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1、第5章连续时间信号与系统的复频域分析Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望利用拉普拉斯变换可以将系统在时域利用拉普拉斯变换可以将系统在时域内的微分与积分的运算转换为乘法与除法内的微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算量大大减少。利用拉氏变换还从而使计算量大大减少。利用拉氏变换还可以将时域中两个信号的卷积运算转换为可以将时域中两个信号的卷积运算转换为s域中的乘法运算。在此基础上建立了线性域中的乘法
2、运算。在此基础上建立了线性时不变电路时不变电路s域分析的运算法，为线性系统域分析的运算法，为线性系统的分析提供了便利。同时还引出了系统函的分析提供了便利。同时还引出了系统函数的概念。数的概念。5.1连续时间信号的拉普拉斯信号的拉普拉斯变换5.1.1拉普拉斯拉普拉斯变换的定的定义1.双双边拉普拉斯拉普拉斯变换2.单边拉普拉斯拉普拉斯变换5.1.2常用信号的拉氏常用信号的拉氏变换及收及收敛域域1.常用信号的拉氏常用信号的拉氏变换（1）阶跃函数函数（2）单位冲激信号位冲激信号（3）指数函数）指数函数2.单边拉氏拉氏变换的收的收敛域域如图如图5.1所示的复平面称为所示的复平面称为s平面，水平平面，水平
3、轴称为轴称为轴，垂直轴称为轴，垂直轴称为j轴，轴，=0称为收称为收敛坐标，通过敛坐标，通过=0的垂直线是收敛域的边的垂直线是收敛域的边界称为收敛轴。对于单边拉氏变换，其收界称为收敛轴。对于单边拉氏变换，其收敛域位于收敛轴的右边。敛域位于收敛轴的右边。图5.1单边拉普拉斯变换的收敛域 5.2拉普拉斯拉普拉斯变换的基本性的基本性质在在本本节中中，将将看看到到，在在掌掌握握了了拉拉氏氏变换的的基基本本性性质和和定定理理之之后后，可可以以方便求得信号的拉氏方便求得信号的拉氏变换。5.2.1 线性性5.2.2 时移特性移特性5.2.3 s域平移特性域平移特性5.2.4 尺度尺度变换5.2.5 时域微分域
4、微分5.2.6 时域域积分分5.2.7 时域卷域卷积定理定理5.3拉普拉斯逆拉普拉斯逆变换在在用用拉拉普普拉拉斯斯变换的的方方法法分分析析电路路问题时，一一般般来来讲它它包包括括三三个个步步骤：首首先先对微微分分方方程程进行行拉拉氏氏变换成成为代代数数方方程程，然然后后解解此此代代数数方方程程得得到到所所求求未未知知函函数数的的拉拉氏氏变换F(s)，最后求，最后求F(s)的逆的逆变换。5.3.1直接直接计算法算法逆拉普拉斯变换是从逆拉普拉斯变换是从s域函数求出对应域函数求出对应的时域函数。的时域函数。5.3.2 部分分式展开法部分分式展开法如如果果能能把把X(s)展展开开为一一些些逆逆变换已已
5、知知的的函数的和，如函数的和，如X(s)=X1(s)+X2(s)+X3(s)则根据根据线性性性性质，X(s)的逆的逆变换为x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)这种求解逆种求解逆变换的方法称的方法称为部分分式展开法。部分分式展开法。1.极点极点为实数，无重根数，无重根2.极点极点为共共轭复数复数3.具有多重极点具有多重极点5.4应用拉普拉斯用拉普拉斯变换分析分析线性性电路路拉拉普普拉拉斯斯变换在在线性性电路路的的分分析析与与设计中中占占有有相相当当重重要要的的地地位位，利利用用拉拉普普拉拉斯斯变换方方法法分分析析电路路称称为电路路的的复复频域域分分析析或或s域域分分析析。电路路的的某某些
6、些特特性性在在s域域中中分分析析较为方方便便。当当电路路中中含含有有冲冲激激电压或或电流流时，用用拉拉普普拉拉斯斯变换法法分分析析要要比比时域域分分析析方方便便。由由于于s域域电路路方方程程为代代数数方方程程，因因而而电路路设计常常常常在在s域域中中进行行。此此外外，电路路的的频率率响响应特特性性也也常常常常借借助助于于s域域函函数数进行行分分析。析。5.4.1 应用用拉拉普普拉拉斯斯变换求求解解微微分分方方程程当当电路路或或系系统的的输入入输出出微微分分方方程程已已知知时，可可直直接接对微微分分方方程程应用用单边拉拉普普拉拉斯斯变换，利利用用时域域微微分分性性质求求出出s域域输出出Y(s)，
7、对其取逆其取逆变换得到得到时域解域解y(t)。从从该例例可可看看出出，用用拉拉普普拉拉斯斯变换法法求求解解微微分分方方程程不不需需要要专门求求解解t=0+时刻刻的的输出出及及其其导数数，并并且且可可直直接接得得到到全全响响应。通通过上上例例可可以以看看到到，利利用用拉拉普普拉拉斯斯变换可可以以避避开开烦琐的的求求解解微微分分方方程程的的过程程。特特别是是对于于高高阶微微分分方方程程，拉拉氏氏变换法法可可以以使使计算量大大减小。算量大大减小。5.4.2 电路元件的复路元件的复频域模型域模型对于于比比较复复杂的的网网络（支支路路或或结点点较多多），列列写写微微分分方方程程本本身身也也是是一一件件烦
8、琐的的事事情情。对于于线性性时不不变电路路，可可不不必必列列写写微微分分方方程程，直直接接把把时域域的的电路路模模型型转换为s域域电路路模模型型，在在s域域内内写写出出电路路的的代代数数方方程程形式，然后形式，然后进行求解。行求解。1.电路元件的路元件的s域串域串联模型模型图5.3 元件s域模型（串联形式） 2.电路元件的路元件的s域并域并联模型模型图5.4 元件的s域模型（并联模式） 把把电路路中中的的每每个个元元件件都都用用它它的的s域域模模型型来来代代替替，将将信信号号用用其其变换式式代代替替，于于是是就就得得到到该电路路的的s域域模模型型图。对此此模模型型利利用用KVL和和KCL分分析
9、析可可以以得得到到所所需需求求解解的的变换式式，这样就用代数运算代替了求解微分方程。就用代数运算代替了求解微分方程。5.4.3 线性性电路的复路的复频域分析域分析使使用用复复频域域分分析析法法分分析析线性性电路路的的过程程为：（1）求求解解电容容的的初初始始电压和和电感感的的初初始始电流流；（2）给出出电路路的的复复频域域模模型型；（3）建建立立复复频域域电路路的的代代数数方方程程并并求求解解；（4）对输出量的复出量的复频域函数取逆域函数取逆变换。5.5系系统函函数数5.5.1 系系统函数的定函数的定义1.定定义线性时不变系统的系统函数线性时不变系统的系统函数H(s)可定可定义为系统的零状态响
10、应义为系统的零状态响应y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)与系统激励与系统激励x(t)的拉氏变换的拉氏变换X(s)之比之比。系系统函函数数也也称称为网网络函函数数。在在系系统分分析析中中，由由于于激激励励与与响响应信信号号可可以以是是电压，也也可可以以是是电流流，因因此此系系统函函数数可可以以是是阻阻抗抗（电压除除以以电流流）或或导纳（电流流除除以以电压），也也可可以以是是数数值比比（电压除除以以电压或或电流流除除以以电流流）。此此外外，当当系系统为一一个个二二端端网网络，激激励励与与响响应在在同同一一端端口口，如如图5.7(a)中中的的Ui(s)与与Ii(s)，则系系统函函数数称称为策策动点
11、点函函数数或或驱动点函数。点函数。若若系系统为一一个个四四端端网网络，激激励励与与响响应不不在在同同一一端端口口，如如图5.7(b)中中的的Ui(s)或或Ii(s)与与Uo(s)或或Io(s)，则此此系系统函函数数称称为转移移函函数数或或传输函函数数。由由此此可可知知，策策动点点函函数数可可能能是是阻阻抗抗或或导纳，而而传输函函数数可可能是阻抗、能是阻抗、导纳或或传输比比值。图图5.7系统函数（策动点函数与转移函数）系统函数（策动点函数与转移函数）5.5.2 连续时间系系统的三种描述方式的三种描述方式系统函数在系统分析中扮演着非常重要系统函数在系统分析中扮演着非常重要的角色。当系统的微分方程给
12、定时，令输的角色。当系统的微分方程给定时，令输出量及其各阶导数在出量及其各阶导数在t=0-时的值为零，对时的值为零，对微分方程取拉普拉斯变换即可得系统函数。微分方程取拉普拉斯变换即可得系统函数。 LTI连续时间系系统可用以下三种方式描述：可用以下三种方式描述：（1） 系系统微分方程；微分方程；（2） 系系统函数；函数；（3） 系系统冲激响冲激响应。在在这三三种种描描述述中中，能能够根根据据任任一一种种形形式式推推导出另外两种形式。出另外两种形式。在在实实际际中中，通通常常用用系系统统函函数数描描述述系系统统，其框图表示如图其框图表示如图5.8所示。所示。图5.8系系统的的传递函数描述函数描述5
13、.5.3 用系用系统函数函数计算系算系统的零状的零状态响响应在在求求系系统的的零零状状态响响应y(t)时，它它等等于于系系统冲激响冲激响应h(t)与激励信号与激励信号x(t)之卷之卷积，即，即y(t)=h(t)*x(t)若若Y(s)、H(s)、X(s)分分别表表示示y(t)、h(t)、x(t)的的拉拉氏氏变换，根根据据拉拉氏氏变换的的时域域卷卷积定理，式（定理，式（5-28）可表示）可表示为Y(s)=H(s)X(s)因因此此，只只要要知知道道了了系系统函函数数H(s)，对任任意意激激励励信信号号x(t)拉拉普普拉拉斯斯变换为X(s)后后，二二者者相相乘乘即即可可得得到到任任意意信信号号下下的的
14、零零状状态响响应的的拉氏拉氏变换Y(s)，再求拉氏逆，再求拉氏逆变换即可得即可得y(t)。5.5.4 系系统函数的零极点函数的零极点图1.系系统函数的零极点函数的零极点极点极点pi与零点与零点zj的数值可以是实数、纯的数值可以是实数、纯虚数或复数。由于虚数或复数。由于A(s)与与B(s)的系数都是实的系数都是实数，所以零极点中若有虚数或复数，则必数，所以零极点中若有虚数或复数，则必然共轭成对，因此然共轭成对，因此H(s)的极点或零点存在的极点或零点存在以下几种类型：一阶实极点或实零点；一以下几种类型：一阶实极点或实零点；一阶共轭极点或共轭零点；二阶或二阶以上阶共轭极点或共轭零点；二阶或二阶以上
15、的实、共轭极点或零点。的实、共轭极点或零点。2.系系统的零极点的零极点图把系统函数把系统函数H(s)的零点和极点在的零点和极点在s平面平面上标注出来，极点用上标注出来，极点用表示，零点用表示，零点用表示，表示，就称为系统函数的零极点图。从零极点图就称为系统函数的零极点图。从零极点图可以看出系统函数的零极点在可以看出系统函数的零极点在s平面的分布平面的分布情况。利用系统函数在情况。利用系统函数在s平面的零极点分布平面的零极点分布可以分析系统的时域特性，求解系统的自可以分析系统的时域特性，求解系统的自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。利用利用H(s)的零极
16、点分布还可以方便地求得的零极点分布还可以方便地求得系统的频率响应特性，从而对系统的频域系统的频率响应特性，从而对系统的频域特性进行分析。特性进行分析。H(s)的零极点图如图的零极点图如图5.9所示。用符号所示。用符号表示零点，表示零点，表示极点，在同一位置画出了表示极点，在同一位置画出了两个相同的符号表示二阶极点或零点。两个相同的符号表示二阶极点或零点。图5.9H（s）的零极点图 5.5.5 由由系系统函函数数的的零零极极点点分分布布确确定定时域特性域特性系系统函函数数H(s)与与冲冲激激响响应h(t)是是一一对拉拉氏氏变换，因因此此根根据据H(s)的的零零极极点点在在s平平面面上上的的分布就
17、可以确定系分布就可以确定系统的的时域特性。域特性。1.系系统函数的极点与函数的极点与时域特性的关系域特性的关系（1） 若一阶极点位于若一阶极点位于s平面的坐标原点平面的坐标原点 图5.10 （2） 若一阶极点位于若一阶极点位于s平面的实轴上平面的实轴上 ，且极点为负实数，且极点为负实数，p=-a0 图5.12 （4） 若有一对共轭极点位于虚轴，若有一对共轭极点位于虚轴，p1=j0及及p2=-j0 图5.13 （5） 若有一对共轭极点位于若有一对共轭极点位于s左半平左半平面，即面，即p1=-a+j0，p2=-a-j0，-a0 图5.15 （7） 若有二阶极点位于若有二阶极点位于s平面的坐平面的坐
18、标原点，即标原点，即p1，2=0 图5.16 （8） 若有二阶极点位于负实轴，若有二阶极点位于负实轴，即即p1，2=-a，a0 图5.17（9） 若二阶共轭极点位于虚轴，若二阶共轭极点位于虚轴，即即p1，2=j0，p3，4=-j0 图5.18 综上上所所述述，若若系系统函函数数H(s)的的极极点点位位于于s左左半半平平面面，则冲冲激激响响应h(t)的的波波形形呈呈衰衰减减变化化，若若H(s)的的极极点点位位于于s右右半半平平面面，则h(t)呈呈增增幅幅变化化。当当一一阶极极点点位位于于虚虚轴时，对应的的h(t)成成等等幅幅振振荡或或阶跃变化化。若若二二阶极点位于虚极点位于虚轴，则相相应的的h(
19、t)呈增幅呈增幅变化。化。2.系系统函数的零点与函数的零点与时域特性的关系域特性的关系H(s)的极点位置与冲激函数的形状有的极点位置与冲激函数的形状有着重要关系，而着重要关系，而H(s)的零点分布只影响到的零点分布只影响到冲激函数的振幅与相位，而对于冲激函数的振幅与相位，而对于h(t)的波形的波形形式不起作用。形式不起作用。5.6系系统的的稳定定性性本本节讨论利利用用系系统的的s域域特特性性来来判判别系系统的的稳定定性性问题。一一般般说来来，无无源源系系统总是是稳定定的的。然然而而，在在电子子系系统中中，广广泛泛应用用有有源源的的反反馈系系统，这种种系系统可可能能是是不不稳定定的的。判判别一一
20、个个系系统是是否否稳定定或或者者求求解解一一个个系系统的的稳定定条条件件或或自自激激震震荡条条件件是是电子子设计中中必必须要要考考虑的的问题。本本节将将讨论系系统的的稳定定性性判判别准准则，着着重重讨论线性性非非时变系系统的的稳定性准定性准则。5.6.1 时域判域判别法法如果输入有界时（如果输入有界时（Boundedinput）只）只能产生有界输出（能产生有界输出（Boundedoutput），这样），这样的系统称为稳定系统，这一稳定性准则称的系统称为稳定系统，这一稳定性准则称为为BIBO稳定性准则。它适用于一般系统，稳定性准则。它适用于一般系统，可以是线性系统也可以是非线性系统，可可以是线性
21、系统也可以是非线性系统，可以是非时变系统也可以是时变系统。以是非时变系统也可以是时变系统。5.6.2 s域判域判别法法以以上上讨论的的稳定定性性条条件件都都是是在在时域域判判定定的的。在在s域域中中，对于于线性性非非时变因因果果系系统，可可根根据据上上述述定定义和和系系统的的零零极极点点分分布布与与系系统冲冲激激响响应的的关关系系得得出出系系统极极点点分分布布与与稳定性的关系如下。定性的关系如下。（1）稳定定因因果果系系统的的系系统函函数数H(s)的的极极点点只只能能在在s左左半半平平面面，不不能能在在s右右半半平平面面有有极极点，否点，否则不不满足式（足式（5-36），系），系统不不稳定。定
22、。（2）如如果果H(s)的的一一阶极极点点位位于于虚虚轴，则该系系统为临界界稳定系定系统。（3）H(s)的的极极点点位位于于s右右半半平平面面，对于于因果系因果系统来来说，该系系统不不稳定。定。（4）如如果果H(s)在在虚虚轴上上有有二二阶以以上上的的极点，极点，则该系系统不不稳定。定。由由于于无无源源系系统不不能能补充充和和供供给能能量量，其其响响应幅幅度度总是是有有限限的的，故故无无源源网网络都都是是稳定系定系统或或临界界稳定系定系统。5.7系系统统的的频频率率响响应应在在s平平面面，任任一一复复数数都都可可用用一一有有方方向向的的线段段表表示示，这称称为矢矢量量。例例如如，某某一一极极点
23、点pi可可以以看看成成自自坐坐标原原点点指指向向该极极点点的的矢矢量量，如如图5.19（a）所所示示。矢矢量量的的长度度表表示示模模|pi|，其其相相角角是是自自实轴反反时针方方向向至至该矢矢量量的的夹角角，变量量j也也可可以以用用矢矢量量表表示示，如如图5.19（b）所所示示。于于是是j-pi就就是是矢矢量量j与与矢矢量量pi的的差差矢矢量量，当当变化化时，差差矢矢量量也也随随之之变化。化。图图5.19零点与极点的矢量表示零点与极点的矢量表示5.8用用MATLAB进行行连续时间信信号与系号与系统的复的复频域分析域分析5.8.1 用用MATLAB求解信号的拉氏求解信号的拉氏变换 MATLAB与
24、拉氏与拉氏变换定定义式式对应的指令的指令为xs=laplace（xt，t，s）其其中中，xt为被被求求拉拉氏氏变换的的信信号号函函数数x(t)的的符符号号表表达达式式；t为积分分变量量；s为复复频率率；xs为x(t)的的拉拉氏氏变换X(s)。如如果果xt中中t为MATLAB规定定的的积分分变量量，而而且且用用s表表示示复复频率，上面的指令也可率，上面的指令也可简写写为xs=laplace（xt）5.8.2 用用MATLAB求求解解信信号号的的拉拉氏氏逆逆变换1.用符号工具直接用符号工具直接计算法算法2.用部分分式法用部分分式法计算拉氏逆算拉氏逆变换5.8.3 用用MATLAB绘制系制系统的零极
25、点的零极点图在在MATLAB中中，系系统函函数数的的零零极极点点可可用用多多项式式求求根根指指令令roots或或指指令令tf2zp求求解解，其格式其格式为：p=roots(a)z=root(b)z，p，k=tf2zp(b，a)其其中中，a为分分母母系系数数向向量量；p为极极点点；b为分子系数向量；分子系数向量；z为零点；零点；k为增益。增益。零零极极点点图用用指指令令plot绘制制，极极点点位位置置处标注注x，零点位置，零点位置处标注注o。5.8.4由由系系统函函数数计算算系系统频率率特特性性的的MATLAB实现在在研研究究电电路路系系统统的的频频率率特特性性时时，当当电电路路比比较较复复杂杂时时，手手工工计计算算系系统统函函数数和和频频率率特特性性就就比比较较复复杂杂，而而利利用用MATLAB的的freqs指指令令可可以以方便的计算并绘制系统的频率响应曲线。方便的计算并绘制系统的频率响应曲线。
