万学海文届钻石卡I阶VIP课程讲义高等数学习题训练答案.pdf

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1、 2014 届钻石卡学员2014 届钻石卡学员 I 阶段阶段 VIP 课程讲义课程讲义 高等数学 高等数学 习题训练精选答案 习题训练精选答案 万学海文教学与研究中心万学海文教学与研究中心 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 目目 录录 第一讲 函数、极限与连续性 . 1 第二讲 导数与微分 . 10 第三讲 微分中值定理及其应用 . 20 第四讲 不定积分 . 32 第五讲 定积分及其应用 . 38 第六讲 常微分方程 . 49 第七讲 多元函数微分法及其应用 . 56 第八讲 重积分（上） ） . 67 第九讲

2、无穷级数 . 77 第十讲 向量代数与空间解析几何 . 84 第八讲 重积分（下） . 88 第十一讲 曲线曲面积分 . 90 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 1 第一讲第一讲 函数、极限与连续性（函数、极限与连续性（P14） 一、选择题 1、 【答案】B 【解析】 因为当0x 时,224121(1 cos )ln(1)sin,(1)2nnxxxxxxxex?，,所以214n 满足题设条件的2n .故选 B. 2、 【答案】B 【解析】当1( )xn 时,11nnx ， nx1, 当1( )xn 时,11nnx

3、， 1nx1, (1/ )(1/ )1lim( )lim 1,xnxnf xxx (1/ )(1/ )11lim( )lim 1.xnxnnf xxxn 故1(2 3xnn， ， ）是( )f x的跳跃间断点.选 B. 3、 【答案】B 【解析】方法方法 1: ln22121ln2( ln2)2!xxexx , ln32131ln3( ln3)2!xxexx ( )232(ln2ln3)( )xxf xxx 故0x 时( )f x与x是同阶但非等价无穷小量. 方法方法 2: 000( )2322 ln23 ln3limlimlimln2ln31xxxxxxxf xxx, 0x 时( )f x与

4、x是同阶但非等价无穷小量. 4、 【答案】D 【解析】由21limlim02nnnxn 及 22n+1(2n+1)21limlim21nnnxn , 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 2 知 D 成立. 5、 【答案】D 【解析】220( )0xxf xxxx , 令xt 有22)0()0ttftttt , 220()0xxfxxxx . 6、 【答案】D 【解析】 取1/(2)(12)2xkk ， ，,则2211sin(2)2kxx.当k绝对值无限增大时,0x ,2211sin(2)2kxx 大于任意给定的正数M

5、. 取1/2(12)xkk ， ，,则211sin0xx.当k绝对值无限增大时0x . 因此0x 时,211sinxx是无界的但不是无穷大量. 7、 【答案】A 【解析】由 220012ln(1)()1limlim22xxabxxaxbxxxx 知 01lim()01xax 因此1a . 从而 000122(1)1 2 (1)1limlimlim222 (1)2(1)xxxabxxbxxbxxxxxx 即 1245/2bb . 8、 【答案】C 【解析】取2(12)2xkk ， ，,则当k无限增大时, ( )2222f xkk大于任给的正数M,故( )sinf xxx在() ，内无界.但2xk

6、时,( )0f x . 所以当x时,( )f x不是无穷大. 9、 【答案】D 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 3 【解析】+(/2)(/2)lim sin(tan )limsin(tan )xxxx及均不存在.2x 是第二类间断点. 10、 【答案】A 【解析】 因为函数单调有界,所以它在间断点处的左、 右极限必存在,因此只可能为第一类间断点. 11、 【答案】B 【解析】00000( )sin d( )( )sinlim0limlim0 10( )( )( )dxxxxxf tt tf xf xxg xg x

7、 xtg tt . 故0x 时0( )sin dxf tt t是比0( )dxtg tt高阶的无穷小.所以选 B. 12、 【答案】A 【解析】因为00sinsin11limarctan( 1)()limarctan12222xxxxxxxx ，.由极限存在的充要条件知0sin1limarctanxxxx存在.故选 A. 13、 【答案】C 【解析】用排除法 取1 000( )( )0 010xxf xxxx ，,则( )f x为有界函数,且lim( ) ( )0xf xx,满足 A 的条件,但lim( )0xx,故排除 A. 0x 时,( )0xx,取( )sinxx,则0( )lim10(

8、 )xxx ,满足 B 的条件,但0lim( )xx不为无穷大.故排除 B. 取 0( )( ),0 xxxf xxxxx为有理数为有理数为无理数为无理数 则x 时( )f x为无界函数,且lim( ) ( )0xf xx,满足 D 的条件,但lim( )xf x不存在.故排除 D. 14、 【答案】D 【解析】001lim ( )lim( )(0) 0xxg xfagx，=. ( )g x在点0x 处的连续性与a的取值有关. 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 4 15、 【答案】A 【解析】方法方法 1:由于(

9、)f x在1x 或2x 附近均出现无穷大的情况,故排除 B、C、D. 方法方法 2: 2sin(2)( )(1)(2)xf xxx 在( 10)x ，时,211( )1(2)2f xxx. 16、 【答案】D 【解析】/(1)001lim( )lim01xxxxf xxe 是第二类间断点 又/(1)/(1)111111lim( )lim1lim( )lim011xxxxxxxxf xf xee .故选 D. 二、填空题 17、 【答案】13x 【解析】因( )f u的定义域为04u,故(1)(1)f xf x的定义域为不等式组 014014xx 的解,即为13x. 18、 【答案】2ln 1x

10、 【解析】因 2e1g xfg xx ,故2( )ln 1g xx. 19、 【答案】2 【解析】因20ln 1( )lim2xf xx,故0limln 1( )0xf x.因0u 时,ln(1)uu?,故 2200ln 1limlim2xx+ f(x)f(x)xx. 20、 【答案】 13 【解析】原式4333301sinee2lim(0sin)xxxxxxxxxxx时， 3001ee2=lim sinlimxxxxxxxx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 5 -2000ee2eeee10limlimlim36

11、63xxxxxxxxxxx 21、 【答案】 21e 【解析】 1lim(1)lim()2xxxxf xx 222111lim.22(1) (11lim)2(1xxxxxxxe 22、 【答案】不存在 【解析】1( )( )0 ( ) 1g xf g xg x ( )2( )2( )2g xg xg x 11 12 0 121 1 12xxxxxeeeee 2 0 0 0 0xxexxex. 23、 【答案】13 【解析】因220001211lim( )limlim,333xxxxxexef xx 20300220sin d1lim( )lsin3im3lim,xxxxttxf xxx 故01

12、lim( )3xf x. 24、 【答案】2 【解析】因 lncos lnln(1)xxxxxxxx (1)x 而 ln1/limlim01xxxxx, 故 lnlim(1)xxxx ,因此原式2. 25、 【答案】1 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 6 【解析】原式=0sinsin(sin ) sin(sin ) sinlim1sin(sin )sintanxxxxxxx. 26、 【答案】0abe， 【解析】因0x 是( )f x的无穷型间断点,故0a ,否则0lim( )xf x .又1x 是( )f x的

13、可去间断点,而1lim (1)=0xx x,故1lim()=0xxeb,得be. 27、 【答案】4 【解析】 因图形关于2x 对称,故( )(4)f xfx.又( )f x为偶函数,则()( )fxf x,则由( )(4)f xfx得()(4)fxfx,故 ( )()(4)4f xfxfxT. 28、 【答案】2max 1,2xx ，; 【解析】当01x时,由lim0nnx ，2lim()02nnx得( )1f x 当12x时,1( )lim( )1 ( )2nnnnxf xxxx 当2x时,22222( )lim()( )122nnnnxxf xxx . 29、 【答案】4e 【解析】2l

14、im 1tan14nnn原式= 2tan114*12tan142lim 1tan14nnnnn 22tan1tan144exp limexp lim11nxnxnx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 7 22422sec244exp limexp2 lim sec.41xxxxexx 30、 【答案】14ab， 【解析】因 22000limlim1sincosxxxtxdtbtbxaxxax， 故 0lim(cos )01xaxa， 则 22001limlim()1 cos(1 cos )xxxxxxbxbx 02

15、12(lim)14sinxxbxbb . 31、 【答案】0 【解析】原式20lim ln(0lnxxxxx时,ln(1)lnlnxxxx? 0021lnlimlim011xxxxxx. 32、 【答案】2 【解析】原式=1112limlim(1)(1)2NNNNnnnn nn 1111112 lim(1)2 lim(1)222311NNNNN. 33、 【答案】12 【解析】原式coscos20(1)limxxx xxxeex x (0x 时,22ln(1)xx? coscos3001limlimx xxxxxxeex (0x 时,cose1cos )x xxxxx? 30coslimxxx

16、xx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 8 2001 cossin1limlim.22xxxxxx 34、 【答案】0 【解析】2211 limsincos2xxxxx2221sin(1/) 1limcos(2)1/xxxxx xxx 2221sin(1/)1limlimlimcos1 1 00(2)1/xxxxxxx xxx 三、解答题 35、 【解析】2200( )ln(1 2 )( )ln(1 2 )lim44,lim0xxxf xxxf xxxx其中 222(4)ln(1 2 )( )2(4)ln(1 2

17、)2( )xxf xxxxf xxxx 222000( )2(4)ln(1 2 )2ln(1 2 )2limlim4limxxxf xxxxxxxxx 2000022ln(12 )22(1 2 )24(12 )limlimlimlim222 (1 2 )2(12 )xxxxxxxxxxxxx 200( )2ln(1 2 )2lim4lim6xxf xxxxx. 36、 【解析】 0x时，sin 2xxx，tanxx， tantan ln(sin )ln(sin )000lim(sin )limlimxxxxxxxxxxxxee . 37、 【解析】 当n时，1 23 3nnn，2sin 2nn

18、n故 112sin2lim(123 )lim(3 )3nnnnnnnn 38、 【解析】 2220001sin1sin1sinlimln()limln1(1)lim(1)xxxxxxxxxxxx (sin1)00lim1x xxxee 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 9 2322000sincos1/ 21lim()lim()lim()336xxxxxxxxxx 39、 【解析】 222222200001sectanarctancos121limlimlimlim2cos(1)22 xxxxxxxxxxxxxxx

19、x. 40、 【解析】 353333442331212tanarctan1 2limlimlim03103103 10sinarcsinxxxxxxxxxxxxx 41、 证明： 令函数( )( )F xf xx， 由题意可知有(1)(1)10Ff ，(0)(0)0Ff，当(1)0F时，此时1；当(0)0F时，0；当(1)0F，(0)0F时，则必有(1)0F，(0)0F，此时有(1)(0)0FF，由零点定理可至少存在一个使得( )( )0Ff。命题得证。 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 10 第二讲第二讲 导数与

20、微分（导数与微分（P28） 一、选择题 1、 【答案】A 【解析】 因两曲线相切于点1(2)2，,故相交于该点.将122xy，代入2yaxb中得142ab,又相切于该点,故切线的斜率相等,则导数相等,则212axx.将2x 代入得116a ,故34b . 2、 【答案】D 【解析】设( )( )( )( )fxg xf xg xC.例如( )sin1f xx，( )sing xx，那么，( )( )fxg x,但( )( )f xg x,故不选 A. ( )2f x ，( )sing xx， 则( )( )f xg x， 但( )0fx，( )cosg xx，( )( )fxg x不成立，故不

21、选 B.类似可证 C 不成立，故选 D. 3、 【答案】C 【解析】00000000()()()()limlimlim0()xxxyfxfx dxyfxfxdyyxyyyfxx ?. 4、 【答案】B 【解析】3( )2 ( )(2( ),)fxf xxfxf 22241( )( )3 2( )( )3!( )( )3!( ),( )!( ).nnfxf xfxf xf xf xfxnf x 5、 【答案】B 【解析】因( )f x在0x 处可导,故其在0x 处必连续, 00cos lim( )lim(0)0xxabxf xfx则， 0 lim(cos )0 0.xabxab所以得 2014

22、届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 11 0( )(0) (0)limxf xffx由 200(cos )/0coslimlimxxabxxabxxx 200cossinlimlim,22xxaaxaxaxx 00( )(0)(0)limlim1.xxf xfxfxx 又( )f x在0x 处可导,则(0)(0)ff,故12a,得2a . 将2a 代入0ab中得2b . 6、 【答案】C 【解析】 由 3340( )20xxf xxx ， 得 22120( )0060xxfxxxx ，, 240( )00120xxfxxxx

23、，, 而0240(0)lim=24xxfx, 0120(0)lim=12xxfx, 因(0)(0)ff,故(0)f 不存在. 7、 【答案】B 【解析】00( )(0)lim( )lim(0)xxf xfF xfx ( )f x为奇函数,(0)0f) 而( )F x在0x 处无定义,故0x 是( )F x的可去间断点. 8、 【答案】D 【解析】因可导周期函数的导函数是与( )f x有相同周期的函数,故 00(1)(1)(1)(1)(5)(1)lim2lim2( 1)22xxfxfffxffxx . 故曲线在点(5(5)f，处的切线的斜率为2 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义

24、高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 12 9、 【答案】D 【解析】排除法：设3( )f xx,排除 A；设2( )2xf x ,排除 B；设( )f xx,排除 C. 10、 【答案】A 【解析】sincos0( )00sincos0xxxxfxxxxx x , 00( )(0)sincos0(0)lim= lim2xxfxfxxxfxx, 00( )(0)sincos(0)lim= lim2xxfxfxxxfxx . 故(0)(0)ff,则(0)f 不存在. 11、 【答案】B 【解析】222( )4xxf xxx 因为已知函数在(0, 2)及(2, 4)都可导

25、,而有不可导的点只能是2x .或用导数的定义求(2)f及(2)f也可以. 12、 【答案】C 【解析】2200sin/21sin2(0)limlimxxx xxxxxfxx 00cos41sin4limlim222xxxxxx 2cossin( )2(0)xxxfxxx 20000cossincossincoslim( )lim2lim22sinlim22(0),2xxxxxxxxxxxfxxxxf 故( )fx在0x 处连续. 13、 【答案】C 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 13 【解析】1211cossi

26、n01)( )00(0) 0nnnxxxnf xxxxf (注： 是用定义所求) 要使( )fx在0x 处连续,则必须0lim( )(0)0xfxf,故只有当10n 且20n时才可能(01limcosxx及01limsinxx都不存在),所以答案为3n . 14、 【答案】C 【解析】在关系式中令120xxx，,则(0)( ) (0)f xf x f.而( )f x 0,否则(0)2f ,故(0)1f. 15、 【答案】D 【解析】因()f axb与()f axb有相同的周期,而()f axb的周期为la,故()f axb的周期也是la. 16、 【答案】D 【解析】因0x 时,221xex?

27、， 21cos2xx?,故 2220000( )1 cos( )12lim( )limlimlim( )022(1)xxxxxxf xxf xf xf xx xxx e?. 又 00( )( )(0)11limlim(0)(0)12222xxf xf xfffxx. 二、填空题 17、 【答案】m 【解析】因()( )fxf x ,故( )f x为奇函数.又( )f x在0x处可导,则它在0x处必可导,且有 00000000()()()liml m)()(i()hufxuff xhf xxfxuhhfxmu . 18、 【答案】( )( )1(ln )(ln )( )f xf xfx efx

28、efxdxx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 14 【解析】因 ( )( )1(ln )(ln )( )f xf xyfx efx efxx, 则 ( )( )1(ln )(ln )( )f xf xdyfx efx efxdxx. 19、 【答案】18380 2 【解析】(20)2(20)2(19)2(18)20 19( )(cos2 )20 () (cos2 )() (cos2 )2fxxxxxxx 2(20)(19)18(cos2 )20 2 (cos2 )20 19 2 ( cos2 ),xxxxx 故

29、(20)18(0)380 2f . 20、 【答案】1 【解析】原式1( )(0)(0)111(0)( )(0)11(0) ( )(0)( )(0)limlim 1(0)(0)fffnnfffnnnnfffffnnff (0)0(0)1( )(0)1explim11(0)ffnffneefn. 21、 【答案】0 【解析】当x为无理数时,200( )(0)0limlim0xxf xfxxx当x为有理数时, 00( )(0)00limlim0xxf xfxx.故(0)0f . 22、 【答案】2 【解析】将26+10yexy x 两边对x求导得 6620yeyxyyx 将再对x求导得 2( )6

30、1220yyeye yxyy 当0x 时,由原方程知0y .将0x ,0y 代入得(0)0y,再将(0)0xyy代 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 15 入得(0)2y . 23、 【答案】2( )ba 【解析】若0b 时，则( )0f x ，故(0)0f .若0b 时，由导数定义可得 00( )(0)()()(0)imim0xxf xfabxabxfllxx 00()( )()( )=imimxxabxaabxab llbxbx =( )+( )2( ).baaba 24、 【答案】2(1)/ee 【解析】由原

31、方程知0x 时1ye.在方程两边对x求导得 ()/1/(1)0xyeyxyyyx， 将-1(0)e，代入后解得2(0)(1)/yee. 25、 【答案】!n 【解析】 00( )(0)(0)limlim (1)(2)()!xxf xffxxxnnx. 26、 【答案】(1 ln )dxxy 【解析】 ln()()( ln )(1 ln )yyyyydxd yd ey d yyyy dy， 故 (1 ln )(1 ln )ydxdxdyyyxy. 27、 【答案】1 【解析】0()1fx , 0000001limlim(2 )()(2 )() /xxxf xxf xxf xxf xxx原式=,

32、而 000(2 )()limxf xxf xxx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 16 00000(2 )()()()lim( 2) 2xf xxf xf xxf xxx 0002()()()1 , fxfxfx 故原式=1 28、 【答案】2(1 2 )tt e 【解析】22211( )lim (1)lim (1)ttxxtxxf ttttexx, 222( )2(1 2 )tttfxetet e . 29、 【答案】e 【解析】令1/ln(1)1( )xyf x,则ln 1( )lnln(1)f xyx 10

33、0( )1(0)limlnlim111( )11(0)xxfxfyf xxf , 10limxyee原式. 30、 【答案】4 【解析】由0( ) 1lim2( )sinxf xf xxx，在0x 连续可得0(0)lim( )1xff x .所以， 00( )(0)( ) 1(0)limlimxxf xff xfxx0( ) 1sinlim2 24.sinxf xxxxxx 31、 【答案】0 【解析】2( )lim1( )()xag xg xxa，连续 ( )lim ( )0xag ag x 又( )1 ()( )f xxa xag x ( )1( )1f ag a 故 2( )( )( )

34、( ) ()( )limlim0lim1 00.()xaxaxaf xf ag xg xxafaxaxaxaxa 32、 【答案】1 【解析】 00( )( )(0)limlim(0)cos0(0)sin01xxg xg xgggxx. 三、解答题 33、同 27 题 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 17 34、 32111(1)3(1)limlim( )( )xxxxxf xf t dt由于(1)0f，于是213(1)lim( )xxf x依然是一个“00型”的极限，继续用洛必达法则2113(1)6(1)lim

35、lim( )( )xxxxfxfx 对隐函数32210yxyxx 两边对x求导，得 222232203dydydyyxyyxxdxdxdxyx 有21122lim( )lim()03xxyxfxyx，所以16(1)lim( )xxfx依然是一个“00型”，继续用洛必达法则116(1)6limlim( )( )xxxfxfx于是求得1lim( )xfx是关键 222( )3dyyxfxdxyx 222( )( )()3ddyxfxfxdxdxyx 222(3)(2)(22)(61)(3)yx yyxyyyx . 当1x 时，( )0yf x，( )0yfx经计算( )2yfx，于是 31111(

36、1)6(1)6limlimlim3( )( )( )xxxxxxfxfxf t dt . 35、证明： （I）( )0f a ，设( )0f a ，由保号性，存在xa的某邻域U，当xU时，( )0f x 从而( )( )f xf x，xU， ( )( )( )( )limlim( )xaxaf xf af xf afaxaxa.因此( )( )x af xfa 若( )0f x ，则可得( )( )x af xfa 总之，当( )f a存在且( )0f a 时，( )x af x必存在 （II）若( )0f a ，则( )( )( )( )( )limlimlim,xaxaxaf xf af

37、xf xf axaxaxa 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 18 ( )( )( )( )( )( )limlimlim( ) ;xaxaxaf xf af xf af xf afaxaxaxa 同理，( )( )( )( )limlim( ) ;xaxaf xf af xf afaxaxa 所以，( )f x在xa处可导( )( )( )0( )0fafafafa . 当满足上述充要条件时，( )0x af x 36、 （I）2200( )ln(1)lim2( )ln(1)(2),lim0xxxf xxxf x

38、xxx其中 2200(2)ln(1)(2)ln(1)( )lim( )lim1xxxxxxf xf xxx 又( )f x在0x 的某邻域内连续，则0(0)lim( )1xff x 200(2)ln(1)1( )(0)(0)limlimxxxxf xfxfxx 22200(2)ln(1)ln(1)lim2limxxxxxxxxx 00113(1)2lim2lim22 (1)2xxxxxxx. （II）又当0x 时，21( )2kF xxbx得到 22220000001111( )( )()() ( )2222lim1limlimlimxxkkkkxxxxF xxF xxtf xt dtxxt

39、f t dtxbxbxbxbx 220000100011() ( )( )( )( )( )( )22limlimlimxxxxkkkxxxxt f t dtxxf t dttf t dtxf t dtxf xxf xxbxbxbkx 012230000( )( ) 11( ) 11( )(0)limlimlimlim(1)(1)(1)xkkkkxxxxf t dtxf xf xf xfbkxbk kxbk kxbk kxx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 19 3300111131lim(0)1lim(0)13

40、,13,(1)(1)2(1)4kkxxffkkbbk kxbk kxbk k 37、 将2120arctancos01yutxtue duduu中的两式分别求微分，得 22211cos01ydxdttte dydtt ， 即22211cos1ydxdtttdyedtt， 所以2cosydyetdx， 从而222222cos ( 2)sin(cos )11yyyd ydetydyetetdxdxdtt， 将22cos1ytdyedtt代入上式，得222222( 2 )(cos )(1)sinyyd yy ettetdx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案

41、针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 20 第三讲第三讲 微分中值定理及其应用（微分中值定理及其应用（P49） 一、选择题 1、 【答案】B 【解析】因 f x在,a b内可导,所以 f x在,a b内连续,所以,对任何 ,a b, limlimlim0xxxfxffxfff,因此选B.也可以举出反例说明A、C、D不一定成立,由排除法可得选B. 例如： 2 1 1,2xf xxx, f x在1,2上有定义, 12,22ff ,当 1,2 ,0xf x,且 1fx.这表明： 1240ff ,在1,2内可导,但1,2内不存在使 0f x 的点, 214ff,在1,2内不存在使 21ff f的点,因

42、此不选A、D. 又例如 2 1 1,22 2 xf xxxx, 12ff,当 1,2 ,1xfx,这表明虽然 12ff在1,2内可导,但在1,2内,没有使 0fx的点,因此不选C. 若把题目中的条件“ f x在,a b上有定义”改为“ f x在,a b上连续”,则A就是零点存在定理,C就是罗尔定理,D就是拉格朗日中值定理,则A、B、C、D选项都是正确的. 2、 【答案】D 【解析】由拉格朗日中值定理 21111f xf xfe，,1x x.当x 时有，因此, 21lim1lim111xxf xf xe.要使 221limlim111xxa xab xbxaxbxx 必须 101 12aaabb

43、 即. 因此选D. 3、 【答案】B 【解析】举出反例说明A、C、D不一定成立,由排除法可得应选B. 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 21 例如： 2222sinsin, lim0,2cos,xxxf xf xfxxxx 取2,kxk 2,kfx当k , 2fx,因此不选A. 例如： 0sin , lim0xfxxfx,但 0limxfx0lim cos1xx,因此不选C和D. 综上所述,应选B. 4、 【答案】D 【解析】在A、B中没有函数 f x的一阶导数和二阶导数存在,因此谈不上00fx, 00fx.一个连

44、续函数的极值点和拐点可能是一阶导数、二阶导数不存在的点.例如 2 0 0xxf xxx在0x 连续但不可导,容易验证 f x在0x 处取得极小值.且0,0是曲线 f x的拐点,从这个例子也排除了C,由排除法选D. 事实上,可以证明D是成立的,不妨设 0fa,则 0fb,由导数的定义 limxaf xf afaxa0,由极限保号性质,存在10,当1,xa a时 0f xf axa,因而有当1,xa a时, 0f xf a即 f xf a.同理可得存在20,当2,xbb时 f xf b,这表明连续函数在,a b上的最大值在,a b内取得,即存在0,xa b使 0,maxxa bfxfx,此时0f

45、x也是极大值,由取得极值的必要条件得出00fx. 5、 【答案】C 【解析】设售出的商品的销售额为R,则aRPQPcPb. 要考察销售额R增加(或减少)与单价P的增加的关系,只需考虑R的符号,当0R 时,表明R随P的增加而增加,当0R 时,则表明R随P的增加而减少. 2abRcPb ,令0R 得 00abbPbabccc. 显然,当00PP时,0R ,此时销售额随P的增加而增加,当0PP时,0R ,此时销售 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 22 额随P的增加而减少,因此选C. 6、 【答案】D 【解析】由 fx存

46、在可得 fx连续,从而 f x连续.由 0limxf xx1有 00f,因此 0000limlim10xxf xff xfxx. 设 F xf xx,则 00F, 1,00FxfxF. 由 0Fxfx得 00F是 F xf xx的唯一极小值,因此它是 F xf xx的最小值,即对一切x, 00F xF.所以,对一切x有 f xx. 7、 【答案】C 【解析】设 f x11,0,pxx xpq,则 11,pfxx令 0fx,得 1x .又 21pfxpx, 110fp,因此1x 是 f x在0,的唯一极小 值 点,从 而 是 最 小 值 点,其 最 小 值 为 11110fpq ,所 以 又 在

47、0,上 10f xf,即在0,区间上,11pxxpq. 8、 【答案】C 【解析】由 0lim0xf xx得 0f 00lim0xf xfx,因此,曲线 yf x在 0x 处的切线方程为0y ,它就是x轴本身,所以选C. 就一般而言， 00f 则0x 可能是极值点,但本题属“四选一”.既然有“曲线 yf x在0x 处切线平行于x轴”,就应选此项,不必再考虑其它选项. 9、 【答案】B 【解析】因 211lim021xfxx,由极限的保号性质,存在0,当01x时 201fxx,又因2101xx,所以当01x时 0fx,因此 fx单调 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题

48、训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 23 递增,从而当11x, 10fxf,当11x , 10fxf,由取得极值的充分条件, 1f是 f x的极小值,因此选B. 10、 【答案】D 【解析】 f x不恒为常数, fx0.所以不选A. 如果B、C成立,则 f x为严格单调函数,与 01ff矛盾,所以不选B、C.由排除法选D.也可证D成立,在0,1上取一点0x,使 00f xf,因此 00f xf与 1f0f x异号,利用拉格朗日中值定理,存在12,0,1 使得 0100fxffx， 02011ffxfx 成立.显然1f,2f异号. 11、 【答案】C 【解析】由 2limlim1

49、0xaxaf xf af xf axaxaxa . 又因lim0xaxa， 所以 limxafxf axa0,即 0fa因此不选A、B. 利用极限的保号性,存在0,xaaxa有 20fxf axa.又因 20xa.因此 0f xf a,所以 f a为 f x的极大值. 12、 【答案】C 【解析】因0( )1lim1 cos2xfxx ,故(0)0( )ffx连续)；于是0( )1lim0sin2xfxx , 故(0)0( )ffx连续).由保号定理知,0,使()x ，时,( )0sinfxx.故当(0)( )0xfx ，,当(0)( )0xfx，,由第一充分条件知,(0)f 必是( )fx的

50、一个极大值. 13、 【答案】B 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 24 【解析】2133510(5)(5)39yxyx，.当5x 时,y不存在,且在5x 的左右, y异号,故(5,2)是拐点.虽然当5x 时,0y,但在5x 的左、右y不变号,故( )f x无极值点. 14、 【答案】B 【解析】因( )f x为偶函数且在0x 处可导,故(0)0f .又(0)0f ,由第二充分条件知0x 是极值点. 15、 【答案】C 【解析】由于( )f x为奇函数,故(0)0f.由拉格朗日中值定理知,介于0与1之间,使 ( )

51、(0)( )(1)( )f xffxM xf xM. 16、 【答案】B 【解析】方程两边对x求导得22220xyx y yy. 令0y得0(0)xy. 两边再对x求导得22222442( )20yxy yxyyxyx yyy.将0x 代入原方程中得1y ,故(0)0(0)20yy ，,所以函数在0x 点取极大值.又因函数只有一个驻点,故函数无极小值. 17、 【答案】B 【解析】 lim()( )lim( )xxfxafxfa,()xxa 因 lim( )0xfx,故lim( )lim( )0xff 即 lim()( )0xfxafx. 二、填空题 18、 【答案】1122sinsinxxx

52、x 【解析】只须考察sin xx在0,上的单调性. 因 2sincossinxxxxxx,令 cossinF xxxx, 00F, cossincossin0,0,Fxxxxxxxx ,所以cossin0xxx, 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 25 0,x,这表明sin0,0,xxx.因此sin xx在0,上是单调减少的当120xx时,12211222sinsinsin,xxxxxxxx即. 19、 【答案】0 【解析】任取定一点0,xa,对任意的0,xa,有 00220f xf xf xf xxx 00002

53、2M xxfxfxxfxxx,其中在x与0x之间.显然002lim0xM xxf xx,由夹逼定理,有 2lim0xf xx. 20、 【答案】2a 【解析】 fx在x与xa之间用拉格朗日中值定理得 fxafxfa(在x与xa之间) 当x 时, ,因此 limlim2xfxafxfaa. 21、 【答案】1212e是极小值,1212e是极大值,拐点是0,0,3233,22e和3233,22e 【解析】因函数是奇函数,只须讨论0x 时情形, 221 2xyex ， y 2246xexx,令0y,得12x ,令0y ,得0x ,32x .102y,所以12x 是极大值点,极大值是121122fe,

54、从而121122fe 是极小值.在0x 两侧y改变符号,所以0,0是拐点,在32x 两侧y改变符号,所以3233,22e 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 26 是拐点,同理3233,22e也是拐点. 22、 【答案】小 【解析】因xa是极值点,所以 0fa，于是有 111aafae ， fa 111aea0 (当1a 时,则10a ,11ae,当1a 时,则10a ,11ae),所以xa是极小值点. 23、 【答案】1x 【解析】方程3222221yyxyx两边对x求导,得 2642220y yyyyxyx， 整

55、理得 232xyyyyx 令0y,有xy,将其代入3222221yyxyx，得21210xxx.于是1x 是唯一的驻点.此时,1yx. 进一步判断1x 是否是极值点：将式变形得 232yyyxxy 对求导2326211yyyxyyyyy ,把1x ,1y , 10y代入上式,得 1102y,于是 y x的极小值点为1x . 24、 【答案】33 【解析】设 1xf xx,1x ,求 f x在1,上的最大值： ln121 lnxxxxfxexx,令 0fx,得0xe.当1xe时, 0fx,当xe时 0fx,因此0xe是 f x的唯一极大值点，所以它也是 f x的最大值点.比较2与33的值：663

56、2893,所以,数列最大项为33. 25、 【答案】单调减少 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 27 【解析】因 2f xxfxf xxx,所以只须判断 F xxfxf x的符号.由 0F x , 00,Fxxfxxa,得 0F x ,0,xa.因此 f xx 0,所以 f xx在0,a是单调减少的. 26、 【答案】22q 【解析】要求 33f xxxq零点的个数,须考察 f x在, 的性态. (1)求极值：令 2330fxx ,得1x , 6fxx，16f ,所以12fq是极大值, 12fq 是极小值,显然 1

57、1ff. (2)求单调区间: f x在, 1 内单调增加,在1,1内单调减少,在1,内单调增加. (3)求极限: lim, limxxf xf x .由(1)(2)(3)得当120fq且 120fq 时,即22q 时, f x有三个零点,分别在区间, 1 ，1,1， 1,内. 27、 【答案】 64 【解析】 为使 20f x ,只要53320xAx即35203xxA,设 35203g xxx,则A至少是 g x在0,内的最大值.令 24260151522gxxxxxx0 得10x ,22x ,32x (32x 和10x 不在定义域内,舍去). gx在2x 左右两侧由正号变为负号,所以 264

58、g是 g x的唯一极大值,因此它是 g x的最大值,所以A至少为64,有 20f x . 28、 【答案】11,ee 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 28 【解析】1xyx在1,e上连续,它在1,e一定能取得最大、 最小值,因此,求出函数在1,e上的最大、最小值就可得出函数在1,e上的值域. 1lnxxye1ln1lnxxexx1ln21 lnxxxex， 当1xe时,0y,所以1xyx在1,e单调增加.因此1x 时,y有最小值1yx =1, xe时,y有最大值1eyexe.于是函数1xyx的值域是11,ee.

59、29、 【答案】23151536,1222xxx 【解析】总成本函数是203520 102xCxxdx23152052xxx， 总收入函数是205165162xRx dxxx， 总利润函数是2315153622LRCxxx . 令0L 即210241220Lxxxx,12x ,2x (舍去).当12x 时0L ,当12x 时0L ,因此12x 是L在0,内唯一的极大值点,所以它是最大值点,因此当12x 时,总利润最大. 30、 【答案】35a 【解析】设Qcdp,求出c和d：由题设 6510.011 0.002cbbcdabbcdada ， 所以56bQbpa,则收益函数为256bRQpbpp

60、a. 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 29 令1060bRbpa 得35pa,又100bRa ,因此35pa是唯一的极大值点即最大值点. 31、 【答案】25年 【解析】根据连续复利公式,当年利率为,t年时的总收益为 R t的现值 tA tR t e,根据题意有 110.020.02551010ttttA teee. 令10.0251100.02010ttdAedtt得25t (年).当25t 时,0dAdt,当25t 时,0dAdt,因此25t 是 A t的唯一的极大值点,因此它是 A t的最大值点. 32、

61、【答案】713 【解析】设总收益为 R P,则 R PPQ p.因此 11dRdQP dQQPQQdPdPQ dp. 总收益对价格的弹性：222221923111192192ERP dRPPPQEPR dPPQPP , 221923 676192613ERPEP . 三、解答题 33、 【解析】221( )1dytdty xdxtdt 2222222231()12 (1)(1) 2141( )(1)1(1)tdt tttttyxdxdttttdt 令( )0y x得1t 当1t 时，53x ，13y ，0y . 13y 为极小值. 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题

62、训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 30 当1t 时，1x ，1y ，0y. 1y为极大值. 令( )0yx得0t ,13xy. 当0t 时，13x，0y；当0t 时，13x ，0y . ( )yy x的图形在13x 时为凸的，在13x 时为凹的，所以1 1( , )3 3为拐点. 34、 【解析】设这个函数为， 题 目 的 证 明 实 质 就 变 成 了 要 证 存 在 一 个满 足， 由 柯 西 定 理 ： ，于是命题得证 35、 【解析】( )( )F xf xx，因0( )1f x，且(0)(0)00Ff， (1)(1)10 Ff，由零点定理，(0,1) ，使得( )0

63、F，又因 ( )( )10 F xfx，所以( )F x单调，因此命题得证. 36、 【解析】先把绝对值“打开”,得出 f x的表达式. 11,01311,021311,211xxxf xxxxxxx f x在, 连续,分段点为0x ,2x ,显然 f x在分段点处不可导. 2( )g xx( )( )( )ffxabg x22( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )()()2ff bf af bf af bf affgg bg ababa abab 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨

64、 31 22222211,01311,021311,211xxxfxxxxxxx 当0x 时 0fx,当2x 时 0fx,因此当0x 或2x 时 f x无驻点.在02x内令 0fx得1x . 4023ff, 11f, lim0xfx,所以 f x在, 内最大值为 4023ff. 37、 【解析】边际成本 21400332Cxxxx. 收益函数 100100R xpxxxx,所以边际收益 50100R xxx. 利润函数 L xR xC x,所以边际利润 503L xRxCxxx. 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨

65、32 第四讲第四讲 不定积分（不定积分（P64） 一、选择题 1、 【答案】D 【解析】1(1)(1)(1)xxxxxx edxdxxxexxee. 设xuxe,则上式(1)duuu. 2、 【答案】B 【解析】因 lnln()()( ln )(1 ln )xxxxxxxeexxxx， 故 (1ln )xxxx dxxC. 3、 【答案】B 【解析】2ln(1)1(ln )(ln )axaxxxxa xaxaxax 221ln1 ln.(ln )(ln )xaxxaxaxaxxax 4、 【答案】A 【解析】 (sincos)2(sincos)2222xxxxdxC原式. 5、 【答案】A 【

66、解析】因( )cosxfxex,则1( )sinxf xexC .取( )sinxf xex ,于是 ( )(sin )cosxxf x dxex dxexC. 6、 【答案】C 【解析】因为 2cos2cossinsin2xCxxx 2sin2sin cossin2xCxxx 11cos2sin22sin222xCxx 11cos2sin22sin222xCxx . 故选C 7、此题考试大纲不要求，不用做 8、 【答案】A 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 33 【解析】因2( )3f xx,则23( )3F x

67、x dxxC.当1x 时,( )1F x ,故0C . 9、 【答案】A 【解析】因为2222211(1)(1) (1)(1)22xfxdxfxdxxC . 10、 【答案】D 【解析】11( sin2 )2cos2cos222xxx . 11、 【答案】C 【解析】11(2 )(2 ) (2 )(2 )22fx dxfx dxfxC. 12、 【答案】A 【解析】因为22sincoscos2222xxx. 13、 【答案】C 【解析】由于( )f x的任意两个原函数只差一个常数，图像可以通过上下平移相互得到. 14、 【答案】C 【解析】由于2214lncos22sin2tan233 cos

68、23xxxx ，故43k . 15、 【答案】B 【解析】由于函数( )cosf xx在区间0,1上有定义，在A、C、D选项的区间中都没有定义，事实上，令tx，则2xt，2dxtdt， cos2 cos2 sin2 sin 2 sin2cos2sin2cos.xdxttdttttdttttCxxxC 16、 【答案】B 【解析】根据不定积分的定义可直接得出. 二、填空题 17、 【答案】2xx eC 【解析】( )( )( )( )xfx dxxd f xxf xf x dx. 因xxe是( )f x的一个原函数,故( )()xf xxe ,则有 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程

69、讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 34 2( )()xxxxfx dxx xexeCx eC. 18、 【答案】(1)xexC 【解析】因xe是( )f x的一个原函数,故( )()xxf xee . ( )()xxxxxxxf x dxxe dxxd exee dxxeeC . 19、 【答案】3xC 【解析】33( )1( )fxfxdxxC 33( )( )fxxCf xxC. 20、 【答案】 323/30/21/3 1/6xCxxCxxCx 【解析】221max(, )xxxxx其他 231223220/30max(, )1/21/311x dxxx

70、Cxxx dxxdxxxCxxCxx dxx 故 因2max(, )xx是连续函数,故其原函数也是连续函数,则 321100lim()lim()32xxxxCCCC, 23211lim()lim()23xxxxCC216CC, 3223/30max(, )/21/3 1/6xCxxx dxxCxxCx 故. 21、 【答案】cot ln(sin )cotxxxxC 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 35 【解析】ln(sin ) (cot )cotln(sin )cotln(sin )x dxxxxdx 原式 22

71、coscotln(sin )cotcotln(sin )cotsincotln(sin )(csc1)cotln(sin )cot.xxxxdxxxxdxxxxxdxxxxxC 22、 【答案】23,13 【解析】两边对x求导得221(2)(2 )cos(12cos )(12cos )ABABxxx, 故 2120ABAB,解之得2133AB ，. 23、 【答案】23/21(1)3xC 【解析】两边求导得21( )1xf xx,故21( )1f xxx，21( )xxf x, 222111(1)( )2dxxx dxx dxf x 23/223/ 21 21(1)(1)2 33xCxC .

72、24、 【答案】2arcsin2xC 【解析】 2()22arcsin2(4)4()dxdxxCxxx. 25、 【答案】ln xCx 【解析】2ln11ln11(ln1) ( )(ln1)xxdxxddxxxxx ln11 1ln11ln.xxxdxCCxx xxxx 26、 【答案】 ln(1)xeC 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 36 【解析】 (1)ln(1)111xxxxxxdxed edxeCeee . 27、 【答案】1xeCx 【解析】原式22(1)1(1)(1)xxxxxeeeedxdxdxx

73、xx 1()111111xxxxxxeeeeedxe ddxdxCxxxxxx. 28、 【答案】11cossin248xxxC 【解析】 原式111sin2cos2cos2244xxdxxxxdx 11cossin248xxxC . 29、 【答案】arctan( )f xC 【解析】22( )( )arctan( )1( )1( )d f xfxdxf xCf xf x. 三、解答题 30、 【解析】 ( )( )( )( )( )xfx dxxd fxxfxfx dxxfxf xC. 因( )f x有原函数lnxx,故( )( ln ),( )( ln )f xxxfxxx, 则 ( )

74、( ln )( ln )1 (1ln )lnxfx dxx xxxxCxCxC . 31、 【解析】因为2sincossin( )xxxxf xxx, 所以 2cossinsin( )( )( )xxxxxfx dxxf xf x dxxCxx2sincosxxCx. 32、 【解析】111lnln()ln(ln )111nnnnxxxxxdxxdxdxnnn 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 37 1112lnln.111(1)nnnnxxxxxdxxCnnnn 33、 【解析】原式11sin(ln )sin(l

75、n )sin(ln )1nnaxd axaxCn . 34、 【解析】 原式( )( )( )( )f x dxxfx dxf x dxxd f x ( )( )( )( )f x dxxf xf x dxxf xC. 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 38 第五讲第五讲 定积分及其应用（定积分及其应用（P81） 一、选择题 1、 【答案】C 【解析】因为( )f x是以l为周期的函数,所以 (1)(1)0( )( )( )aklklla klklf x dxf x dxf x dx， 故此积分与a及k均无关. 2

76、、 【答案】B 【解析】 0( )2( )2( )(0)xF xxft dtx fxf， 因0x 时,( )F x与2x是等价无穷小,故20( )lim1xF xx.则 220002( )(0)( ) limlim2( )(0)1 lim2(0)1 (0).2xxxx fxfF xxxfxfffx 3、 【答案】C 【解析】因为 22 11( )lim0 1,1 1nnnxxxf xxxxxx 故 12222120010111( )()(2)12222xxf x dxxdxx dx . 4、 【答案】A 【解析】因sinsintet是以2为周期的函数,故 222sinsinsinsin00(

77、)sinsinsinsinxttttxf xetdtetdtetdtetdt 而设2tu,则 2sinsin0sinsintuetdteudu 于是 2sinsinsinsin00sinsin()sinttttetdtetdteetdt. 又在0t，上,sinsin0 sin0tteet，, 故 sinsin0( )()sin0ttf xeetdt. 5、 【答案】D 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 39 【解析】两边对x求导得32() 3( )f xxx,故D正确. 6、 【答案】A 【解析】00()( )()

78、()xxutxf t dtfudu0( )( )xf u dux ,故( ) x为奇函数. 7、 【答案】B 【解析】方程两边对x求导得sin0yeyx,故sinyxye . 又由02sin0yxte dttdt得： 02cos0yxtet . 故1cos01cosyyexex ,则sin1 cosxyx . 8、 【答案】D 【解析】 212222221(1)(1)(1)dxdxdxxxx. 而 1122211(1)1dxxx , 故此广义积分发散,推出222(1)dxx亦发散. 9、 【答案】D 【解析】因62sincos1xxx为奇函数,故0M ,而 366222022236622202

79、2sincos02cos0,sincos02cos0,NxdxxdxxdxPxxdxxdxxdx 故NMP. 10、 【答案】A 【解析】因 101110sinsinsindxdxdxxxx. 而 1100ln(csccot )sindxxxx , 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 40 故此广义积分发散,则11sindxx亦发散. 11、 【答案】B 【解析】0300( )( )(0)(0)limlimxxxtf t dtxxx 2000( )( )1( )(0)1limlimlim(0).3333xxxxf x

80、f xf xffxxx 12、 【答案】D 【解析】方程两边对t求导得 2(1)1( )0xex t. 故 222(1)(1)(1)( ),( )2(1)( )xxxtx tex texex t. 当0t 时,10100xe dt,故0x ,则2(0)(0)2xexe，. 13、 【答案】A 【解析】设utx ,则 000sin()sinsinxxxtx dtuduudu 故 0( )sinsin()sinxf xuduxx . 14、 【答案】C 【解析】设1ux ,则222111(1)000xuxbedxe due dxa. 15、 【答案】A 【解析】设uxt,则00( )()( )xx

81、F xxf xt dtxf u du 故 0( )( )( )xF xf u duxf x. 因( )0fx,故( )f x单调增加.当0x 时,( )(0)0f xf,此时( )0F x,故( )F x单调增加.又( )2 ( )( )Fxf xxfx,因( )0( )0fxf x，,故( )0Fx,则曲线( )yF x为向上凹的. 16、 【答案】D 【解析】( )0f x 既是奇函数又是偶函数,而( )0aaf x dx,020aaaadxdx,故排除A、B. 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 41 设32

82、10( )3/4 01xxf xxx ,是非奇非偶函数,但 210131103( )04xf x dxx dxdx, 故排除C. 当然直接验证D也可.因0( )( )xF xf t dt,故 002002 ()( )() ( )( )( )( ).x Txt u TTTxxTTF xTf t dtf uT duf u duf u duf u duf u du 又因( )f x为奇函数,故22( )0TTf u du,得 0()( )( )xF xTf u duF x. 由此知( )F x是以 T 为周期的函数. 17、 【答案】D 【解析】 对于21sin0( )00xxf xxx ,因200

83、1lim( )limsin0xxf xxx,故11( )f x dx为定积分.又21sin0( )00xxf xxx 为奇函数,故11( )0f x dx. 18、 【答案】C 【解析】设utx,则1001( )( )xf tx dtf u duxx,故20( )xf u dux,两边对x求导得( )2f xx. 二 、填空题 19、 【答案】203 【解析】因2max 1,x为偶函数,故 2322122222001120max 1,2max 1,212 133xxdxxdxdxx dx. 20、 【答案】arctan4 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答

84、案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 42 【解析】原式=22200( )arctan( )arctan()arctan(0)21( )df xf xfffx. 而 22222000cos(sin )()arctan(sin )arctan121 sin1 sin4tdxfdtxtx， 020cos(0)01 sintfdtt，故原式arctan4. 21、 【答案】14 【解析】两边对x求导得2(2) 21f xx,即21(2)2f xx.设222x ,则 2(0,4 )xx,故1(2)4f. 22、 【答案】524 【解析】原式230sin1lim4xxxxx， 而 33222sin(

85、)1()3!xxxxxxx ， 故 原式332230()1()3!lim4xxxxxxxx 33333001(1)()5/6()53!limlim42444xxxxxxx. 23、 【答案】142(1)e 【解析】设2tx,则24( )2ttf te,故 22221111114444411000( )22()22(1)22ttttttf t dtedte dtd eee. 24、 【答案】0 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 43 【解析】设( )( )()xf xfx,则()()( )( )xfxf xx,故(

86、)x为偶函数. 设2( )ln2xg xx,则2()ln( ), ( )2xgxg x g xx 为奇函数,故 2ln( )()2xf xfxx为奇函数,则原式0. 25、 【答案】1 cos/2/2 1/2xxxx 【解析】设uxt,则 00( ) ()() ( )xxf t g xt dtf xu g u du 0202()cos2()cos02xxxuuduxxuududxx 002200coscos1 cos2.coscos122xxxuduuuduxxxuduuuduxx 26、 【答案】3 【解析】设2tx,则22xt， 原式=220002122arctan(9)9333tdttd

87、tt tt. 27、 【答案】16 【解析】两边从0到1积分得 11002( )( )0f x dxf xx dx,故 1110002( )( )0f x dxf x dxxdx， 121100013( )0( )26xf x dxf x dx . 28、 【答案】2000 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 44 【解析】12121212322121212( )( )12( )limlimlim(12)3(12)3(12)xtxxxxxtfddtxfdfdxxx 122121212( )( )( )4lim4lim

88、2lim2 10002000.(12)2(12)1xxxxfdf xfxxx 29、 【答案】cos112b 【解析】111120000cos1cos(cos )cos()(1)111xxdxdxxdxxxx 10cos1sincos111.212xdxbx 30、 【答案】2()xf x 【解析】设22uxt,则 222001()( )2xxtf xtdtf u du， 故 2222220011()( )() ()()22xxddtf xtdtf u duf xxxf xdxdx. 31、 【答案】20224cos2cosxt dtxx 【解析】222000222222coscoscosco

89、s()()xxxddxt dtxt dtt dtxxxdxdx 20224cos2cos.xt dtxx 32、 【答案】121ae 【解析】11110000( )2( )2( )2( )f xdxf x dxx f xx fx dxx 102 (1)2( )fx fx dx 而 201( )(1)2xtxfxedtefax, 故 原式101222xaxedxx111002221.xxae dxaeae 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 45 33、 【答案】2 【解析】22202cos2cos2cos2utxux

90、 dxu dut dt 原式 4244400402cos22sin24sin22( cos2 )2.vtt dtv dvvdvv 34、 【答案】2 【解析】112211sincosarctan(cos)sinsinxdxx原式 arctan tanarctan( cot)22 arctan(cot)arccot(cot).222222 35、 【答案】 ln2 【解析】00011111xxxdxxdxeee原式 000(1)0ln(1)ln2.11xxxxxededxeee 36、 【答案】0 【解析】200(cos )cos(cos )sinfxxdxfxxdx原式 00000(cos )

91、cossin(cos )(cos )cossin(cos )(cos )cos0.fxxdxxdfxfxxdxxfxfxxdx 三、解答题 37、 【解析】解方程组()yx xayx得两曲线的交点为：0,0,1,1aa,故 130116aAxxa x dxa. 38、 【解析】当10x 时,211( )(1)2xxf xt dt, 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 46 当0x 时,20101( )(1)(1)12xxf xt dtt dt . 令( )0f x ,得121,12xx ,故 220121011122

92、xxAdxdx2 213 . 39、 【解析】 0022122xxVedxe. 40、 【解析】 20(1 cos )(sin )Aat d a tt 22222200(1 cos )(1 2coscos)at dtatt dt 222201 cos231 2cos2322tatdtaa. 41、 【解析】曲线所围成的图形如图所示 解方程组22sincos2rr得6,故 226464006611122sincos22sincos2222Sdddd 46061 cos21132sin224622d. 42、 【解析】因旋转曲面的面积为2baSydS,化成参数方程为 xyO 6 2014 届钻石卡

93、学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 47 222ttSy txy dt. 故 223222022sin3 cossin3 sincosSatattattdt 2324222001226sincos sin12sincos5atttdtattdta. 43、 【解析】圆锥的图如图所示 则11,bhzhzbbhbh,同理可得 1hzaah.则平行截面面积为 21 1hzS za babh. 20013hhhzVS z dzabdzabhh. 44、 【解析】22211112ln2ln222xAxdxxxx. 45、 【解析】双纽线的图形如

94、图所示 xyO 4yz O x b a 1a1b则A46、V故 47、解方A48、 240142Aa【解析】曲线 0aV a2 2a 2a lima【解析】曲线方程组31rr301212【解析】y 2cos2d 线的图形如图2xxedx220axx d e2202ae222aaee( )V a 44 线所围图形如3coscos得2cosd3122 2014 届针对性教学：2sin2a图所示, 220axx ed22x e 20axxd e224aee2222limaaae24lim44aae如图所示. 3,故 2313co21322121xx届钻石卡学员 I：一切以提高学240a. dx 20

95、02aaxe 222aae 21a. 214a44. 2osd2312dxx阶段 VIP 课程学生成绩为宗202axxedx 22xxe4lim42aae 54. 1. 程讲义高等数学旨 2002aae 224ae 学习题训练精选 2xdx 选答案 48 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 49 第六讲第六讲 常微分方程（常微分方程（P96） 一、选择题 1、 【答案】A 【解析】因00fx,故0x为 f x的驻点,将00fx代入得 0040yxy x ,故函数 yf x在0x点处取得极大值. 2、 【答案】A 【解

96、析】因11y 是齐次方程的一个特解,又齐次方程有另一个特解2lnyx,且12,y y线性无关,则齐次方程的通解为：12lnyCxC,故A正确. 3、 【答案】C 【解析】由题设2xyy ,解得222yxc ,故此曲线为椭圆. 4、 【答案】B 【解析】 因对任意闭曲线L, 20Lyf x dxf xxdy,则此曲线积分与路径无关,故QPxy,即 2fxxf x,解得 22xf xcex. 因 01f,故12c,3c ,则 322xf xex, 110043223xxf x dxxexdx. 5、 【答案】A 【解析】设utx，则 101f u dunf xx,故 10f u duxnf x.两

97、边对x求导得 f xnf xnxfx即 1 n f xnxfx. 设 yf x,则1 n ynxy,分离变量两边积分1 n dxdynxy,得1nnyCx. 6、 【答案】A 【解析】此时,1r 为二重根,故通解中应含12xcc x e项,又3,4ri ,则通项中含 34cossincxcx项,故其通解为1234cossinxycc x ecxcx. 7、 【答案】C 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 50 【解析】其特征方程为220rr,解得120,2rr,因2是特征方程的单根,故1k ,其特解形式为：*2xyx

98、 AxB e. 8、 【答案】C 【解析】由题设知 ,y xy xyx连续,且 300limlim1xxxypyqye, 000yy,所以0lim1xy , 从而 220000ln 122limlimlimlim2xxxxxxxy xy xyxyx. 9、 【答案】D 【解析】因二阶微分方程的通解中必含有且只含有两个独立的任意常数,显然A、B应排除.对于C,由于12lncoslnsinycxcx 12lnlnln cosln sinln cosln sinccxxcxx, 故C也应排除. 10、 【答案】B 【解析】将2,5pq代入得:250yyy,其特征方程为:2250rr,则 1,21 2

99、ri ,其特解应为cos2xex和sin2xex与特解形式不符,排除A. 将2,5pq 代入得:250yyy,其特征方程为:2250rr,则 1,212ri ,其特解应为cos2xex和sin2xex与已知特解的形式吻合,故选B. 11、 【答案】A 【解析】对22xxyyC两边对x求导得220xyxyyy,整理得 22yx yyx.故选A. 12、 【答案】A 【解析】由lnxyx得2ln1 lnyxx,代得微分方程有 21ln1lnlnxxxxy, 所以 222211lnxyxyyxx . 13、 【答案】B 【解析】因1xye,22xyxe,说明1r 是特征方程的二重根,又33xye,则

100、 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 51 1r 是特征方程的单根,故其特征方程为： 2110rr,即3210rrr . 因此所求三阶常系数线性齐次方程为0yyyy. 14、 【答案】C 【解析】因 2211212ttttttttyyyyyyyy, 则2212ttttyyyy为恒等式,故排除A. 因1133333ttttttyyyyyy,故132tyt ,它不是差分方程,排除B,而D是二阶差分方程即排除D.或因1332ttttyyyyt,故135ttyyt 是一阶差分方程. 15、 【答案】A 【解析】因为B无自由常

101、数,故可排除B.因其对应的齐次方程的通解为 3ttyCaC,故排除C.因23244 ,故排除D. 二、填空题 16、 【答案】221ycxy 【解析】 方程222xycx两边对x求导得222xxyyc,再与222xycx联立可求得:222yxyxy,则正交轨线的方程应满足222xyyxy,解得:221ycxy. 17、 【答案】1 【解析】方程24yyx的通解为 222224421dxdxxxxyexedxcexe dxcxce , 将 01y 代入得:0c ,故21yx,则当1x 时1y . 18、 【答案】12211211xxyee 【解析】此方程的特征方程为212120rrr,解得:11

102、22,rr ,故此方程的通解为1212xxyc ec e,代入初始条件解得12211211,cc,故有 12211211xxyee. 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 52 19、 【答案】sin2xyex 【解析】其特征方程为2250rr,解得1,212ri ,故250yyy的通解为 12cos2sin2xyecxcx. 因曲线 yy x经过原点且在原点处的切线与直线26xy平行,故 00y, 02y ,代入通解中得120,1cc ,故sin2xyex . 20、 【答案】12cossinxxyecxcxe 【解

103、析】因 22xyyye, 则它的齐次方程为 220yyy, 的特征方程为 2220rr, 解得1,21ri ,故的通解为12cossinxyecxcx. 设*xyAe为的特解,代入中求得1A,故的通解为 12cossinxxyecxcxe. 21、 【答案】sinxyxc e 【解析】设sinuy,则cosdudyydxdx,原方程变为xuue,故 dxdxxxueeedxcexc,即sinxyxc e. 22、 【答案】212yc xc x 【解析】设2yxu,则2yuxu,22yuxu,代入原方程得 23222220x ux uxux uxu, 即30x u,故0u ,由此得ux,则22y

104、x xx,故原方程的通解为212yc xc x. 23、 【答案】2xyee 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 53 【解析】原方程可变为xydyeedx,即yxe dye dx,积分得yxece. 将 00y代入得2c ,故其特解为：2xyee. 24、 【答案】2123xyxc xc e 【解析】 根据叠加原理,21xyye是相应齐次方程的另一个特解,且与3yx线性无关,所以原方程的通解为2123xyxc xc e. 25、 【答案】lnsin lnyxxaxC 【解析】对原方程分离变量并积分得lnsinlnc

105、oslnyaxxx dxC, 因为 sinlncoslnsinlncoslnlnxx dxxdxxxdx sinlnsinlnsinlnxdxxdxxxC, 所以,所求通解为lnsin lnyxxaxC. 26、 【答案】4,5 【解析】因为0ybycy的两个线性无关的解为21cosxyex,22sinxyex, 所以特征方程20rbrc的解为2ri ,故 224bii ,225cii . 27、 【答案】1211yc xc 【解析】设yp,则dpypdy ,原方程变为 2201dpppdyy,故 201dpppdyy. 若0p ,则21dppdyy,故21dpdypy,1ln2ln1lnpy

106、c, 211pcy,即 211dycydx.则 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 54 121dyc dxy,1211c xcy,1211yc xc . 若0p ,则yc,它不是此方程的通解. 28、 【答案】5950yyyy 【解析】 由1xye,22cosxyex为此齐次方程的解,知11r ,2,32ri是其特征方程的解,且最低的齐次方程的阶数为3,故其特征方程为1220rriri , 即 21450rrr,故 325950rrr. 则满足条件的最低阶数的常系数线性齐次方程为5950yyyy. 29、 【答案】

107、13ee 【解析】由111113333ttttttttyeyayeaeeeaee, 得31aee,故13aee. 30、 【答案】t 【解析】 11122ttt tt tyytf t . 31、 【答案】11.22ttWW 【解析】由题设,第1t 年的工作总额为1tW,则11.22ttWW. 三、解答题 32、 【解析】 00limlimxhhhf xhf xe f he f xf xfxhh 0010limlimhxhhef xf hfehh 0xxfef xef x, (在关系式 xyf xye fye f x中令0,0xy得 020ff，故 00f)即 ,xfxf xe解得 ,xf xy

108、cx e代入 00f得0,c 故 .xf xxe 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 55 33、 【解析】设yp,则dpypdy ,原方程变为 22dpyppdy,故 20dppypdy. 若0p ,则12dpdypy,故12dpdypy, 11lnlnln2pyc, 121pcy,即 121dycydx.则122 yc xc. 若0p ,则yc,它不是此方程的通解. 34、 【解析】原方程可变为 22xxy,即22xxy ,故 222222dydyyyxey edycey edyc 221224yyyce. 35

109、、 【解析】因为 yf x具有二阶导数,且 2fxfx, 所以 222fxfxfxf x , 整理得 0fxf x. 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 56 第七讲第七讲 多元函数微分法及其应用（多元函数微分法及其应用（P116） 一、选择题 1、 【答案】D 【解析】设, ,ln1xzF x y zxyzye,因为xzxFyze ,yzFxy , lnxzzFyxe ,0,1,120xF,yF0,1,110 ,zF0,1,10,所以由隐函数的存在定理知：方程ln1xzxyzye能确定x是, y z的具有连续偏导数

110、的函数 ,xx y zy是, x z的具有连续偏导数的函数,yy x z,不能确定z是, x y的具有连续偏导数的隐函数,zz x y(因为zF0,1,10不满足定理成立的条件). 2、 【答案】B 【解析】由( )( )urxfrfrxxr,所以 2222231( )( )( )uxxfrfrfrxrrr,同理可得 2222231( )( )( )uyyfrfrfryrrr, 2222231( )( )( )uzzfrfrfrzrrr.所以 222222132( )( )( )( )( )uuufrfrfrfrfrxyzrrr. 3、 【答案】A 【解析】因为题设所列4条性质的因果关系图是,

111、故选A. 4、 【答案】A 【解析】因为2241xxy,即224xxy是有界变量,又00limsin0xyky,所以 2224240000sinlimlimsin0xxyyxkyxkyxyxy,故选A. 5、 【答案】B 【解析】由二元函数,f x y在点00,xy极限存在及在该点连续的定义知B正确. 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 57 6、 【答案】C 【解析】因为( , )f x y在点00,xy连续是00( , )(,)lim( , )x yxyf x y存在的充分条件,故选C. 7、 【答案】A 【解析

112、】由极限与无穷小的关系,在点0,0的充分小的邻域内有 222( , )1f x yxyxy,其中00lim0xy,即 222222( , )f x yxyxyxy, 所以在点0,0的足够小的邻域内,在0xy 处( , )0f x y ,在0xy 处( , )0f x y ,故0,0f不是极值. 8、 【答案】A 【解析】由一阶偏导数在00(,)xy点连续知函数在00(,)xy处可微(证明可见各种高等数学的教材),但函数在00(,)xy处可微其一阶偏导数不一定连续. 如设222222221sin,0xyxyxyf x yxy 则 222001sin10,0limlim sin0xxxxxfxxx

113、, 222001sin10,0limlimsin0yyyyyfyyy, 22222222121,2 sincosxxfx yxxyxyxyxy 22222222121,2 sincosyyfx yyxyxyxyxy 因2000,00,01limlimsin0xyffxfy ,故函数,f x y在点0,0处可微.又22220021limcosxyxxyxy及00limxy222221cosyxyxy不存在,故00limxxyf及00limyxyf都不 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 58 存在,所以一阶偏导数不连续

114、. 9、 【答案】D 【解析】由二元函数( , )f x y在某00(,)xy连续性和可偏导性的关系可知：函数( , )f x y 在点00(,)xy处连续是函数( , )f x y在该点处存在偏导数的既不充分又不必要条件.例如： 函数( , )f x yxy在点(0,0)处显然连续,但偏导数不存在,所以函数在一点连续不是函数在该点偏导数存在的充分条件. 函数222222,0,( , ) 0, 0,xyxyxyf x yxy满足( ,0)0,(0, )0f xfy,从而在点(0,0)处00(0,0)( ,0)0,(0,0)(0, )0xyxyddff xffydxdy,故( , )f x y在

115、点(0,0)处两个偏导数都存在,但当点( , )x y沿着直线ykx趋于点(0,0)时,有 222222200limlim1y kxxxxykxkxyxk xk, 显然它随着k取值不同而不同,所以( , )(0,0)lim( , )x yf x y不存在,自然( , )f x y在点(0,0)处不连续. 所以函数在一点连续又不是函数在该点偏导数存在的必要条件.故应选D. 10、 【答案】C 【解析】由2220y xzyxy知( , )(0,0)lim( , )(0,0)0x yz x yz,所以( , )z x y在(0,0)点连续,排除A. 又对x有( ,0)0(0,0)0xz xz,对y有

116、(0, )0(0,0)0yzyz,所以函数 ( , )z x y在(0,0)点偏导数存在,排除B. 下面讨论函数( , )z x y在点(0,0)处的可微性.设(,)(0,0)zzxyz 222,xyxy 则有 23002220(0,0)(0,0)limlim()xyxyzzxzyxyxy , 其中22xy. 当(,)xy 沿着0xy 趋于(0,0)时, 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 59 2333022201limlim02 22 2()yxxxxyxxxy , 故按照定义知函数( , )z x y在(0,0

117、)点不可微.应选C. 11、 【答案】C 【解析】一方面, 2222( ,)()2(2 )xxxxddf x xx exex exx edxdx , 另一方面, 222( ,)( , )2( , )xyy xy xdf x xfx yx fx ydx222( , )xyy xx ex fx y , 比较两个计算结果可知应选C. 12、 【答案】D 【解析】zxy在点(0,0)处取极小值,但函数zxy在点(0,0)处两个偏导数均不存在,更谈不到(0,0)是zxy的驻点,所以0000(,)(,)0xyzxyzxy不是函数( , )zz x y在00(,)xy取极值的必要条件.又例如zxy在(0,0

118、)处(0,0)(0,0)0,xyzz但函数zxy显然在(0,0)点不取极值.所以00(,)0xz xy和00(,)0yzxy也不是函数( , )zz x y在00(,)xy点取极值的充分条件,应选D. 13、 【答案】C 【解析】因为22(,)()()f xy xyxyxy xy,令,xyu xyv,则有 ( , )f u vuv,故( , )f x yxy,所以( , )( , )f x yf x yyxxyxy.故应选C. 14、 【答案】B 【解析】引入函数( )( ,2 )xf xx,则( )( ,2 ( )xf xx.从而 12( )( ,2 ( )2( )( ,2 ( )xf xx

119、x fxx, 令1x 即得 12(1)(1,2 (1)2(1)(1,2 (1)ff (*) 可见为了求得(1)只需算出(1)与(1)的值并代入上式.由( ) x的定义可得(1) (1,2)f1.又因 12( )( ,2 )2( ,2 )xf xxfxx, 在上式中令1x 可得12(1)(1,2)2(1,2)(1,2)2(1,2)22 38xyffff ,把以 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 60 上结果代入(*)式就有 12(1)(1,2)2 8(1,2) ff (1,2) 16(1,2)2 16 350.xyf

120、f 15、 【答案】D 【解析】 因为函数2( , )yzf x yx是由连续初等函数复合而成，显然2zx y 与2zy x 均连续，故答案为D 16、 【答案】C 【解析】 显然选项（A）是函数( , )f x y在(0,0)连续的定义，函数连续是可微的必要条件而非充分条件，故（A）错误；选项（B）表示函数在的偏导数都存在，偏导数存在也仅仅是可微的必要而非充分条件，故（B）错误；选项（C）表示全增量是的高阶无穷小，与可微的定义看似不符，但我们从极限的运算中可知，一个值为0的极限通常蕴藏着丰富的信息。由 ， 同理得到。 于是有， ， 故（C）为可微的充分条件。 对于（D） ，仅表示在处连续，即

121、偏导数在处沿轴方向连续， 同理，只表示在处连续， 即在处沿轴方向连续。 如果要表示函数的偏导数在点连续，应该有如下式子成立。 ，( , )f x y(0,0)2200( , )(0,0)lim0( , )(0,0)( )xyf x yff x yfoxy( ,0)(0,0)( )f xfo00( ,0)(0,0)( )limlim(0,0)0xxxf xfofxx(0,0)0yf222200000( , )(0,0)(0,0)(0,0)( , )(0,0)limlim(0,0)(0,0)lim0 xyxxyyxyf x yffxfyf x yfxyxyzfdxfdy0lim( , )(0,0)

122、0xxxfx yf( ,0)xfx0x ( , )xfx y(0,0)x0lim( , )(0,0)0yyyfx yf(0, )yfy0y ( , )yfx y(0,0)y(0,0)000( ,0)(0,0)lim(0,0)lim( , )xxxxyf xfffx yx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 61 . 17、答案同7 二、填空题 18、 【答案】 【解析】设 , 则 , 故 . 19、 【答案】 【解析】因 , 故 . 20、 【答案】 【解析】联立,解得驻点. 在直线上,令得,故, ,. 在直线上,令

123、得,故 ,. 在直线上,令得,故 000(0, )(0,0)lim(0,0)lim( , )yyyxyfyfffx yy2232 xyxy22,lnarctanyF x yxyx2222222111xyxy xxyy xFdyxyyxdxFxyxyy x 222232211xxyyxyxyyd yxydxxyxyxy1112xzFFzxFaFbF 212yzFFzyFaFbF zzabxy11121aFbFaFbF1,02020zxyxzyxy0,01xy2331zxx63xzx 0xz 1 2x 11z 01z1 21 4z1yx21zyy21yzy 0yz 1 2y 011zz1 23 4

124、z1xy 2331zxx63xzx 0xz 1 2x 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 62 ,. 在直线上,令得,故 ,又,故. 21、 【答案】 【解析】 . 22、 【答案】 【解析】 , , 故 . 23、 【答案】 【解析】 , . 24、 【答案】 【解析】因两边对积分得 ,再两边对积分得 , 由时,得,故由时, 得,故,再令,得 ,故. 25、 【答案】 11z 01z1 21 4z 1yx 21zyy21yzy 0yz 1 2y 011zz1 23 4z 0,00zmaxmin1,0zz122200

125、1sin0sin(0,1)limlim1xxxxxxfxxz122221yzffzxxxfx 1211fzxyfx zzxyxy12121yzyfffxxxzfx21222fxfxzf121ufzfx 2ux z 11122212200ffxfz ffx 21222fxfxzfsinsinxyxy21,ux y y 1uyxxx ( , )u x yxyxy0x sin ,uy sin0yy sin0yy0y sin ,ux sin0xx sin0xx0x 000 ( , )sinsin00sinsinu x yxyyxxyxy12 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习

126、题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 63 【解析】因,故两边对求导得,所以 . 26、 【答案】 【解析】因,故, 又因,故由夹逼定理知,故. 27、 【答案】 【解析】因 , , 故 . 28、 【答案】 【解析】,将,代入已知函数得： . 设,故,则. . 29、 【答案】 【解析】,. 30、 【答案】 【解析】 , 故 . 2( , )1y xu x yx20uuxxy22111222y xy xuuxyxxx 0222xyxy2222110xyxyxyxxyyxxyyxyxy11lim0xyxylimxy220xyxxyy22limxyxyxxyy00 1( )p

127、xzdzudzxduxduu 1( )p yzdzudzyduyduu( )( )zzp yp xxy 01( )p x p yp y p xdzduu2 sin sincos sinxyyyuy(sincos )sinxyy0x 2sin,uy22sin(cos )1 cosyyy cosvy 21vv 2vv (sincos )2(sincos )xyxy uy2(sincos )xysin y2 sin sincos sinxyyy21222fxfxyf12zfyfx2zx y 11122220fxffyfx 21222fxfxyfx1212zyxfxyzf 12zfyyzf zzzyx

128、y212xyfxyf zyfxyzf 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 64 31、 【答案】 【解析】设, 则 ,解得：. 将代入中得. 32、 【答案】 【解析】各个方程两边对 求导得 , 将代入原方程组中得,再将,代入求导后的方程组中求得：,. 三、解答题 33、 【解析】 是以和为复合变量的函数，现在要求其单变量函数的表达 式 ， 必 须 用 变 量 代 换 令，解 出的表 达 式 ， 得 到，代入函数中，由于函数表示方法与用什么字母表示无关，于是将换成表示，得到 18, ,F x y z sin sins

129、inxyz2xyzcos sinsin0sin cossin0sin sincos02xyzFxyzFxyzFxyzxyz6xyz6xyzsin sinsinuxyz18u 0t21secsinxttttxttxyzexx extyt 0t 010xyz0x 1y 0z 0t 1tx 0ty 0tz (,)yf xyxxyyxuxyyvx, x y( , )u v,11uuvxyvv222(1)( , )()()111uuvuvf u vvvv( , )u v( , )x y2(1)( , )1xyf x yy 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性

130、教学：一切以提高学生成绩为宗旨 65 34、 【解析】【解析】 ， 。 。 同理，。由，代入得 ， 由题意值，满足式子 最终解得，或。 35、 【解析】、 【解析】由隐函数公式得，于是 又又（因为依然是的函数，因此要uuuuuxxxuuuuuabyyy22222222()()uuuuuuuuxxxxxxxx 222222uuu 2222222()()uuuuuuuux yyxyyyyy 22222()uuuabab 2222222222uuuuababy 2222241250uuuxx yy 2222222(5124)(5124)12()1080uuuaabbabab 225124051240

131、12()1080aabbabab2,25ab 2,25ba xyFdydxF 222()()()()xyyxxyyFFFFFd yddxdxFF (),()xxxxyyyxyydydyFFFFFFdxdxxF( , )x y 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 66 用到复合函数的求导法则） ，将其和一并代入中得， 36、 【解析】、 【解析】将方程写成隐函数的形式有 根据隐函数求导公式：， 又，将其代入上式得到 37、 【解析】、 【解析】 （1）对方程两边取微分得 （） （） （2）由（1）可知， 所以 ， xy

132、FdydxF 22d ydx222232()()()()xyxyyyxxxyxyyFF FFFFFFd yddxdxFFxzzexy( , , )0xzF x y zzexy11xzxzxxzxzzFzzeyyzexFxexe 22() (1)(1) ()()1(1)xzxzxzxzxzxzxzzyzeyzexexeyzex yyxexe 21()(1)()()(1)xzxzxzxzxzxzzzzezxexexe xyzeyyyxe11yxzxzzFzxxyFxexe 22331(1)xzxzxzxzzzx exeyx ex yxe 22() ()()()xdxydydzxyz d xyzxy

133、z dxdydz(2 )(2 )(1)(2 )(2 )1x dxy dydzx dxy dydz 1 22,11zxzyxy11222( , )()()111uzxyu x yxyxyxy22322(1)2(1)2(12 )1(1)(1)(1)xzuxxx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 67 yxO xtlny 1 e 第八讲第八讲 重积分（上） （重积分（上） （P130） 一、选择题 1、 【答案】C 【解析】由得,即积分区域的边界曲线方程为. 2、 【答案】B 【解析】曲线所围成图形如图所示,则 令得.

134、3、 【答案】D 【解析】原式. 4、 【答案】C 【解析】两圆之间的图形如图所示, 则由对称性知：, . 5、 【答案】D 【解析】的质心为,则, 故 . 6、 【答案】B 【解析】(交换积分次序) .已知连续,故. 7、 【答案】A 【解析】因为积分区域关于平面对称而被积函数是关于的奇函数,故. 8、 【答案】A cosra2cosrar22xyax2ln210223121 1,299exDIxtdxdydxxtdytete 212102Itte2114te10,yeedyf x y dx0x 4sin2202sin222sin7213Dydxdydr dryA D1,0xy1DIxdxd

135、yx A 2cos223202322222DDIxdxdyxydxdyx Adr dr1( )( )ttyF tdyf x dx11( )txdxf x dy11( )txf x dx( )f x 22212ttdFFtf tfdtxOyz0I xyO 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 68 Ox yyx 1x 2D3D 1D 1y yx 【解析】因,而, 则，,故. 9、 【答案】A 【解析】设所围,所围, 所围.因关于轴对称,是的奇函数,故;又因关于轴对称,是的奇函数,故. 则(见图), 同理 . 因关于轴对称

136、,是关于 的偶函数,故. 10、 【答案】C 【解析】设,则 既是的偶函数,又是的偶函数,既关于轴对称又关于轴对称,故 . 11、 【答案】A 【解析】 球面含在柱面内的部分在平面上的投影区域为,故 maxuuuugradfijklxyz2uyx2uxy2uzz (2, 1,1)2ux (2, 1,1)4uy(2, 1,1)2uz gradf 2,4,22 61:1,0Dyyx x2:,1Dyx yx x 3:,Dyx y ,1x y 3Dy,f x yxyx30Dxydxdy 2Dx,f x yxyy20Dxydxdy 320DDDxydxdyxydxdyxydxdyD2cos sin0Dx

137、ydxdy 3Dy,cos sing x yxyx31cos sin2cos sinDDxydxdyxydxdy2221:,0,0Dxyaxy,f x yxyxyDxy14320044cos sin2aDaIxydxdydrdr2222xyza22xyaxxOy:D22xyax2222221xyDAzz dxdyzaxy2222222221Dxydxdyaxyaxy 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 69 . 12、 【答案】B 【解析】 (设) . 13、 【答案】A 【解析】设 , 则 . 14、 【答案】B

138、【解析】因 ,故, 则 . 15、 【答案】B 【解析】用极坐标计算,则, 原式. 16、 【答案】B 【解析】 (设) . 17、 【答案】D 【解析】仅当被积函数时, ,而A中在 12222222DDaadxdydxdyaxyaxy 221:,0Dxyax ycos22200aadrdrar 22200ayDy dxdydxy dy3203aydxsinxa tt22343440011351 cossin1 cos3312atd a ttatdta221:1Dxy222:14Dxy12222211DDIxydxdyxydxdy212222000111drrdrdrrdr 1100f x d

139、xxf x dx 11000f x dxxf x dx 11110000( )xxDf x dxdydxf x dyf x dxdy 11100010f xx dxf x dxxf x dxcos ,sinxryr0212r 2220111sin2cos2 cos2cos4drdrr 22200ayDy dxdydxy dy3203aydxsinxa tt22343440011351 cossin1 cos3312atd a ttatdta( , )0f x y ( , )0Df x y d( , )1f x yx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针

140、对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 70 O 中不总是,故A不正确,同理B、C也不正确.故应选D. 18、 【答案】B 【解析】本题中的积分区域关于坐标轴不对称, 但添加辅助线可以将区域分割成分别关于轴或轴 对称的四个区域.作曲线,则被分割成 四个小区域,其中与关于轴对称, 与关于轴对称,从而 , 又利用函数关于或都是奇函数就有 . 类似利用函数关于是偶函数,关于是奇函数又有 . 故应选B. 19、 【答案】D 【解析】积分区域的图形如图所示,则 . 20、 【答案】D 【解析】交换积分次序得： . 21、 【答案】C 【解析】积分区域D关于 y 轴对称，C选项中的被积函数是关于 x 的偶函数

141、，所以选C. 22、 【答案】A 【解析】因被积函数在闭区域上是抽象函数,故无法用先求出二重积分的方法去求极限,因此考虑用中值定理先去掉积分号再求极限. 因为在上连续,由积分中值定理可知,在上至少存在一点使 .因为在上,所以当时, .于是:1,1D xy( , )0f x y DDxy3,0yxx D1234,D D D D1D2Dy3D4Dx22sinsinxxDDDxyey dxydeydxyxy12340DDDDDxydxydxyd2sinxeyxy222212341sinsinsin2sinxxxxDDDDDDeydeydeydeyd31cos334200001sincossincos

142、48Idrdrdrdr11112222200001412xydyxy dxdxxy dyx dx( , )f x y222( , )|Dx yxyt( , )f x yDD( , ) 2( , )( , )Df x y dt f ( , ) D0t( , )(0,0) xy1 -1 O 1DDD4D-1 1 y 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 71 .应选A. 23、 【答案】D 【解析】 因为积分区域关于轴对称， 亦关于轴对称， 要使题设等式成立，被积函数必须是关于和均为偶函数，即且，故选D. 24、 【答案】

143、B 【解析】做辅助先将积分区域化为四部分，根据被积函数奇偶性和积分区域关于坐标轴对称的匹配性知：原式 二、填空题 25、 【答案】 【解析】所给曲面的切平面的法线向量为： ,因切平面垂直于平面,故 ,则,又因切平面垂直于平面,故 ,则,将,代入曲面方程解得 ,故,则切平面方程为,即. 26、 【答案】 【解析】曲面的方程为,其被两圆柱面所截在平面上的投影区域为 ,由曲面面积的计算公式得 . 27、 【答案】 2( , )(0,0)01lim( , )lim( , )(0,0)tDf x y dfft 221xyxyyx(, )( , )fx yf x y( ,)( , )f xyf x y3,

144、yx 2 3012210222.3Dy dxdydxy dy20xy2,2,2nxyyxz0z 2,2,20,0,10xyyxz0z 10xy 2,2,21,1,00xyyxzxy 0z xy xy 11, 1,0n 110xy20xy3 2422zxyxOy22:2D yxyy221xyDAzz dxdy2222221DxyAdxyxy2213 2222124DDdd0 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 72 xO 1DD yx13 【解析】因为积分区域关于直线对称,而被积函数是关于的(的)奇函数,故原二重积分的

145、值为. 28、 【答案】 【解析】 (注：如图所示) 29、 【答案】 【解析】令,则由 得. 30、 【答案】 【解析】因匀质的平面图形的质心的公式为：, 故,且,故,则 . 31、 【答案】 【解析】,则 (如图所示). 32、 【答案】 00xy22xy xyxy08312333DDDyxdyx dyx d251123320033sin3 cossin3cosdrrrdrdr dr8312,D Dcsc2204df rrdrcos ,sinxry0,01xyy,0csc42r54DxdxADydyADxdAxDydAy22111:222Dxy12A1152323232224Dxy dxy

146、 A 43min,yxyx yxxy 12131000min,yyDDDx y dxdyydxdyxdxdydyydxdyxdx4341xy y x 3yx2DO 1D y 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 73 【解析】两边在区域上二重积分得： , 即. 设,又,则,解得 ,故. 33、 【答案】 【解析】将原二次积分改变积分次序得 . 34、 【答案】 35、 【答案】 【解析】 曲线的方程两边对求导得：,代入点解此方程组得：,故曲线在点处的切线的方向向量为.设过已知直线的平面束方程为：,即 . 因平面平行于切

147、线,故平面的法线向量与切线的方向向量垂直,即 , 解得,代入平面束方程中得：. 36、 【答案】 【解析】. D2,1DDDxyf x y dxdydxdyf x ydxdy2,DDDDf x y dxdyxydxdyf x y dxdydxdy,DAf x y dxdy110014Dxydxdyxdxydy21104AA 2A 2,141Df x yxyf x y dxdyxy 12132211113330000112123111yxxyyydxdydyxdxdyyyy2011,xdxf x y dy3912170xyzx22120xxxxxy yz zyz(1, 1,2)32xxyz (1

148、, 1,2)1,3, 2l 21230xyzxyz 121 21 30xyz 11231 220 52 3912170xyz48a24cos2223424400004cos 28aDaIxydxdydr drad 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 74 37、 【答案】 【解析】交换积分次序得：. 38、 【答案】 【解析】交换积分次序得 . 39、同 32 题 40、 【答案】 【解析】因连续,从而在积分区域上可积,故可设 ,于是,从而有等式 因此, . 41、 【答案】 【解析】引入极坐标,则, 且 令,则 .

149、 故. 42、 【答案】 【解析】由题设知 , 于是,令 1arcsin0arcsinyydyxdxsin000sinxxdxdyxxdx412e2222222224000001122yyyyyxdxedydyedxyedyee 424xay( , )f x y( , )f x y222xya222( , )xyaf x y dxdyA2( , )f x yxAy2222232004234200()0sin11 4sin4.2 2 44axyaaAAxydxdyAdrdradr dra 42( , )4f x yxay1(1)2ecos ,sinxryr( , )|02 ,0Drr2222()

150、22200cos()cos()xyrDexyddrerdr222002cos() cosrtrerdr rtetdt0costIetdt01sin1(1)2tIe dteIIe 22()221cos()(1)2xyDexyde14(),01,1,( ) ()0, x yxxyxf x g yx若且0其他,1( , )|01,01Dx yxyx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 75 , 则 43、 【答案】 【解析】引入极坐标,则 , 故 44、 【答案】 【解析】被积函数可以写成22lnxy,且积分域是以极点为中

151、心的圆环域,故适合在极坐标系中计算二重积分. . 1222ln()DIxydxdy. 评注：评注： 当二重积分的被积函数是以为变量的函数,且积分区域是圆域或圆域的一部分( , )|01,1x yxxyx1( ) ()()DDIf x g yx dxdyx yx dxdy1101100()2111().224xxxdxyx dyxxx dxxdx964cos ,sinxryr( , )|,0cos22Drrcos22202( cossin)Idrrrdrcos342220cossin34rrrrd424222211cossincos34dd 424220021cos(1cos)cos32dd 4

152、62200211()coscos322dd 7 3 11 5 3 19.6 4 2 22 6 4 2 2642(1)2ecos ,sinxryr( , )|02 ,1Drre222210111lnln(1)2eeedrrdrrrrdrer22xy 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 76 时可设化为用极坐标计算二重积分. 45、 【答案】 【解析】方法一：方法一：交换积分次序, , 于是 方法二：方法二：设,则,于是 评注：评注：关于变量和是对称的,因此在以 为边界构成的正方形区域上的二重积分等于的2倍. 46、 【

153、答案】 【解析】被积函数仅是的函数,交换积分次序即可化为定积分. 由二次积分的积分限可知 , 故 三、解答题 47、 【答案】22.2()ababab 48、 【解析】原式 = cos ,sinxryr212A111100000( ) ( )( ) ( )( ) ( )yxxdxf x f y dydyf x f y dxdxf x f y dy1111100001( ) ( )( ) ( )( ) ( )2xxxdxf x f y dydxf x f y dydxf x f y dy1100211001( ) ( )21( )( ).22dxf x f y dyAf x dxf y dy(

154、)( )F xf x10( )(1)(0)f x dxFFA111100( ) ( )( )( )xxdxf x f y dyf x F ydx10( ) (1)( )f x FF x dx122220111(1)( ).222FAFxAAA( ) ( )f x f yyx( ) ( )f x f y1,1,0,0yxxy110( ) ( )xdxf x f y dy()0( )()am a xef x ax dxx ( , )|0,0( , )|0,Dx yyaxyx yxa xya()()000( )( )ayaam a xm a xxIdyef x dxdxef x dy()0( )()

155、.am a xef x ax dx1122220011cos2211Dxrddrdrxyr21122220000cos2211rrddrddrrr 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 77 第九讲第九讲 无穷级数（无穷级数（P149） 一、选择题 1、 【答案】C 【解析】因绝对收敛,条件收敛,故条件收敛. 2、 【答案】C 【解析】, 故 . 3、 【答案】A 【解析】因级数发散,收敛,故发散. 4、 【答案】B 【解析】因,故,则当,即时级数收敛. 5、 【答案】A 【解析】因发散,则发散,故当时,由比较判别法知

156、发散. 6、 【答案】C 【解析】由 , 故 .因级数在时收敛(即),故 时,级数收敛. (ln2 1)22211nnkn11nnn211nnknn122311111111111nnnnSbbbbbbbb11111111limlim0nnnnSbbbb11nn31cosnnan31cos1nnann1124lim41224nnnnn42R 252x 73x 1nna1nnannab1nnbln2lnln2lnln2lnln ln2lnln22nnnnnnlnln2ln211112nnnnnnP1P ln211ln2ln12nn 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练

157、精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 78 7、 【答案】B 【解析】 若都收敛,则收敛,则原级数绝对收敛,故可排除A.若,中一个收敛一个发散,则级数发散,这与已知条件条件收敛矛盾,故可排除C、D. 8、 【答案】B 【解析】, 因,故与同敛散性.而,则由发散知 发散,故原级数不是绝对收敛.因,且单调减少,故其条件收敛. 9、 【答案】D 【解析】设,则级数是交错级数,因, ,故收敛,又发散,故条件收敛,而发散,故可排除A、B、C. 10、 【答案】B 【解析】,因,而收敛,故绝对收敛. 11、 【答案】C 【解析】因 ,又,故 收敛.而 ,由 发散,知 都发散. 12、 【答案】B

158、 1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu22sin1sinlnlnnnnnnnsinlnlim1 lnnnn2sinlnnn21lnnn11lnnn21nn21lnnnlimsin0lnnnsinlnn11nnun 111nnn1lim0nn111nn111nnn11111nnnnn111nnn2111nnnun11sin!nnnnxun1!nun11!nn1sin!nnxn1limln 10nn11ln 1ln 11nn111ln 1nnn22ln 1 1limlim111nnnnunn11nn21nnu 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教

159、学：一切以提高学生成绩为宗旨 79 【解析】 因为可看作是去括号后所得的级数,由级数的基本性质知：收敛级数加括号后仍收敛若加括号后所得级数发散,原级数必发散而当加括号后所得新级数收敛时,原级数未必收敛,故选B. 13、 【答案】D 【解析】因为为正项级数,又,所以当时级数发散,当时级数收敛,即A、B均正确.当时,用根值法不能判定.但 ,此时级数发散,即C亦正确.故选D. 14、 【答案】C 【解析】,且正项级数收敛, 收敛. 又 ,原级数绝对收敛.故选C. 15、 【答案】D 【解析】因为正项级数收敛时并不能保证存在(如),且 存在时,其值有可能为(如).根据比值法,若存在,则当其值大于1时级

160、数发散,可选择D. 16、 【答案】A 【解析】由比较判别法的极限形式知应选A. 17、 【答案】D 【解析】由阿贝尔定理的推论及幂级数的收敛半径的定义知D正确. 二、填空题 18、 【答案】 【解析】设 则 , 1nnu2121nnnuu11nnnan0a limlim1nnnnnauan1a 1a 1a 1limlim01nnnnnauen212111nnkkkkaa1nna211nna2212121112nnnanan1nnu1limnnnuu21sinnnn1limnnnuu1211nn1limnnnuu1nnu3 4 113nnnnxS x 110001113333133nnnxxx

161、nnnnnnnxnxxxxS x dxdxdxxx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 80 故 , 则 . 19、 【答案】 【解析】设 , 故. 20、 【答案】 【解析】 收敛. , 而 ，, 故 . 21、 【答案】 【解析】 . 22、 【答案】 【解析】设,则的收敛区间为,即 20333xxS xS x dxxx 21331343 1nnnS2e 0101!1 !nnnnnnnxxS xxnnn110001 !nnknxxnnknxxxxxxxeennkn 0112!nnSen1 61limlim212n

162、nnnSSn1nnu 121121211132nnnnnnuuuSSuSuuSuu111uS22121133uSu 12111132 1236nnnnuuu 1 611220011111nnnnnnaxxdxxxdx11200111116xxdxxx dxx1,021yxx11nnyn n11y 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 81 ,解得. 23、 【答案】 【解析】 24、 【答案】 【解析】要使,则必须使,而,故. 25、 【答案】 【解析】, . 26、 【答案】 【解析】时,又且收 敛,.收敛,从而,即

163、 . 27、 【答案】 【解析】因为对于, 所以的收敛区间为 2111xx 10x 81231312nnaaaaaa121111222 58.nnnnnaa 3211limlim,01nnnnnllnn 121321 4111111121122 1 212nnkSk kkknn1111limlim2 1 2124nnnSSnn2,n10n 111nen1lim11pnnnnea1nna111lim1limlim11pnnnnppnnnaaneann111pnn11p 2p 1,111nnxn11limlim1nnnnanRan 11nnxn1,1 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程

164、讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 82 又的收敛区间为 故综合知的收敛区间为. 28、 【答案】 【解析】因为的收敛半径为,所以时级数收敛,时级数发散,对于,级数在即时收敛,当时级数发散. 29、 【答案】 【解析】 设,则单调增加,且,故有上界,即级数收敛,由收敛的必要条件知：,即 ,. 30.【答案】 【解析】因是以为周期的函数,故,而是的间断点,由狄氏定理,在点处,傅里叶级数收敛于. 三、解答题 31、 【解析】当时,设, , 故 , 则 . 当时,. 32、 【解析】因为 ，又时, 112nnnx2,21112nnnxn1,1R f tRtRtR 2g

165、 xfx2xRxRxR0,022012nnkkkaSabnS 21nSfx dx22012nnnnaSab22lim0nnnab2lim0nna2lim0nnb2 f x2 20SS0x f x0x000000222ff 0x 111111nnnnxxS xSxnxnx 1111111nnnnnnxxSxxnnx 10ln 101xdxSxxxx 1ln 11xS xSxxx 0x 1S x 2ln3ln0122e1x 011nnxx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 83 所以 . 33、 【解析】, 故 , .

166、 34、 【解析】. 00ln3ln312ln3222ln312nnnnn 1nnxSxn 1111nnSxxx 001ln 11xxSxSx dxdxxx 000ln 1ln 11xxxxS xSx dxx dxxxdxx 01ln 11ln 1ln 11xxxdxxxxxx ln3ln3ln3ln3ln3ln2ln2ln2111ln2ln2112xnxnxnxxnnneS x dxnedxnedxee 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 84 第十讲第十讲 向量代数与空间解析几何（向量代数与空间解析几何（P160

167、） 一、选择题 1、 【答案】A 【解析】, , 因 ,故 . 2、 【答案】C 【解析】,已知与轴垂直,则 ,即,得 . 3、 【答案】B 【解析】,故,即,. 4、 【答案】C 【解析】在方程中项的系数相等,故旋转轴应是轴. 5、 【答案】A 【解析】直线的方向向量,平面的法线向量为,因 , 故直线与平面平行. 6、 【答案】C 【解析】因,则以、为边的四边形为矩形,又与是矩形的对角线长, 故两者相等. 7、 【答案】D 【解析】因,故,即,. 8、 【答案】D 【解析】因,故两两相互垂直,且 . 同理可得 ,故 ,. 9、 【答案】A 112135211ijklijk 236393152

168、11ijklijk 315931512/ll32 ,5, 24ababOz 0,0,10ab2410 20abc 0abcb 0a bc b a bc bb c 22,xyz2, 7,3l 2, 1, 1n 2271310l n ababababa ba c0a ba c 0abcabc,abc bca cab, ,a b csin,ab cb cb cb cba cca b1abc3abc故向则矩10、它在11、12、13、3M【解析】设分向量与矩阵【答案】B 【解析】因在平面上【答案】B 【解析】如图【答案】A 【解析】由【答案】C 【解析】 因柱M333,a b c13M M123aaa

169、112233abababyOz1nABB a分别是两已知与两直线的方降秩,故上的投影过原图所示, 记柱面的母线平1111,Ma b c112233bcbcbc123ccc1212AADDBC ca ba ba 2014 届针对性教学：,知直线上两点方向向量共面与题设矛盾.故在直线的方原点,故直线必的法向量为平行于轴,故22,Ma b122331aaaaaa12233aaaaa cos, a bbsa bx届钻石卡学员 I：一切以提高学,点,且面,即两已知直. 方程中可消去必与轴相交为，则 故其准线在22,b c3M13M M 121232313bbcbbcbbc12233bbcbbcbx1n2

170、2 cossin,2a by阶段 VIP 课程学生成绩为宗,则,直线共面,但不的一去及,故得交. . 平面上,且333,a b c313,aa b223310ccc12233cccccxDn,2a b2222yOz程讲义高等数学旨 则不平行,否则 、二两行成得直线方程为 . 且为曲线在111,Ma b c3131,bb cc,4a b2学习题训练精选 , .因 比例, 为，故 平面上1c10ByCzx4yOz选答案 85 ,的投0 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 86 影,在方程组中消去得,此即柱面的准线,故柱面

171、的方程为：. 14、 【答案】A 【解析】因为B、C中所给两平面与已知平面不平行,故可排除B、C因选项D中的平面不在两已知平行平面之间,故可排除D. 二、填空题 15、 【答案】 【解析】对应坐标成比例,所以. 16、 【答案】24, 【解析】, ,故 . 17、 【答案】 【解析】设,由,于是有解三元一次方程组,得,故. 18、 【答案】 【解析】直线的方向矢量为,因为直线垂直于所求平面,于是可知平面的矢 量,取为平面的法矢量,故所求平面为 , 即 . 19、 【答案】 2222222160xyzxyzx223160yzx22316yz23/ab 321224 33kk 2ababaabaa

172、 bb bbaa bba ab?sin,sin12a b ?22sin,2 4 3 124ababb ab aa b 65 155,124 12c, ,cx y z,ca cb 230250 ,2710xyzxyzxyz65155,12412xyz65 155,124 12c340xyz 1,3,1s /ns 1,3,1n ( 1)(1)3(2)1 (1)0xyz 340xyz320xyz 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 87 【解析】直线的方向矢量分别为,因为平面过且平行 于,所以平面的法矢量,即为,由于平面过

173、,所以点在平面上,故平面方程为,即 . 20、 【答案】 【解析】已知直线上一点,则已知点到直线的距离为,其中 为已知直线的方向向量,. 故 ,则 . 21、 【答案】 【解析】过点与平面垂直的直线方程为 ,化成参数方程为,将其代入的方程得,因此与的交点(即垂足)的坐标为. 设所求点为,则是线段的中点,由中点坐标公式得, ,即所求满足条件的点的坐标为. 22、 【答案】4 【解析】原式. 12,L L11,0, 1s 22,1,1s 1L2L , , nA B C121013211ijknssijk 1L(1,2,3)M(1)3(2)(3)0xyz320xyz3 50, 7,3BAB ldl

174、1,2, 1l 3, 9, 3AB 3931563121ijkAB lijk 3 5AB ldl 3, 3,11,1, 1P:240xyz111:121xyzl1,21,1xtytzt 1t lM2, 1,0, ,Q x y zMPQ2 2 13x 1 2 13y 0 2 1 1z (3, 3,1)()a ba cb cca 24a bcb caa bc 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 88 第八讲第八讲 重积分（下） （重积分（下） （P169） 一、选择题 1、 【答案】A 【解析】因,则 ,故,则. 二、填

175、空题 2、 【答案】 【解析】旋转曲面的方程为：, 用先二后一法求解得 . 3、 【答案】 【解析】联立,解得此曲线在平面上的投影为：， 设,则 . 4、 【答案】 【解析】. 三、解答题 5、与【例8.14】重复 6、 【解析】设, 21xyz 214xyz132xyz0ln31xyz 1I2I336222zxy22xy dv2282222xyzxydxdy dz82283220022336zdzdr drz dz22222zxyzx xOy2210xyz22:1D xy22222DDVxdxdyxydxdy21222002 121Dxydxdydrrdr5822222cos22200022

176、222cos222000sincos58sinz xyzdvddrrr drzxyzdvddrr dr 2220:1xyzxyO 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 89 原式 . 7、 【解析】题目给出的是文字描述，我们首先通过建立坐标系将文字描述转化为数学语言， 坐标系如右图.以球心为坐标原点，半球在平面下方，圆柱体在平面上方，其对称轴为轴.记.由于密度均匀， 故为常数.设整个立体的质心为， 则由对称性知，故欲使质心在球心处，只需，从而只需.而 . 故当时，物体的质心恰好在球心处. 00222211(235)(2

177、35)22xyzdvx dv 02122240001154(235)()sin2333xyzdvddr dr Oxoyxoyz2222( , , )|2,2x y zxyzh xy , ,x y z0,0xy0z ( , , )0zx y z dv222222200200(2)2hrrzdvdrdrzdzdhrdr212 ()0122hh1h 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 90 第十一讲第十一讲 曲线曲面积分曲线曲面积分 （p183） 一、选择题 1、 【答案】A 【解析】,其中,故 . 2、 【答案】C 【解

178、析】将分为,则 . 3、 【答案】C 【解析】曲线的方程为,将其代入积分中得：. 4、 【答案】B 【解析】因为某函数的全微分,故,即 , 则,. 5、 【答案】D 【解析】因 , 故在内作一椭圆(顺时针方向),则 234424Wxy dxxy dyy dz4cos:3sin0xyz 203 4cos4 3sin4cos4 4cos2 3sin3sinWdd 220030sincos4896dd L12:,:2Lyx Lyx2222Lxy dxxydy1222222222LLxydxxydyxydxxydy122222201222x dxxxxxdx221242 233xdx1xyLdsxy

179、?4 2Lds ?2xay dyydxxyQxPyQx331 2xa yxyxyxy Py1 21aa 0Qx222222222242444xyxxyxxyxy PyL1cos:sin2xaLay 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 91 原式 . 6、 【答案】A 【解析】因,故此曲线积分在不包含直线的单连通域内与路径无关,则两点不能在直线的两边,即A积分是与路径有关的. 7、 【答案】C 【解析】由高斯公式 是由所围立体, 故 . 8、 【答案】C 【解析】由斯托克斯公式,其中为平面,为上侧法线向量的方向余弦.所

180、以 ,于是 原式=. (,是平面上以原点为圆心,为半径的圆的面积) 9、 【答案】A 【解析】因为曲线关于直线对称,和均是关于的偶函数,所以 ,又关于直线对称,且是关于的奇函数, ,故,即应选A. 二、填空题 10、 【答案】 【解析】 把代入中,得,对方程两边对 求导,得 , 11222244L LLxdyydxxdyydxxyxy22200cossinsincos12202Daaadd adxdydaQx3xyxy Pyyxyx22111xxIffdvyyyy:222280016rrIdvdrdrdyydxzdyxdz?coscoscosds0xyzcos,cos,coscoscoscos

181、3 32333dsSR dsSS0xyzRl0y x2yy1222llxydsxyds1l0xxx10lxds 1222llxydsy ds1yex0tsin10yety 1y sin10yety tsincos0yydydyetetdtdt 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 92 x y O把,代入上式得,因此,所求的切线方程是,即. 11、 【答案】 【解析】由高斯公式知 原式 (), 而球体的重心在球心,即,故 原式. 12、 【答案】 【解析】积分区域如右图10-3所示. 加, 的方程为,故 图10-3 .

182、 13、 【答案】 【解析】积分曲线如右图所示.曲线的参数方程为 , 将曲线方程代入积分式中得 . 14、 【答案】 【解析】由对称性知 , (其中) 0t 1y 0tdyedt1yex 1yex443Rzxy dv222:2xyzRz2222xyzRz0,0,xyzR343VR球344433xyz VRRR球12S 1:LAOAOyx222Lxy dxy dy11222222L LLxy dxy dyxy dxy dy0221122DdxdyxxxdxS822sincos2sinxy 222xyy 22Lxy ds2Lyds022222sinxy d002224sin2sin22cos24s

183、in8dd 0,0,2R0xyzdszA222zRxy 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 93 (其中) . 15、 【答案】 【解析】 16、 【答案】 【解析】由于积分曲面具有轮换对称性,故, . 17、 【答案】 【解析】由直角坐标与极坐标的关系知 则 . 18、 【答案】 【解析】因 ,故曲线积分与路径无关,选直线段为积分路径,则 . 22222212xyDRxyzz dxdyR:D222xyR322222DRdxdyRRRR0 ijkrotAxyzf r xf r yf r z 0.f r zf r yf

184、 r zf r xijyzxzf r yf r xkxy443R222x dsy dsz ds2z ds242222211443333RRxyz dsR dsR21 cossinxy 22Lxdyydxxy 212cossinsincosdd 2211222212cossindd 1222yQPxexyAO22211yyLxedxx edy04112x dx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 94 19、 【答案】 【解析】旋转曲面的方程为,故 (其中) . 20、 【答案】 【解析】. 21、 【答案】 【解析】

185、的参数方程为：, . 22、 【答案】 【解析】 . 三、解答题 23、 【解析】由格林公式知 . 24、 【解析】加曲面(后侧),(左侧),(下侧),则 (其中,) (由的轮换对称性得) . 25、 【解析】积分曲线如右图所示. 因 , 故曲线积分与路径无关,选,则 322xyz2 1x dydz222 1Dyz dydz22:1D yz124212000214324rrdrrdr 24 R1zds2220 444zdsdszAARRR Lcos ,sinxy222Lxy ds22222cossinsincosd 2divA221,1,0ln 1zPxyyexzxyz221,1,0212zP

186、yexzz55DIdxdy1:0x2:0y3:0z123123Ixydydzyzdzdxxzdxdyxydydzyzdzdxxzdxdy 0yzx dv:1yzx0x 0y 0z 3xdv111000138xx yxdxdydz L222222QyxyxPxyxy221:Lyx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 95 26、 【解析】加的上侧,则 . 27、 【解析】 因积分曲线关于轴都对称,故(其中是在第一象限的部分),在极坐标系中, (其中).故 . 28、 【解析】. 29、 【解析】先将代入积分式中得 ()

187、. 30、 【解析】因球面的质心在球心处,故 (其中是球面的表面积). 31、 【解析】因曲线关于轴对称,函数是的奇函数,故,再将曲线方程 22Lxy dxxy dyxy122Lxy dxxy dyxy 02cossincoscossinsin.dd 221:11zxyxdydzydzdxzdxdy11xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy22131303xydvdxdy , x yLy ds 14Lyds1LL 2sincos2sinyrR 22dsrrd22cos2rRLy ds 22402 sin24cos2 sincos22 cos2RRRd22404sin222

188、RdR m21122224002212tttctydsxyz dtttt dt222xyR22Lxy dxxy dyxy?21Lxy dxxy dyR ?222121 12LdxdyRRR ?222:D xyR1,0, 12232320 14xyz dsxyz SSRSy2xx20Lxds 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 96 ,代入,故 原式. 32、 【解析】将曲线方程代入积分式中得： ,(). 33、 【解析】球面的方程可变为,故其质心的坐标为 ,而球面面积,故原式. 222xyR222LLxydsR ds2222232022LLLLxydsxdsR dsRdsRRR 22 24LLDxdyydxxdyydxdxdyxy格林公式:1D xy2222xRyzR,0,xR y0z 24AR2344xARRR