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1、三、环流量与旋度三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子四、向量微分算子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 2021/7/11一一、 斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 定理定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一证证:情形情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).则有简介 目录
2、上页 下页 返回 结束 2021/7/12则(利用格林公式) 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/13因此同理可证三式相加, 即得斯托克斯公式 ;定理1 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/14情形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕定理1 目录 上页 下页 返
3、回 结束 2021/7/15为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/16例例1. 利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个解解: 记三角形域为, 取上侧, 则边界, 方向如图所示. 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/17例例2. 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算解解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/18*二、空间曲
4、线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有(2) 对G内任一分段光滑曲线 , 与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/19证证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证) 设函数 则定理2 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/110同理可证 故有若(3)成立, 则必有因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有同理证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/111与路径
5、无关, 并求函数解解: 令 积分与路径无关, 因此例例3. 验证曲线积分定理2 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/112三、三、 环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/113令 , 引进一个向量记作向量 rot A 称为向量场 A 的称为向量场A定义定义: 沿有向闭曲线 的环流量环流量.或于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/114设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点, 建立坐标系如图,则角速度为 ,点 M 的线
6、速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/115向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! 为向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意义的物理意义:例例4. 求电场强度 的旋度 .解解: (除原点外)这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/116的外法向量,计算解解: 例例5. 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/117*四、向量微分算子四、向量微分算子定义向量微分算子:它又称为( Nabla )算子, 或哈密
7、顿( Hamilton ) 算子. 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/118则高斯公式与斯托克斯公式可写成:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/119内容小结内容小结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/120在内与路径无关在内处处有在内处处有2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件空间曲线积分与路径无关的充要条件设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/1213. 场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设 梯度梯度:机动 目录 上页 下页 返回 结束 散度散度:旋度旋度:则2021/7/122思考与练习思考与练习则提示提示:三式相加即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/123作业作业P183 1 (1),(3),(4) ; 2(1),(3) ; 3(1); 4 (2) ; 6补充题: 证明 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/124
