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1、洛伦兹力的应用洛伦兹力的应用习题课习题课西樵高级中学西樵高级中学方红德整理方红德整理1 1）圆周运动的半径）圆周运动的半径2 2）圆周运动的周期）圆周运动的周期3 3）在磁场中运动的时间）在磁场中运动的时间一、常用公式一、常用公式 解决解决带电粒子在匀粒子在匀强强磁磁场中做匀速中做匀速圆周运周运动问题的基的基本思路是本思路是找找圆心、算半径、画心、算半径、画轨迹、求迹、求时间。 1找找圆心心 带电粒子粒子进入一个有界磁入一个有界磁场后的后的轨道是一段道是一段圆弧，如弧，如何确定何确定圆心是解决心是解决问题的前提，也是解的前提，也是解题的关的关键。圆心一心一定在与速度方向垂直的直定在与速度方向垂
2、直的直线上。上。 2算半径算半径 画出入射点、出射点画出入射点、出射点对应的半径，并作出相的半径，并作出相应的的辅助助三角形，利用三角形，求出半径的大小。三角形，利用三角形，求出半径的大小。 二、基本思路二、基本思路 在在实际问题中，中，圆心位置的确定极心位置的确定极为重要，通常有两个方法：重要，通常有两个方法： (1)如如图甲所示，甲所示，图中中P为入射点，入射点，M为出射点，已知入射方向和出射出射点，已知入射方向和出射方向方向时，可以通，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直两条直线的交点就是的交点就是圆弧弧轨道的道的圆心
3、心O。 (2)如如图乙所示，乙所示，图中中P为入射点，入射点，M为出射点，已知入射方出射点，已知入射方向和出射点的位置向和出射点的位置时，可以通，可以通过入射点作入射方向的垂入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂两条垂线的交点就是的交点就是圆弧弧轨道的道的圆心心O。确定下列圆心确定下列圆心(1)v(2)vv(3)ABABA 3圆心角和运心角和运动时间的确定的确定 1. 1. 如图所示，匀强磁场磁感应强度为如图所示，匀强磁场磁感应强度为 B B0.2 T0.2 T，方向垂直纸面向，方向垂直纸面向里在磁场中的里在磁场中的 P P 点引入一个质量为
4、点引入一个质量为m=2.0m=2.01010-8-8kgkg、带电荷量为、带电荷量为q q5 51010-6-6C C 的正粒子，以的正粒子，以v v10m/s10m/s的速度垂直于磁场方向开始运的速度垂直于磁场方向开始运动，运动方向如图所示，不计粒子重力，磁场范围足够大动，运动方向如图所示，不计粒子重力，磁场范围足够大(1)(1)请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹(2)(2)粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大？粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大？三、常见题例三、常见题例2. 2. 如如图所示，一束所示，一束电荷量荷量为e e的的电子以垂直于磁
5、子以垂直于磁场方向方向( (磁感磁感应强强度度为B)B)并垂直于磁并垂直于磁场边界的速度界的速度v v射入射入宽度度为d d的磁的磁场中，穿出磁中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的速度方向和原来射入方向的夹角角为6060. .求求电子的子的质量和穿越磁量和穿越磁场的的时间 3.3.电子电子质量为质量为m m电荷电荷量为量为q,q,以速度以速度v v0 0与与x x轴成轴成角射入磁感角射入磁感应强度为应强度为B B的匀强磁场中，最后落在的匀强磁场中，最后落在x x轴上的轴上的P P点，如图所示，点，如图所示，求求: :（1 1）的）的opop长度长度; ;（2 2）电子由）电子由O O点射入到
6、落在点射入到落在P P点所需的时间点所需的时间t.t.【解解析析】带带电电粒粒子子在在匀匀强强磁磁场场中中做做匀匀速速圆圆周周运运动动，应应根根据据已已知知条条件件首首先先确确定定圆圆心心的的位位置置，画画出出运运动动轨轨迹迹. .所所求求距距离离应应和和半半径径R R相相联联系系，所所求求时时间间应应和和粒粒子转动的圆心角子转动的圆心角、周期、周期T T相联系相联系. .(1)(1)过过O O点和点和P P点作速度方向的垂线，两线交点点作速度方向的垂线，两线交点C C即为电子即为电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，如图所示，在磁场中做匀速圆周运动的圆心，如图所示，则可知则可知 =2R=2Rsi
7、nsin BqvBqv0 0= = 由由式可解得式可解得: :(2)(2)答案答案：(1) (1) (2)(2)4.4.如图所示，一带电荷量为如图所示，一带电荷量为2.02.01010-9 -9 C,C,质量为质量为1.81.81010-16-16 kg kg的粒子，在直线上一点的粒子，在直线上一点O O沿沿3030方向进入磁感应强度为方向进入磁感应强度为B B的匀强的匀强磁场中，经过磁场中，经过1.51.51010-5-5 S S后到达直线上另一点后到达直线上另一点P.P.求：求：(1)(1)粒子做圆周运动的周期粒子做圆周运动的周期(2)(2)磁感应强度磁感应强度B B的大小的大小(3)(3
8、)若若OPOP之间的距离为之间的距离为0.1 m0.1 m，则粒子的运动速度多大？，则粒子的运动速度多大？【解析解析】粒子做匀速圆周运动，其轨迹如图所示由几何粒子做匀速圆周运动，其轨迹如图所示由几何关系可知关系可知OPOP弦的圆心夹角弦的圆心夹角6060. .粒子从粒子从O O点出发经历大圆点出发经历大圆弧到达弧到达P P点的时间已知，大圆弧所对圆心角为点的时间已知，大圆弧所对圆心角为300300，则可求，则可求粒子运动周期由周期公式可求磁感应强度粒子运动周期由周期公式可求磁感应强度B B，已知，已知OPOP的长的长度可求半径度可求半径R R，进而求粒子运动速度，进而求粒子运动速度5.5.如图
9、所示，在如图所示，在x x轴上方有匀强磁场轴上方有匀强磁场B B，一个质量为，一个质量为m m，带电量，带电量为为-q-q的的粒子，以速度的的粒子，以速度v v从从O O点射入磁场，角点射入磁场，角已知，粒子重已知，粒子重力不计，求力不计，求 (1)(1)粒子在磁场中的运动时间粒子在磁场中的运动时间. . (2) (2)粒子离开磁场的位置粒子离开磁场的位置. .6. 6. 一个质量为一个质量为m m电荷量为电荷量为q q的带电粒子从的带电粒子从x x轴上的轴上的P P（a a，0 0）点）点以速度以速度v v，沿与，沿与x x正方向成正方向成6060的方向射入第一象限内的匀强磁的方向射入第一象
10、限内的匀强磁场中，并恰好垂直于场中，并恰好垂直于y y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度强度B B和射出点的坐标。和射出点的坐标。 y x oBv v a O/7 7如如图所示，在所示，在x x轴上方存在着垂直于上方存在着垂直于纸面向里、磁感面向里、磁感应强强度度为B B的匀的匀强强磁磁场，一个不，一个不计重力的重力的带电粒子从坐粒子从坐标原点原点O O处以速度以速度v v进入磁入磁场，粒子，粒子进入磁入磁场时的速度方向垂直于磁的速度方向垂直于磁场且与且与x x轴正方向成正方向成120120角，若粒子穿角，若粒子穿过y y轴正半正半轴后在磁后在磁场中到中到
11、x x轴的最大距离的最大距离为a a，则该粒子的比荷和所粒子的比荷和所带电荷的正荷的正负是是( () )A.3v2aB，正电荷，正电荷 B.v2aB，正电荷，正电荷 C.3v2aB，负电荷，负电荷 D.v2aB，负电荷，负电荷 8.8.如如图所示，在所示，在xOyxOy平面内，平面内，y0y0的区域有垂直于的区域有垂直于xOyxOy平面平面向里的匀向里的匀强强磁磁场，磁感，磁感应强强度度为B B，一，一质量量为m m、带电荷荷量大小量大小为q q的粒子从原点的粒子从原点O O沿与沿与x x轴正方向成正方向成6060角方向以角方向以v v0 0射入，粒子的重力不射入，粒子的重力不计，求，求带电粒
12、子在磁粒子在磁场中运中运动的的时间和和带电粒子离开磁粒子离开磁场时的位置。的位置。思路思路确定粒子的确定粒子的电性性判判定洛定洛伦兹力的方向力的方向画运画运动轨迹迹确定确定圆心、半径、心、半径、圆心角心角确定运确定运动时间及及离开磁离开磁场的位置。的位置。解析解析 当带电粒子带正电时，轨迹如图中当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC，对粒子，由于洛伦兹力提供向心力，对粒子，由于洛伦兹力提供向心力，则则 qv0Bmv20R，Rmv0qB， T2mqB 故粒子在磁场中的运动时间故粒子在磁场中的运动时间 t1240360T4m3qB 9如如图所示，在第一象限内有垂直所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀
13、面向里的匀强强磁磁场，一一对正、正、负离子离子(质量相同量相同)以相同速率沿与以相同速率沿与x轴成成30角的方角的方向从原点射入磁向从原点射入磁场，则正、正、负离子在磁离子在磁场中运中运动时间之比之比为()A1 2 B2 1C1 3 D1 1答案：答案：B10.10.如右图所示，正、负电子以如右图所示，正、负电子以相同的速度相同的速度v0v0垂直磁场方向在垂直磁场方向在O O点点沿与边界成沿与边界成3030角的方向射入角的方向射入只有下边界的匀强磁场中，则正、只有下边界的匀强磁场中，则正、负电子射出点到射入点的距离之比负电子射出点到射入点的距离之比为为( () )A A1111B B1212C
14、 C1515D D1616解得解得圆轨道的半径：道的半径：由于正由于正负电子的荷子的荷质比相同，比相同，故它故它们的半径相同的半径相同由几何关系知，两个由几何关系知，两个圆的的圆心角也相等，都心角也相等，都为6060，三，三角形角形COBCOB与与COACOA全等，故有全等，故有 答案：A解析：由洛伦兹力公式和牛顿定律可得：解析：由洛伦兹力公式和牛顿定律可得： 11.11.如图直线如图直线MNMN上方有磁感应强度为上方有磁感应强度为B B的匀强磁场。正、负电的匀强磁场。正、负电子同时从同一点子同时从同一点O O以与以与MNMN成成3030角的同样速度角的同样速度v v射入磁场（电射入磁场（电子
15、质量为子质量为m m，电荷为，电荷为e e），它们从磁场中射出时相距多远？射），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？出的时间差是多少？MNBOv答案答案为射出点相距射出点相距时间差差为关关键是找是找圆心、找半径和用心、找半径和用对称。称。 12.12.如右图所示，在如右图所示，在y0y0的区域内存在的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于匀强磁场，磁场方向垂直于xyxy平面并平面并指向纸面外，磁感应强度为指向纸面外，磁感应强度为B.B.一带电一带电荷量和质量之比为荷量和质量之比为q/mq/m的正电粒子以的正电粒子以速度速度v v0 0从从O O点与点与x x轴正向成轴正向成角射入磁角射
16、入磁场，不计重力的影响，求该粒子射出场，不计重力的影响，求该粒子射出磁场时的位置与磁场时的位置与O O点的距离点的距离圆轨道的圆心位于圆轨道的圆心位于OA的中垂的中垂线上，由几何关系可得线上，由几何关系可得(式中式中R为圆轨道的半径为圆轨道的半径)联立联立、两式，解得两式，解得 点评：点评：已知速度的大小，一定要通过计算明确半径的大小，已知速度的大小，一定要通过计算明确半径的大小，这对正确作图，帮助理解轨迹的走向，应用几何知识计算这对正确作图，帮助理解轨迹的走向，应用几何知识计算带电粒子的出射位置有很大的帮助带电粒子的出射位置有很大的帮助解得：解得：1313、（、（20012001年高考题）如
17、图在年高考题）如图在y0y0的区域内存在匀强磁场，磁场的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于方向垂直于xyxy平面并指向纸面外，磁感应强度为平面并指向纸面外，磁感应强度为B B，一带正电的，一带正电的粒子以速度粒子以速度V0V0从从O O点射入方向在点射入方向在xyxy平面内，与平面内，与x x轴正向夹角为轴正向夹角为，若粒子射出磁场的位置与，若粒子射出磁场的位置与O O点的距离为点的距离为L L，求该粒子的比荷，求该粒子的比荷q/mq/m. .OX YB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 由几何知识：由几何知识：粒子的运动半径：粒子的运动半径：r=L/2sin粒子的运动半径：粒子的运动半径：r=mv/qB由上两式可得粒子的荷质比：由上两式可得粒子的荷质比： q/m=2vsin/BL解：作出粒子运动轨迹如图。解：作出粒子运动轨迹如图。设设P点为出射点。点为出射点。14.14.如图所示，分界面如图所示，分界面MNMN右侧是区域足够大的匀强磁场区域，右侧是区域足够大的匀强磁场区域，现由现由O O点射入两个速度、电量、质量都相同的正、负粒子，
19、重点射入两个速度、电量、质量都相同的正、负粒子，重力不计，射入方向与分界面成力不计，射入方向与分界面成 角，则角，则A A、它们在磁场中的运动的时间相同、它们在磁场中的运动的时间相同B B、它们在磁场中圆周运动的半径相同、它们在磁场中圆周运动的半径相同C C、它们到达分界面是的速度方向相同、它们到达分界面是的速度方向相同D D、它们到达分界面的位置与、它们到达分界面的位置与O O的距离相同的距离相同O1515如下图所示，长为如下图所示，长为L L、间距为、间距为d d的平行金属板间，有垂的平行金属板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B B，两板不带
20、电，两板不带电，现有质量为现有质量为m m、电荷量为、电荷量为q q的带正电粒子的带正电粒子( (重力不计重力不计) )，从左，从左侧两极板的中心处以不同速率侧两极板的中心处以不同速率v v水平射入，欲使粒子不打水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率在板上，求粒子速率v v应满足什么条件？应满足什么条件？17. 17. 一个负离子，质量为一个负离子，质量为m m，电量大小为，电量大小为q q，以速率，以速率v v垂直于屏垂直于屏S S经过小孔经过小孔O O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度强度B B的方向与离子的运动方向垂直，并垂
21、直于图的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图1 1中纸面向里中纸面向里. .（1 1）求离子进入磁场后到达屏）求离子进入磁场后到达屏S S上时的位置与上时的位置与O O点的距离点的距离. .* *（2 2）如果离子进入磁场后经过时间）如果离子进入磁场后经过时间t t到达位置到达位置P P，证明，证明: :直线直线OPOP与离子入射方向之间的夹角与离子入射方向之间的夹角跟跟t t的关系是的关系是 OBSvP* *18. 18. 如如图4 4所示，在所示，在xOyxOy坐坐标平面的第一象限内有沿平面的第一象限内有沿y y方向的匀方向的匀强强电场，在第四象限内有垂直于平面向外的匀，在第四象限内有垂直
22、于平面向外的匀强强磁磁场现有一有一质量量为m m，带电荷量荷量为q q的粒子的粒子( (重力不重力不计) )以初速度以初速度v0v0沿沿x x方向从方向从坐坐标为(3l(3l，l)l)的的P P点开始运点开始运动，接着，接着进入磁入磁场后由坐后由坐标原点原点O O射出，射出，射出射出时速度方向与速度方向与y y轴正方向正方向夹角角为4545，求：，求：(1)(1)粒子从粒子从O O点射出点射出时的速度的速度v v和和电场强强度度E E；(2)(2)粒子从粒子从P P点运点运动到到O O点点过程所用的程所用的时间；解析根据解析根据题意可推知：意可推知：带电粒子在粒子在电场中做中做类平抛运平抛运动
23、，由，由Q Q点点进入磁入磁场，在磁，在磁场中做匀速中做匀速圆周运周运动，最，最终由由O O点射出点射出( (轨迹如迹如图所示所示) )(1)(1)根据根据对称性可知，粒子在称性可知，粒子在Q Q点点时速度大小速度大小为v v，方向与，方向与y y轴方向成方向成4545，则有：有：v vcoscos 45 45v v0 0* *1919如图所示，在第一象限内有一垂直于纸面向里、磁感强度如图所示，在第一象限内有一垂直于纸面向里、磁感强度大小大小B B2.02.010103 T3 T的匀强磁场，磁场局限在一个矩形区域内，的匀强磁场，磁场局限在一个矩形区域内，在在x轴上距坐标原点长轴上距坐标原点长L
24、的的P处以处以v2.0104 m/s射入比荷射入比荷5.0107 C/kg的不计重力的正离子，正离子做匀速圆周运动后的不计重力的正离子，正离子做匀速圆周运动后在在y轴上距坐标原点也为轴上距坐标原点也为L的的M处射出，运动轨迹半径恰好最小，处射出，运动轨迹半径恰好最小，求：求： (1)L的长度的长度 (2)此矩形磁场区域的最小面积，此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形并在图中画出该矩形 解析：解析：(1)(1)设粒子在磁场中的运动半径为设粒子在磁场中的运动半径为r.r.由洛伦兹力提供粒由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得：子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得： 要使粒
25、子从要使粒子从P P射入后又从射入后又从M M点射出，且半径最小，则点射出，且半径最小，则PMPM的长度应为离子做匀速圆周运动的直径，如右图所示的长度应为离子做匀速圆周运动的直径，如右图所示由几何关系得：由几何关系得：(2)如图所示，所求的最小矩形为MM1P1P(虚线)，该区域面积：S2r r2r20.16 m2答案：(1)0.2 m(2)0.16 m2* *2020、如图所示，空间分布着如图所示的匀强电场、如图所示，空间分布着如图所示的匀强电场E E（宽度为（宽度为L L）和匀强磁场）和匀强磁场B B（两部分磁场区域的磁感应强度大小相等，（两部分磁场区域的磁感应强度大小相等，方向相反），一带
26、电粒子电量为方向相反），一带电粒子电量为q q，质量为，质量为m m（不计重力），（不计重力），从从A A点由静止释放，经电场加速后进入磁场穿过中间磁场进入点由静止释放，经电场加速后进入磁场穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径而返回右边磁场后能按某一路径而返回A A点，重复前述过程。点，重复前述过程。求中间求中间磁场的宽度磁场的宽度d d和粒子的运动周期。和粒子的运动周期。解：解：设粒子在电场中加速后速度为设粒子在电场中加速后速度为v,所所需时间为需时间为t1。由动能定理及动量定理可得：由动能定理及动量定理可得：粒子进入磁场后做圆周运动，粒子进入磁场后做圆周运动，半径为：半径为： R=mv/
27、qB由由可得：可得：R=mqB2qELm由几何知识，中间磁场的宽度为：由几何知识，中间磁场的宽度为： qEL=mv2/2 qEt1=mv0粒子在中间磁场运动时间：粒子在中间磁场运动时间： d=Rsin60o=6qmEL2qB故粒子运动周期为：故粒子运动周期为：T=2t1+t2+t3=t2=T/3=2m/3qBt3=5T/6=5m/3qB2mL qE+ 7m/3qB由由可得：可得：2mLqEt1=作出粒子运动轨迹如图。作出粒子运动轨迹如图。粒子在右边磁场中运动时间：粒子在右边磁场中运动时间：MN21.如如图中图中圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应
28、强度为感应强度为B，现有一电量为现有一电量为q，质量为质量为m的正离子从的正离子从a点点沿圆形区域的直径射入，设正离子射出磁场区域的方向沿圆形区域的直径射入，设正离子射出磁场区域的方向与入射方向的夹角为与入射方向的夹角为600，求此正离子在磁场区域内飞行，求此正离子在磁场区域内飞行的时间及射出磁场时的位置。的时间及射出磁场时的位置。ao注注:画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）,偏角可由偏角可由 求出。经历时间由求出。经历时间由 得出得出 由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。r vR
29、vO/O22.在以坐在以坐标原点原点O为圆心、半径心、半径为r的的圆形区域内，存在磁形区域内，存在磁感感应强强度大小度大小为B、方向垂直于、方向垂直于纸面向里的匀面向里的匀强强磁磁场，如，如图所示。一个不所示。一个不计重力的重力的带电粒子从磁粒子从磁场边界与界与x轴的交点的交点A处以速度以速度v沿沿-x方向射入磁方向射入磁场，它恰好从磁，它恰好从磁场边界与界与y轴的交点的交点C处沿沿y方向方向飞出。出。23.分分布布在在半半径径为r的的圆形形区区域域内内的的匀匀强强磁磁场，磁磁感感应强强度度为B，方方向向垂垂直直纸面面向向里里电荷荷量量为q、质量量为m的的带正正电的的粒粒子子从从磁磁场边缘a点
30、点沿沿圆的的半半径径aO方方向向射射入入磁磁场，离离开开磁磁场时速速度度方方向向偏偏转了了60角角试求：求：(1)粒子做粒子做圆周运周运动的半径；的半径；(2)粒子的入射速度；粒子的入射速度；(3)粒子在磁粒子在磁场中运中运动的的时间解解.(1)设带正正电的的粒粒子子从从磁磁场区区域域射射出出点点为c，射射出出方方向向的的反反向向延延长线与与入入射射方方向向的的直直径径交交点点为O，如如图粒粒子子在在磁磁场区区域域中中运运动的的轨迹迹ac是是一一段段圆弧弧，它它的的圆心心O一一定定位位于于过入入射射点点a且且与与入入射射方方向向垂垂直直的的直直线上上由由于于粒粒子子射射出出磁磁场的的方方向向必必沿沿圆弧弧ac在在c点点的的切切线，故故连线Oc必必垂垂直直于于连线Oc.24.24.在半径为在半径为R R0.02m0.02m的圆内有的圆内有B B2.02.01010-3-3T T的匀强的匀强磁场，一个电子从磁场，一个电子从A A点沿点沿AOAO方向射入磁场，如图所示，离方向射入磁场，如图所示，离开磁场时电子获得开磁场时电子获得60600 0的偏转角度，试求电子的速度大小的偏转角度，试求电子的速度大小和在磁场中运动的时间和在磁场中运动的时间ovA600
