,点点P P到两条道路到两
16、条道路ABAB，ACAC的距离相等的距离相等, ,又又点点P P在线段在线段MNMN的中垂线上的中垂线上,PM=PN.,PM=PN.1.1.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上, ,那么这那么这个三角形是个三角形是( )( )(A)(A)锐角三角形锐角三角形 (B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)钝角三角形钝角三角形 (D)(D)不能确定不能确定【解析解析】选选B.B.假设假设ABAB上的点上的点D D是两边是两边的垂直平分线的交点的垂直平分线的交点, ,那么那么DA=DC,DA=DC,DB=DC,DB=DC,即即A=DCA,B=D
17、CB,A=DCA,B=DCB,因为因为A+DCA+B+DCB=180A+DCA+B+DCB=180, ,所以所以DCA+DCB=ACB=90DCA+DCB=ACB=90, ,所以所以, ,ABCABC为直角三角形为直角三角形. .2.2.如图是一张直角三角形的纸片，直角边如图是一张直角三角形的纸片，直角边AC=6 cmAC=6 cm，BC=8 cmBC=8 cm，现将现将ABCABC折叠，使点折叠，使点B B与点与点A A重合，折痕为重合，折痕为DEDE，则，则BEBE的长为的长为( )( )(A)4 cm (B)5 cm (C)6 cm (D)10 cm(A)4 cm (B)5 cm (C)
18、6 cm (D)10 cm【解析解析】选选B.B.由勾股定理由勾股定理ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2=6=62 2+8+82 2=100=100，得，得AB=AB=10 cm10 cm，由题意知，由题意知3.3.如图如图,ABC,ABC中中,C=90,DE,C=90,DE是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线, ,且且BADCAD=41,BADCAD=41,则则B=_.B=_.【解析解析】因为因为DEDE是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线, ,所以所以B=DAB.B=DAB.由由C=90C=90, ,得得B+BAC=90B+BAC=90. .根据根据BADCAD=41,BA
19、DCAD=41,设设DAC=xDAC=x, ,则则x+4x+4x=90,x+4x+4x=90,解得解得x=10,x=10,即即B=40B=40. .答案：答案：40404.4.如图如图,AB=AD,BC=CD,AC,AB=AD,BC=CD,AC，BDBD相交于点相交于点E.E.由这些条件可以得出由这些条件可以得出若干结论若干结论, ,请你写出其中三个正确结论请你写出其中三个正确结论_(_(不不要添加字母和辅助线要添加字母和辅助线, ,不要求证明不要求证明).).【解析解析】因为因为AB=AD,BC=CD,AB=AD,BC=CD,所以所以ACAC是线段是线段BDBD的垂直平分线的垂直平分线, ,
20、即即ACBD,ABDACBD,ABD是等腰三角形是等腰三角形,AC,AC平分平分BAD,ADCABC.BAD,ADCABC.答案：答案：ACBD,ABDACBD,ABD是等腰三角形是等腰三角形,AC,AC平分平分BAD,BAD,ADCABC(ADCABC(答案不唯一答案不唯一) )5.5.如图如图, ,已知线段已知线段AB,AB,分别以分别以A,BA,B为圆心为圆心, ,大于大于 长为半径画长为半径画弧弧, ,两弧相交于点两弧相交于点C C，Q,Q,连结连结CQCQ与与ABAB相交于点相交于点D,D,连结连结AC,BC.AC,BC.那么那么: :(1)ADC=_(1)ADC=_度；度；(2)(2)当线段当线段AB=4,ACB=60AB=4,ACB=60时时, ,求求ABCABC的面积的面积. .【解析解析】(1)(1)根据题意根据题意, ,得得QCQC是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，ADC=90ADC=90. .(2)AC=BC,ACB=60(2)AC=BC,ACB=60, ,ABCABC是等边三角形是等边三角形.CDAB,.CDAB,根据勾股定理根据勾股定理, ,得得
