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1、 第五讲第五讲 近代数学的兴起近代数学的兴起-文艺复兴时期的数学文艺复兴时期的数学(1517世纪初世纪初)5.1中世纪的欧洲中世纪的欧洲5.2向近代数学的过度向近代数学的过度5.3解析几何的诞生解析几何的诞生5.2.15.2.1代数学代数学5.2.2三角学5.2.3从透视学到摄影学5.2.4计算技术与对数5.1中世纪的欧洲中世纪的欧洲 - 欧洲中世纪的回顾欧洲中世纪的回顾公元公元5-11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期世纪，是欧洲历史上的黑暗时期直到直到12世纪，同于受翻译、传播阿拉伯著世纪，同于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激，欧洲数学与开始出作和希腊著作的刺激，欧洲数学与开始出现复苏迹象
2、。可以说，现复苏迹象。可以说，12世纪是欧洲数学世纪是欧洲数学的翻译时代的翻译时代欧洲黑暗时期过后，第一位有影响力的数欧洲黑暗时期过后，第一位有影响力的数学家是斐波那契学家是斐波那契斐波那契斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):(1202 算盘书算盘书)算盘书主要内容：整数和分数算法；开方法；二次和三次方程以及不定方程；系统介绍印度-阿拉伯数码；算盘书算盘书可以看作是欧洲数学在可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角。号角。一、文艺复兴（14-16世纪）文艺复兴运动：13世纪末，在意大利各城市兴起，以后扩展到西欧各国，于16世纪在欧
3、州盛行的思想文化运动。是科学与艺术的革命时期文艺复兴时期在各领域取得很大成就，数学成就只不过是其中之一 5.2向近代数学的过度向近代数学的过度-希望的曙光希望的曙光-欧州文艺复兴时期欧州文艺复兴时期的数学的数学代数学代数学 三角学三角学 从透视学到射影几何从透视学到射影几何计算技术与对数计算技术与对数5.2.1代数学代数学欧洲人在数学上的推进是从代数欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。主要包拉开了近代数学的序幕。主要包括三、四次方程求解与符号代数括三、四次方程求解与符号
4、代数的引入这两个方面。的引入这两个方面。1. 三、四次方程根式求解的成功三、四次方程根式求解的成功第一个突破：约1515年费罗发现形如：x3+mx=n(m,n0)，代数方程的解法并将解法秘密传给自己的学生费奥1535年，意大利另一位数学家塔塔利亚，也宣称自己能解形如：x3+mx2=n(m,n0)的三次方程。费奥向塔塔利亚挑战，要求各自解出对方提出的30个三次方程。结果是，塔塔利亚很快解出形如:x3+mx2=n和x3+mx=n(m,n0)两类型所有方程，而费奥只能解出后一类方程后来，塔塔利亚把解法传给了卡尔丹塔塔利亚（niccolofontana,1499?1557，绰号tartaglia意为口
5、吃着）卡尔丹卡尔丹（1501-15761501-1576）医生、数学家、预言家。）医生、数学家、预言家。大法大法公布了三次方程的解法。公布了三次方程的解法。大法（ArsMagna）（p,q0）实质是考虑恒等式若选取a,b,使：3ab=p,a3-b3=q,不难解得a,bp,q02.四次方程求解四次方程求解费拉里费拉里费拉里费拉里（1522-15651522-1565），卡尔丹的学生，获得），卡尔丹的学生，获得），卡尔丹的学生，获得），卡尔丹的学生，获得解一般四次方程的解法。解一般四次方程的解法。解一般四次方程的解法。解一般四次方程的解法。x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通过配方、因式
6、分解后降次基本思想是通过配方、因式分解后降次 关于四次方程的解法，以后韦达和笛卡关于四次方程的解法，以后韦达和笛卡尔都作过研究，并取得成果，由此引发探求尔都作过研究，并取得成果，由此引发探求五次方程根式解的尝试，经拉格朗日、阿贝五次方程根式解的尝试，经拉格朗日、阿贝尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔首先证明了一般尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔首先证明了一般的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦在此基的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦在此基础上创造了础上创造了群论群论，将代数研究推向纵深，将代数研究推向纵深。3.代数符号体系与代数运算代数符号体系与代数运算韦达韦达(F.Vieta):(1591)近现代数学一个最为明显、
7、突出的标志，近现代数学一个最为明显、突出的标志，就是普遍地使用了数学符号，它体现了就是普遍地使用了数学符号，它体现了数学学科的高度抽象与简练。文艺复兴数学学科的高度抽象与简练。文艺复兴时期代数学的另一重大进展，便是系统时期代数学的另一重大进展，便是系统地引入符号代数。地引入符号代数。 韦达是第一个有意识地、系统地使用字韦达是第一个有意识地、系统地使用字母。他的符号体系的引入导致代数性质母。他的符号体系的引入导致代数性质上产生最重大变革上产生最重大变革韦达韦达韦达韦达（1540-16031540-1603），），），），法国数学家，（法国数学家，（法国数学家，（法国数学家，（原是律师原是律师原是
8、律师原是律师与政治家，业余时间研究数学。与政治家，业余时间研究数学。与政治家，业余时间研究数学。与政治家，业余时间研究数学。）创立符号代数；发现创立符号代数；发现创立符号代数；发现创立符号代数；发现根与系数的关系。根与系数的关系。根与系数的关系。根与系数的关系。l 1616世纪最大的数学家世纪最大的数学家l代数学之父：代数学之父：1591年年分析引论分析引论5.2.2三角学(从球面三角到平面三角）航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展。早期三角学总是与天文学密不可分，这样在1450年以前，三角学主要是球面三角。后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角三角学,起源于古希腊。
9、为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要，古希腊人已研究球面三角形的边角关系，掌握了球面三角形两边之和大于第三边，球面三角形内角之和大于两个直角，等边对等角等定理。印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进，但主要是应用在天文学方面。15、16世纪三角学的研究转入平面三角，以达到测量上的应用目的。在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（J.Regionomtanus,1436-1476）。雷格蒙塔努斯的主要著作是年完成的论各种三角形。这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。全书共卷，前卷论述平面三角学，后卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉。雷格蒙塔努斯还较早地制成
10、了一些三角函数表。三角学的进一步发展，是法国数学家韦达所做的平面三角与球面三角系统化工作。他在标准数学（1579）和斜截面（1615）二书中，把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，其中包括自己得到的正切公式：三角学在今天的应用三角测量：在导航，测量及土木工程中精确测量距离和角度的技术，主要用于为船只或飞机定位。它的原理是：如果已知三角形的一边及两角，则其余的两边一角可用平面三角学的方法计算出来。5.2.3从透视学到射影几何从透视学到射影几何由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科透视学的兴起，从而诞生了投影几何学。意大利艺术家布努雷契（f.brunelleschi,13771
11、446）由于对数学对兴趣而认真研究透视法，他试图运用几何方法进行绘画。数学透视法的天才阿尔贝蒂（l.b.alberti，14041472)的完全是数学性质的论绘画（1511）一书，是早期数学透视法的代表作，书中除引入投影线、截影等一些概念外，还讨论了截影的数学性质，成为射影几何发展的起点。重要人物布努雷契布努雷契意(F.Brunelleschi,1377-1446)阿尔贝蒂阿尔贝蒂(L.B.Alberti,1404-1472)-早期数学透视法的代表作富有独创精神的数学天才-德沙格德沙格（g.desargues,15911661）（笛沙格）德沙格的工作德沙格的工作德沙格德沙格（1591-1661
12、），法国陆军军官，），法国陆军军官，德沙格定理。德沙格发表了德沙格定理。德沙格发表了本关于圆本关于圆维曲线的很有独创性的小册子维曲线的很有独创性的小册子试论锥试论锥面截一平面所得结果的初稿面截一平面所得结果的初稿 ，从开普，从开普勒的连续性原理开始，导出了许多关于勒的连续性原理开始，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透视的基本原理及透视的基本原理1、两投影三角形对应边交点共线，反之，对应边、两投影三角形对应边交点共线，反之，对应边共点的两三角形，对应顶点的连线共点（德沙格共点的两三角形，对应顶点的连线共点（德沙格定理）定理）德沙格定理德沙格德沙
13、格德沙格的另一项重要工作是从对合点问题出发首次讨论了调和点组的理论。在对合概念的基础上他又引入共轭点与调和点组的概念，认为对合、调和点组关系在投影变换下具有不变性。即投影线的每个截线上的交比都相等:如下图，有(AB,CD)=(AB,CD)2、交比在投影下的不变性；3、对合、调合点组关系不变性。对任一直线上的定点O，称直线上的两对点A，B和A，B是对合的，如果成立：OAOB=OAOB帕斯卡帕斯卡帕斯卡（帕斯卡（1623-1662），著作），著作圆锥曲线论圆锥曲线论（1640），在射），在射影几何方面他最影几何方面他最突出的成就就是突出的成就就是帕斯卡定理：帕斯卡定理：圆圆锥曲线的内接六锥曲线的内
14、接六边形对边交点共边形对边交点共线。线。拉伊尔拉伊尔（1640-1718），），著作著作圆锥线圆锥线，最突出的地方在于极点理论方面有所最突出的地方在于极点理论方面有所创新，获得并且这样的定理：创新，获得并且这样的定理：若一点若一点Q在直线在直线p上移动，则该点上移动，则该点Q的极带将的极带将绕直线绕直线p的极点的极点P转动。转动。5.2.4计算技术与对数计算技术与对数十六世纪前半叶，欧洲人象印度、阿拉伯人一样，把实用的算术计算放在数学的首位。1585年荷兰数学家史蒂文发表的论十进制算术系统探讨十进数及其运算理论，并提倡用十进制小数来书写分数，还建议度量衡及币制中也广泛采用十进制。这种十进位值制
15、的采用又为计算技术的改进准备了必要条件。这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它主要是由于天文和航海计算的强烈需要，为简化天文、航海方面所遇到繁复的高位数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法。苏格兰贵族数学家纳皮尔(j.napier)正是在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法的。1614年他在题为奇妙的对数定理说明书的小书中，阐述了他的对数方法。纳皮尔纳皮尔（1550-1550-16171617），利用），利用两种不同的运两种不同的运动之间的关系，动之间的关系，建立了建立了“对数对数”关系。称为关系。称为纳皮尔对数。纳皮尔对数。对数的实用价值很快为纳皮尔的朋友，伦敦雷沙姆学院
16、几何学教授布里格斯(henrybriggs,15611631)所认识，他与纳皮尔合作，决定采用，则时得到，这样就获得了今天所谓的“常用对数”。布里格斯布里格斯（1561-1561-16311631），建），建立了以立了以1010为为底的常用对底的常用对数，制出第数，制出第一张常用对一张常用对数表。数表。比尔吉比尔吉（1552-16321552-1632），），也独立发明了对数。他对数思想的基础是斯蒂费尔的级数对应思想，属于算术性质而略异于纳皮尔的做法。对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲，所以拉普拉斯（laplace,17491827）曾赞誉道：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家
17、的寿命”。5.3解析几何的诞生诞生的社会背景：诞生的社会背景：历史地位：解析几何是变量数学的第一个历史地位：解析几何是变量数学的第一个里程碑里程碑解析几何基本思想：1.平面上引进所谓“坐标”的概念；2.平面上的点和有序数对（x,y)之间建立一一对应关系；3.以此方式，代数方程f(x,y)=0与平面上一条曲线对应起来；本质思想：用代数的方法去研究几何；解析几何最重要的前驱是法国数学家解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆奥雷斯姆(N. Oresme, 13231382)；真正发明者归功于法国另外两位数学真正发明者归功于法国另外两位数学家笛卡儿家笛卡儿(R.Descartes , 1596165
18、0)与与费马费马(P. de Fermat, 16011665)。笛卡儿(R.Descartes,1596-1650):几何学(1637)我思故我在我思故我在证明证明帕普斯问题帕普斯问题时时建立了历史上第一个倾斜坐标系建立了历史上第一个倾斜坐标系求：l1l2l3l4CP1R2S3Q4Axy新颖的想法：1.曲线次数与坐标轴选取无关,但坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；2.利用曲线的方程表示来求两条不同曲线的交点；3.大胆的想法：任何的问题数学问题代数问题方程求解一切问题化归为一切问题化归为代数方程求解问题后如何问题后如何继续？继续？1.任意选取单位线段;2.定义线段的加、减、乘、除、乘方、开方等运
19、算；3.线段的巧妙表示：(a,b,c,);4.一切一切几何问题成功转化为关于一个未知成功转化为关于一个未知线段的线段的单个代数方程:z=bz2=-az+bz3=-az2+bz+cz4=-az3+bz2+cz+d与笛卡儿怀疑、批评希腊几何学与笛卡儿怀疑、批评希腊几何学思想相反。思想相反。另一位法国巨人：费马工作的出另一位法国巨人：费马工作的出发点是竭力恢复希腊几何发点是竭力恢复希腊几何他俩工作的出发点不同，但方式都是他俩工作的出发点不同，但方式都是采用代数方法来研究几何问题。采用代数方法来研究几何问题。费马(P.deFermat,1601-1665)(1629)法国人、业余数学家、数论方面是承前启后的人物、几何方面是一个创造性人物。OZAIEZ1I1Z3I3任意曲线和它上面的一般点I；I的位置可以用A、E两个字母确定;因此，用我们今天的眼光看来他因此，用我们今天的眼光看来他所称的两个未知量所称的两个未知量A、E，就是我就是我们今天所称的们今天所称的横坐标横坐标与与纵坐标纵坐标。费尔马还解析的定义以下曲线费尔马还解析的定义以下曲线直线方程：d(a-x)=by;圆：b2-x2=y2;椭圆：b2-x2=ky2;抛物线：x2=dy,y2=dx;双曲线：xy=k2;x2+b2=ky2
