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1、1.3.2杨辉三角和二项式系数性质杨辉三角和二项式系数性质二项式定理及展开式二项式定理及展开式: :nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba2221110+=+-LL）（二项式系数二项式系数通通 项项复习回顾复习回顾1.在在 展开式中的常数项是展开式中的常数项是_2.2.已知已知(1+)n展开式中含展开式中含x x-2-2的项的系数为的项的系数为1212，则，则n=_n=_3.3.若将若将8 89999除以除以9 9，则得到的余数是，则得到的余数是_(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6课题引入课题引入二项式系数表二项式系数表1112113
2、31146411510 10511615 20 1561你知道这是什么图表吗？你知道这是什么图表吗？详详解解九九章章算算法法记记载载的的表表杨辉杨辉 三角三角杨杨辉辉 以上二项式系数表以上二项式系数表,早在我早在我 国南宋数学家国南宋数学家杨辉杨辉1261年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于杨辉指出这个方法出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家贾宪算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。世纪。杨
3、辉三角的发现要比欧洲杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右早五百年左右，由此可见我由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。问题：从图中问题：从图中你能得出哪些你能得出哪些性质？性质？111211331146411510 10511615 20 1561问题：会证明这些性质吗？问题：会证明这些性质吗？a).表中每行两端都是表中每行两端都是1。b).除除1外的每一个数都等外的每一个数都等 于它肩上两个数的和于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：例如：cr ncr-1n+crn+1=当当n n不大时，可用该表来求二项式系数不大时，可用该表来
4、求二项式系数。C23C22C12+= 3C25C24C14+= 10因为：因为：111211331146411510105116152015612134610总结提炼总结提炼1:第第1行行第第2行行第第6行行-第第5行行-第第4行行第第3行行-111211331146411510 10511615 20 1561对称对称总结提炼总结提炼2: 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等当当n n为偶数如为偶数如2 2、4 4、6 6时，中间一项最大时，中间一项最大当当n n为奇数如为奇数如1 1、3 3、5 5时，中间两项最大时，中间两项最大(a+b)1(a+b
5、)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)6(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn1615 20 1561111211331146411510 1051知识探究知识探究3:111211331146411510 10511615 20 1561n n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值取得最大值 ；当当n n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 和和 相等，且同时取得最大相等，且同时取得最大值。值。 总结提炼总结提炼3:和为和为248163264知识探究知识探究4:各二项式系数的和各二项式系数的和2n + + + +令令x=1；赋值法赋值法令令x=-1；0+ +
6、+0nCC 2 n- -+ + +1nC3nC)()0 = + + +0nCC 2 n+ + +1nC3nC = 也就是说也就是说, (1+x), (1+x)n n的展开式中的各个的展开式中的各个二项式系数的和为二项式系数的和为 ，且奇数项的二且奇数项的二项式系数和等于偶数的二项式系数和项式系数和等于偶数的二项式系数和2n知识探究知识探究4:1 1、在、在(a(ab)b)2020展开式中，与第五项二项式系数相同展开式中，与第五项二项式系数相同的项是的项是( ).( ).C课堂练习课堂练习: :A.A.第第6 6项项 B.B.第第7 7项项C.C.第第6 6项和第项和第7 7项项 D.D.第第5
7、 5项和第项和第7 7项项CA.A.第第1515项项 B.B.第第1616项项 C.C.第第1717项项 D.D.第第1818项项2 2、在、在(a(ab)b)1111展开式中，二项式系数最大的项展开式中，二项式系数最大的项( ).( ).4，化简 + + + +=3 3， 已知已知 展开式中只有第展开式中只有第1010项二项式系数最大，则项二项式系数最大，则n=_n=_。 18例例1：+7210)(+=-72721xaxaxaax已知则=+6420aaaa71a=+2aa7=+531aaaa-2-10941093 求解二项式系数和时，灵活运用赋求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问题简单
8、化。通常选取赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值时取值时取1 1，1 1，0 0。注意注意:1.项与项数的区别项与项数的区别2.二项式系数与项系数的区别二项式系数与项系数的区别3.二项式系数一定为正，系数可以有负值二项式系数一定为正，系数可以有负值. (1-x2)9展开式中系数最大的项是展开式中系数最大的项是_,系系数最小的项是数最小的项是_,二项式系数最大的二项式系数最大的项是项是_ 126x8-126x10126x8-126x10例例2：4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项例例3 3 已知 的展开式中，第 二项展开式中的二项式系数都是一些特二项展开式中的二项
9、式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意好，同时要注意“系数系数”与与“二项式系数二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握尤其要理解和掌握“赋值法赋值法”，它是解决有，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。关二项展开式系数的问题的重要手段。内容小结内容小结教学反思教学反思v“探索规律”问题蕴涵着观察、猜想、归纳的思想方法，是锻炼学生抽象思维能力的一个好素材 。鉴于学生已经有了找规律
10、的经验，我对本节课进行了深入的挖掘和整理，分了三个环节来完成。v首先和学生一起进行“智力测验”。旨在让学生从简单的数字规律中发现这些数字都是通过“加、减、乘、除、乘方”运算建立联系的。同时向同学传达了解决问题的普遍方法，即：先发现规律，然后利用规律解决具体问题。v然后进行本节课的重点知识 “杨辉三角”的讲解。“杨辉三角”虽说是八年级课后阅读材料，但我还是把它作为教学的重点知识来研讨。因为它是世界古代数学史上很著名的体现数字规律的篇章，通过让学生寻找杨辉三角的规律，可以充分调动他们的视觉去观察，大脑去思考、归纳，然后利用发现的规律续写杨辉三角。我向同学们介绍了杨辉三角的悠久历史，使同学们为我们中
11、华民族的数学发展感到自豪，大大提升学生的数学兴趣。这么著名的杨辉三角究竟有什么用途呢？这时我将它与我们最近学习的多项式乘法联系起来，引导同学们观察（a+b）nn是正整数的展开式，按照a的指数依次降低的顺序排列之后，将各项的系数拿出来排列成表，发现恰好是杨辉三角，同时还发现各项中字母指数也是有一定规律的。学生们已经学习了多项式的乘法，感受更深，自然而然地联想到运用杨辉三角来简化多项式（a+b）nn是正整数的运算。v最后我联系生活中的数学问题，使学生们体会到，数学来源于生活又服务于生活，学数学是有用的。不管哪种类型的问题，都要归结到代数式上，准确找到合适的代数式表达规律，然后利用发现的规律可以较简便的解答较复杂的问题，这正是“探索规律”的美丽所在。
