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1、概率论与数理统计1第二章条件概率与独立性21 条件概率 乘法定理3(一) 条件概率 条件概率是概率论中的一个重要概念, 所考虑的是事件A已发生的条件下, 事件B发生的概率.例1 将一枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面的情况. 设事件A为“至少有一次为H”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在求已知事件A已经发生条件下事件B发生的概率.解：样本空间为S=(HH,HT,TH,TT, A=HH,HT,TH, B=HH,TT. 已知事件A已发生, 知道TT不可能发生.4即知试验所有可能结果所成的集合就是A, A中共有3个元素, 其中只有HHB. 于是, 在A发生的条件下B发生的概率,记为P(B|A),
2、为另外, 易知故有(5.1)5对于一般古典概型问题, 若仍以P(B|A)记事件A已经发生的条件下B发生的概率, 则关系式(5.1)仍然成立. 事实上, 设试验的基本事件总数为n, A所包含的基本事件数为m(m0), AB所包含的基本事件数为k, 即有6定义 设A,B是两个事件, 且P(A)0, 称为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率.不难验证, 条件概率P(|A)符合概率定义中的三个条件, 即1,非负性: 对任一事件B, 有P(B|A)02, 规范性: 对于必然事件S, 有P(S|A)=1;3, 可列可加性: 设B1,B2,.,是两两互斥事件,7既然条件概率符合上述三个条件, 故3中对概率
3、所证明的一些重要结果都适用于条件概率. 例如, 对于任意事件B1,B2有 P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A).例2 一盒子装有4只产品, 其中有3只一等品, 1只二等品, 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为第一次取到的是一等品, 事件B为第二次取到的是一等品. 试求条件概率P(B|A).8解 易知此属古典概型问题. 将产品编号, 1,2,3号为一等品; 4号为二等品. 以(i,j)表示第一次, 第二次分别取到第i号,第j号产品. 试验E(取产品两次, 记录其号码)的样本空间为S=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,
4、3),(2,4),.,(4,1), (4,2), (4,3), 共12个基本事件组成,A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4), 共9个基本事件组成,AB=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2).共6个基本事件组成.9按(5.2)式, 得条件概率也可以直接按条件概率的含义来求P(B|A). 我们知道, 当A发生以后, 试验E所有可能结果的集合就是A, A中有9个元素, 其中只有(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)属于B, 故可得10另解1：不写出样
5、本空间S所包含的元素11另解2已知在第一次取到的是一等品的情况下，产品的总数剩下3只，其中一等品2只。故所求的概率为：12(二)乘法定理 由条件概率的定义(5.2)可得乘法定理 设P(A)0, 则有P(AB)=P(A)P(B|A)(5.3)上式容易推广到多个事件的积事件的情况. 例如, 设A,B,C为事件, 且P(AB)0, 则有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4)一般地, 设A1,A2,.,An为n个事件, n2, 且P(A1A2.An-1)0, 则有P(A1A2.An)=P(A1)P(A2|A1). P(An-1|A1A2.An-2)P(An|A1A2.An-1)
6、(5.5)13例3 设袋中装有r只红球, t只白球. 每次自袋中任取一只球, 观察其颜色后放回, 并再放入a只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次, 试求第一,二次取到红球且第三,四次取到白球的概率.解 以Ai(i=1,2,3,4)表示事件第i次取到红球,14例4 某种透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下来未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.解 以Ai(i=1,2,3)表示事件透镜第i次落下打破, 以B表示事件透镜落下三次而未打破, 则15补充例题： 10个考签中有4个
7、难签。3人参加抽签（不放回）；甲先、乙次、丙最后。求下列事件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲乙都抽到难签；（3）甲没抽到难签而乙抽到难签；（4）甲乙丙都抽到难签；（5）乙抽到难签；（6）丙抽到难签。16解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签1718192 全概率公式 贝叶斯公式20定义 设S为试验E的样本空间, B1,B2,.,Bn为E的一组事件, 若(1) BiBj=f, ij, i,j=1,2,.,n;(2) B1B2.Bn=S,则称B1,B2,.,Bn为样本空间的一个划分.或称B1,B2,.,Bn构成一个完备事件组. 若B1,B2,.,Bn是样本空间的一个划分, 那么,对于每次试
8、验, 事件B1,B2,.,Bn中必有一个且仅有一个发生.21划分的图示B1B2B3SB4B522定理 设试验E的样本空间为S, A为E的事件, B1,B2,.,Bn为S的一个划分, 且P(Bi)0(i=1,2,.,n), 则(5.6)式称为全概率公式全概率公式.23证 因为A=AS=A(B1B2.Bn)=AB1AB2.ABn,由假设P(Bi)0(i=1,2,.,n),且(ABi)(ABj)=f,ij,i,j=1,2,.,n得到P(A)=P(AB1)+P(AB2)+.+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+.+P(A|Bn)P(Bn).24定理 设试验E的样本空间为S
9、. A为E的事件, B1,B2,.,Bn为S的一个划分, 且P(A)0, P(Bi)0 (i=1,2,.,n), 则下面的贝叶斯公式成立:证 由条件概率的定义及全概率公式得25特别在(5.6), (5.7)中取n=2, 并将B1记为B,此时这两个公式是常用的.26例5 某电子设备厂所用元件由三家元件厂供给, 根据以往纪录有以下数据:元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别标志.(1)在仓库中任取一只元件, 求它是次品的概率; (2)如已取到一只次品, 求它由各厂生产的概率分别是多少.27解 设A表示“取到次品”, B
10、i表示“产品来自第i家工厂提供”, 则B1,B2,B3构成样本空间的一个划分, P(B1)=0.15, P(B2)=0.8, P(B3)=0.05, P(A|B1)=0.02, P(A|B2)=0.01, P(A|B3)=0.03.(1)由全概率公式P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.0125.(2)由贝叶斯公式28例6 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95. 试求已知某日早上第一件产品是合格品时, 机器调整良好的
11、概率是多少?解 设A为事件产品合格,B为机器调整良好29这就是说, 当生产出第一件产品是合格品时, 此时机器调整良好的概率为0.97. 这里, 概率0.95是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率. 而在得到信息(即生产出第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做后验概率. 有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解.3031本题结果表明, 虽然这两个概率都比较高, 但若将此试验用于普查, 则有P(C|A)=0.087, 亦即其正确性只有8.7%(平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症), 如果不注意到这一点, 将会得出错误的诊断, 这也说明, 若将P
12、(A|C)和P(C|A)混淆了会造成不良的后果.32补充例题: 有12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后放回去,求第三次比赛时取到的3个都是新球的概率. 336 独立性34设A,B是试验E的两事件, 若P(A)0, 可以定义P(B|A). 一般, A的发生对B发生的概率是有影响的, 这时P(B|A)P(B), 只有在这种影响不存在时才会有P(B|A)=P(B), 这时有P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)35例1 设试验E为抛甲,乙两枚硬币, 观察正反面出现的情况. 设事件A为甲币出现H, 事件B为乙币出现H. E的样本空间为S=HH,HT,TH,TT, A=HH,HT,
13、 B=HH,THAB=HH. 则有可知P(B|A)=P(B), 而P(AB)=P(A)P(B). 事实上, 由题意, 甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的.36定义 设A,B是两事件, 如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),(6.1)则称事件A,B相互独立, 简称A,B独立.容易知道, 若P(A)0,P(B)0则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立.定理一 设A,B是两事件, 且P(A)0, 若A,B相互独立, 则P(B|A)=P(B)反之亦然.3738定义 设A,B,C是三个事件, 如果满足等式则称事件A,B,C相互独立.一般, 设A1,A2,.,An(n2)个事件, 如
14、果对于其中任意2个, 任意3个, ., 任意n个事件的积事件的概率, 都等于各事件概率之积, 则称事件A1,A2,.,An相互独立.39由定义可以得到以下两点推论.1,若事件A1,A2,.,An(n2)相互独立, 则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立的.2,若n个事件A1,A2,.,An(n2)相互独立, 则将A1,A2,.,An中任意多个换成它们的对立事件, 所得的n个事件仍相互独立.40两事件相互独立的含义是:它们中一个已发生, 不影响另一个发生的概率. 在实际应用中, 对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断.一般, 若由实际情况分析, A,B两事件之间没有关联或关联很微弱,
15、那就认为它们是相互独立的. 例如, A,B分别表示甲乙两人患感冒. 如果甲乙两人的活动范围相距甚远, 就认为A,B相互独立, 若甲乙两人是同住在一个房间里的, 那就不能认为A,B相互独立了.41例2 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性. 如图, 设有4个独立工作的元件1,2,3,4按先串联再并联的方式联接. 设第i个元件的可靠性为pi(i=1,2,3,4), 求系统的可靠性.123442解 以Ai(i=1,2,3,4)表示事件第i个元件正常工作, 以A表示系统正常工作.A=A1A2A3A4由系统的独立性, 得系统的可靠性:P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(
16、A1A2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)- P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =p1p2+p3p4-p1p2p3p443例3 要验收一批(100件)乐器, 验收方案如下: 自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的), 如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯, 则这批乐器就被拒绝接收. 设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95, 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01. 如果已知这100件乐器中恰有4件音色不纯的. 试问这批乐器被接收的概率是多少?44解 设以Hi(i=0,1,2,3)表示事件随机地取出3件乐器
17、, 其中恰有i件音色不纯, H0, H1, H2, H3是S的一个划分, 以A表示事件这批乐器被接收. 已知一件音色纯的乐器, 经测试被认为音色纯的概率为0.99, 而一件音色不纯的乐器, 经测试被误认为音色纯的概率为0.05, 并且3件乐器的测试是相互独立的, 于是有 P(A|H0)=(0.99)3, P(A|H1)=(0.99)20.05, P(A|H2)=0.99(0.05)2, P(A|H3)=(0.05)3,4546例4 甲乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p, p1/2. 问对甲而言, 采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立.解 采用三局二胜制, 甲最终获胜, 其胜局的情况是:甲甲或乙甲甲或甲乙甲. 而这三种结局互不相容, 于是由独立性得甲最终获胜的概率为p1=p2+2p2(1-p).47采用五局三胜制, 甲最终获胜, 至少需比赛3局(可能赛3,4,5局), 最后一局必需是甲胜, 前面甲需胜二局. 例如, 共赛4局, 可能的情况是:甲乙甲甲,乙甲甲甲,甲甲乙甲,且这三种结局互不相容, 由独立性得甲获胜的概率为而 p2-p1=3p2(p-1)2(2p-1)当p(1/2)时p2p1;故对甲来说采用五局三胜制为有利.48作业 第一章 习题 第33页开始第17,19,28题49请提问50
