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1、1.4 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。* * 某些物理量在空间或时间坐标上集中与一点的某些物理量在空间或时间坐标上集中与一点的物理现象，物理现象，奇异函数奇异函数就是描述这类现象的就是描述这类现象的 数学模型。数学模型。信号与线性系统阶跃函数和冲激函数一、阶跃函数和冲激函数一、阶跃函数和冲激函数下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。并用求导和求极限的方法定义冲激函数。并用求导和求极限的方法定义冲激函数。函数。选定一个函数序
2、列选定一个函数序列n n(t)(t)如图所示。如图所示。 信号与线性系统阶跃函数和冲激函数 t-1/n n(t)=0 -1/n t 1/n n(t)=1/2+nt/2 1/n t n(t)=1信号与线性系统阶跃函数和冲激函数信号与线性系统采用下列采用下列直观定义直观定义：对：对n n( (t t) )求导求导得到如图所示得到如图所示的矩形脉冲的矩形脉冲P Pn(n(t t) ) 。高度无穷大，宽度无穷小，面积为高度无穷大，宽度无穷小，面积为1 1的对称窄脉冲。的对称窄脉冲。阶跃函数和冲激函数也可由如下特殊的方式定义（由也可由如下特殊的方式定义（由狄拉克狄拉克最早提出）最早提出）单位冲激函数单位
3、冲激函数是个奇异函数，它是对强度是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。模型。信号与线性系统阶跃函数和冲激函数冲激函数与阶跃函数关系冲激函数与阶跃函数关系信号与线性系统冲激函数的积分是阶跃信号阶跃函数和冲激函数阶跃函数性质：阶跃函数性质：（1 1）可以方便地表示某些信号）可以方便地表示某些信号 r(t)=tr(t)=t (t),(t),斜升函斜升函数数f f( (t t) = 2() = 2(t t)- 3()- 3(t t-1) +(-1) +(t t-2)-2)（2 2）用阶跃函数表示信号的作用区间用阶跃函数表示信号的作用区间信
4、号与线性系统阶跃函数和冲激函数问：如何用阶跃函数表示如下信号问：如何用阶跃函数表示如下信号信号与线性系统f(t)=2(t+1)-2(t-1)阶跃函数和冲激函数间断点的导数也存在。f(t) = 2(t +1)-2(t -1)信号与线性系统f(t) = 2(t +1)-2(t -1)阶跃函数和冲激函数冲激函数的导数(t)(t) 也称冲激偶信号与线性系统三角脉冲s(t)阶跃函数和冲激函数为方便，常省去负冲激，并标明 (t) ，以免与(t) 相混淆01信号与线性系统阶跃函数和冲激函数门函数门函数下图所示矩形脉冲g(t)常称为门函数。g(t)1-/2/20 t特点特点:宽度为，幅度为1。利用移位阶跃函数
5、，门函数可表示为：利用移位阶跃函数，门函数可表示为：信号与线性系统阶跃函数和冲激函数二、冲激函数的广义函数定义二、冲激函数的广义函数定义广义函数广义函数 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值Ng(t), (t)。广义函数广义函数g(t)可以写成可以写成信号与线性系统阶跃函数和冲激函数的定义：例题例题?信号与线性系统阶跃函数和冲激函数冲激函数的性质（冲激函数的性质（1 1）1. 与普通函数f f( (t t) ) 的乘积取样、移位性质若f f( (t t) )在t t = 0 = 0 、t t = a= a处存在，则信号与线性系统阶跃函数和冲激
6、函数？信号与线性系统阶跃函数和冲激函数(t) 的尺度变换信号与线性系统冲激函数的性质（冲激函数的性质（2 2）(at) 的n阶导数研究a0的常数阶跃函数和冲激函数信号与线性系统冲激函数的性质（冲激函数的性质（3 3）奇偶性n为偶数n为奇数阶跃函数和冲激函数复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根互不相等的实根ti ( i=1，2，n)；见书见书p22f(t)可以展开成泰勒级数可以展开成泰勒级数信号与线性系统冲激函数的性质（冲激函数的性质（4 4）阶跃函数和冲激函数若若f(t)=0f(t)=0的的n n个根个根t=tt=ti i都是单根，即在都是单根，即在t=tt=ti i处处f(tf(ti i) ) 0 0，则，则在在t=tt=ti i附近附近有：有：是是位于各位于各t ti i处，处，n n个冲激函数构成的冲击函数序列。个冲激函数构成的冲击函数序列。例：若f(t)=4t2-1,则有信号与线性系统阶跃函数和冲激函数
