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1、第二章 函数1函数函数(1)了了解解构构成成函函数数的的要要素素，会会求求一一些些简简单单函函数数的的定定义义域域和值域；了解映射的概念和值域；了解映射的概念(2)在在实实际际情情境境中中，会会根根据据不不同同的的需需要要选选择择适适当当的的方方法法(如图象法、列表法、解析法如图象法、列表法、解析法)表示函数表示函数(3)了解简单的分段函数，并能简单应用了解简单的分段函数，并能简单应用(4)理理解解函函数数的的单单调调性性、最最大大(小小)值值以以及及几几何何意意义义；结结合具体函数，了解函数奇偶性的含义合具体函数，了解函数奇偶性的含义(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质会运用函数图象理解
2、和研究函数的性质2指数函数指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景了解指数函数模型的实际背景(2)理理解解有有理理数数指指数数幂幂的的含含义义，了了解解实实数数幂幂的的意意义义，掌掌握幂的运算握幂的运算(3)理理解解指指数数函函数数的的概概念念，理理解解指指数数函函数数的的单单调调性性，掌掌握指数函数图象通过的特殊点握指数函数图象通过的特殊点(4)知道指数函数是一类重要的函数模型知道指数函数是一类重要的函数模型3对数函数对数函数(1)理理解解对对数数函函数数的的概概念念以以及及运运算算性性质质，知知道道用用换换底底公公式式能能将将一一般般对对数数转转化化成成自自然然对对数数或或常常用用对对数数
3、；了了解解对对数数在在简化运算中的作用简化运算中的作用(2)理理解解对对数数函函数数的的单单调调性性，掌掌握握对对数数函函数数图图象象通通过过的的特特殊点殊点(3)知道对数函数是一类重要的函数模型知道对数函数是一类重要的函数模型(4)了了解解指指数数函函数数yax与与对对数数函函数数ylogax互互为为反反函函数数(a0，a1)4幂函数幂函数(1)了解幂函数的概念了解幂函数的概念(2)结结合合函函数数yx，yx2，yx3，y ，yx 的的图图象，了解它们的变化情况象，了解它们的变化情况5函数与方程函数与方程(1)结结合合二二次次函函数数的的图图象象，了了解解函函数数的的零零点点与与方方程程根根
4、的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数(2)根根据据具具体体函函数数的的图图象象，能能够够用用二二分分法法求求相相应应方方程程的近似解的近似解6函数模型及其应用函数模型及其应用(1)了了解解指指数数函函数数、对对数数函函数数以以及及幂幂函函数数的的增增长长特特征征，知知道道直直线线上上升升、指指数数增增长长、对对数数增增长长等等不不同同函函数数类类型型增长的含义增长的含义(2)了了解解函函数数模模型型(如如指指数数函函数数、对对数数函函数数、幂幂函函数数、分分段段函函数数等等在在社社会会生生活活中中普普遍遍使使用用的的函函数数模模型型)的的广广
5、泛泛应应用用第第4 4讲函数的概念、解析式及定义域讲函数的概念、解析式及定义域 【学习目标】【学习目标】1了了解解映映射射的的概概念念，了了解解构构成成函函数数的的要要素素，会会求一些简单函数的定义域；求一些简单函数的定义域；2在在实实际际情情境境中中，会会根根据据不不同同的的需需要要选选择择适适当当的方法的方法(图象法、列表法、解析法图象法、列表法、解析法)表示函数；表示函数；3了解简单的分段函数，并能简单应用了解简单的分段函数，并能简单应用【基础检测】【基础检测】1已知已知f(x)e(x R)，则，则f(e2)( )Ae2 Be C. D不能确定不能确定BCB【解析】【解析】当当a0时，有
6、时，有a24，a2，当当a0时，有时，有a4，a4，a2或或4，选，选B.4给定定k N*，设函数函数f：N*N*满足：足：对任意的大于任意的大于k的正整数的正整数n：f(n)nk，设k1，则其中一个函数其中一个函数f在在n1处的函数的函数值为 a(a为正整数正整数)【知识要点】【知识要点】1函数的概念函数的概念设设A、B是是非非空空的的数数集集，如如果果按按照照某某个个确确定定的的对对应应关关系系f，使对于集合，使对于集合A中的中的 ，在集合，在集合B中都有中都有 确确定定的的数数f(x)和和它它对对应应，那那么么称称f：AB为为从从集集合合A到到集集合合B的的一一个个 ，记记作作： .其其
7、中中x叫叫做做自自变变量量，x的的取取值值范范围围A叫叫做做函函数数的的 ；与与x的的值值相相对对应应的的y的的值值叫叫做做函函数数值值函函数数值值的的集集合合f(x)|x A叫叫做做函函数数的的 ，f(x)|x A B.任意一个数任意一个数x唯一唯一函数函数yf(x)，xA 定义域定义域值域域2映射的概念映射的概念设设A、B是是两两个个集集合合，如如果果按按照照某某种种对对应应关关系系f，对对于于集集合合A中中的的 元元素素，在在集集合合B中中都都有有 的的元元素素和和它它对对应应，那那么么这这样样的的 (包包括括集集合合A、B，以以及及集集合合A到到集集合合B的的对对应应关关系系f)叫叫做
8、做集集合合A到到集集合合B的的映映射射，记记作：作：“ ”任何一个任何一个 唯一唯一对应f：AB3函数的特点函数的特点函函数数是是一一种种特特殊殊的的映映射射，它它是是由由一一个个 到到另另一一个个 的的映映射射；函函数数包包括括定定义义域域A、值值域域B和和对对应应法法则则f，简简称称函函数数的的 ；关关键键是是 .非空数集非空数集非空数集非空数集三要素三要素对应法则对应法则f4函数的表示法函数的表示法函数的表示法：函数的表示法： 、 、.5判断两个函数为同一个函数的方法判断两个函数为同一个函数的方法两两个个函函数数的的 完完全全相相同同(当当值值域域未未指指明时明时)解析法解析法列表法列表
9、法图象法象法定定义域和域和对应法法则6分段函数分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫个式子表示函数，这种形式的函数叫 .注意：注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式分段处理后，最后写成一个函数表达式分段函数分段函数一、映射与函数的概念一、映射与函数的概念例例1已已知知映映射射f：AB，其其中中ABR，对对应应法法则则f：xyx22x，对对于于实实数数k B在在集集合合A中中存存在在两两个个不不同同的的元元素与
10、它对应，则素与它对应，则k的取值范围是的取值范围是 k (，1)【解析】【解析】yx22x，y(，1由二次函数图象可知：由二次函数图象可知：当当k1时，直线时，直线yk与与yx22x无交点无交点故应填故应填k(，1)【点评】【点评】对于映射对于映射f：AB的理解要抓住以下三点：的理解要抓住以下三点：(1)集集合合A、B及及对对应应法法则则f是是确确定定的的，是是一一个个整整体体，是是一一个系统；个系统；(2)对对应应法法则则f具具有有方方向向性性，即即强强调调从从集集合合A到到集集合合B的的对对应，它与从应，它与从B到到A的对应关系是不同的；的对应关系是不同的；(3)对对于于A中中的的任任意意
11、元元素素a，在在B中中有有唯唯一一元元素素b与与之之相相对对应应其其要要害害在在“任任意意”、“唯唯一一”两两词词上上集集合合B中中的的元元素素可以没有原象可以没有原象A(2)(2)函数定义域的意义是使函数恒有意义的自变量函数定义域的意义是使函数恒有意义的自变量的取值范围的取值范围【点点评评】根根据据已已知知条条件件求求函函数数的的解解析析式式常常用用待待定定系系数数法、换元法、配凑法、赋值法、解方程组法等法、换元法、配凑法、赋值法、解方程组法等(1)当当所所求求函函数数的的解解析析式式的的形形式式已已知知(如如二二次次函函数数、指指数数函数等函数等)常用待定系数法常用待定系数法(2)已已知知
12、fg(x)的的表表达达式式，求求f(x)的的表表达达式式，常常用用配配方方法法或换元法或换元法(3)由由简简单单的的函函数数方方程程求求函函数数的的表表达达式式，常常用用赋赋值值法法及及解方程组法解方程组法(1)写写出出年年利利润W(万万元元)关关于于年年产量量x(千千件件)的的函函数数解解析式；析式；(2)年年产量量为多多少少千千件件时，该公公司司在在这一一品品牌牌服服装装的的生生产中中所所获得得的的年年利利润最最大大？(注注：年年利利润年年销售售收入年收入年总成本成本)【点评】【点评】分段函数问题一般分段求解，其定义域和值分段函数问题一般分段求解，其定义域和值域是各段的并集域是各段的并集备
13、备选选题题例例5已已知知定定义义域域为为R的的函函数数f(x)满满足足f(f(x)x2x)f(x)x2x.(1)若若f(2)3，求，求f(1)；又若；又若f(0)a，求，求f(a)；(2)设设有有且且仅仅有有一一个个实实数数x0，使使得得f(x0)x0，求求函函数数f(x)的解析表达式的解析表达式【解析】【解析】(1)因为对任意因为对任意xR，有，有f(f(x)x2x)f(x)x2x，所以所以f(f(2)222)f(2)222.又由又由f(2)3，得，得f(3222)3222，即即f(1)1.若若f(0)a，则，则f(a020)a020，即，即f(a)a.(2)因为对任意因为对任意xR，有有f
14、(f(x)x2x)f(x)x2x.又因为有且只有一个实数又因为有且只有一个实数x0，使得，使得f(x0)x0.所以对任意所以对任意xR，有，有f(x)x2xx0.在上式中令在上式中令xx0，有，有f(x0)xx0x0，又因为又因为f(x0)x0，所以，所以x0x0，故故x00或或x01.若若x00，则，则f(x)x2x0，即，即f(x)x2x.但但方方程程x2xx有有两两个个不不同同实实根根，与与题题设设条条件件矛盾，故矛盾，故x00.若若x01，则有，则有f(x)x2x1，即即f(x)x2x1.易验证该函数满足题设条件易验证该函数满足题设条件综上，所求函数为综上，所求函数为f(x)x2x1(
15、xR)【点评】【点评】本题是一道函数综合题，主要考查函数与方本题是一道函数综合题，主要考查函数与方程的思想及解析式的求法的应用程的思想及解析式的求法的应用2与与分分段段函函数数有有关关的的问题，最最重重要要的的就就是是逻辑划划分分思想，即将思想，即将问题分段解决分段解决3解解决决抽抽象象函函数数问题，通通常常的的方方法法是是赋值法法，并并善善于于根根据据题目目条条件件寻找找该函函数数的的一一个个原原型型，帮帮助助探探求求结论，找到解，找到解题的思路和方法的思路和方法D【命命题题立立意意】(1)本本题题考考查查分分段段函函数数的的简简单单应应用用，考考查查学学生生运运用用函函数数知知识识分分析析
16、问问题题，解解决决问问题题的的能能力力，属属容容易易题题(2)本本题题考考查查分分段段函函数数的的求求值值，解解方方程程等等基基本本知知识识，考考查查学生分类讨论思想的应用，难度较大学生分类讨论思想的应用，难度较大CB【解析】【解析】当当f(x)0时，时，g(x)有意义有意义由函数图象知由函数图象知x(2,8A【解析】【解析】f(4)16，ff(4)f(16)15，故选，故选A.D【解析】解析】当当x00时，时，f(x0)2x013，2x0422，x02，故，故x02.当当x00时，时，f(x0)x3恒成立恒成立x09.综上所知综上所知x02或或x09，应选，应选D.5设函数函数f：N*N*满
17、足：足：对于任意大于于任意大于4的正整数的正整数n：f(n)n4，且当，且当n4时2f(n)3，则不同的函数不同的函数f的个数的个数为 . 16【解析】【解析】当当n1,2,3,4时，由于函数值满足时，由于函数值满足f(n)2,3，故故f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的的取取值值各各有有两两种种可可能能，即即222216.有有16个这样不同的函数个这样不同的函数7(2011福福建建)设V是是全全体体平平面面向向量量构构成成的的集集合合若若映映射射f：VR满足足：对任任意意向向量量a(x1，y1) V，b(x2，y2) V，以以及及任任意意 R，均均有有f(a(1)b)f(a)(1)f(b
18、)，则称映射称映射f具有性具有性质P.现给出如下映射：出如下映射：f1：VR，f1(m)xy，m(x，y) V；f2：VR，f2(m)x2y，m(x，y) V；f3：VR，f3(m)xy1，m(x，y) V.其其中中，具具有有性性质P的的映映射射的的序序号号为 (写写出出所所有有具具有有性性质P的映射的序号的映射的序号)【解析】【解析】a(x1，y1)，b(x2，y2)，R.a(1)b(x1(1)x2，y1(1)y2)，对映射的序号对映射的序号：若：若f1(m)xy，则则f1(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y2(x1y1)(1)(x2y2)f1(a)(1)f1(b)故映射的序号故映射的序
19、号具有性质具有性质P.同理：序号同理：序号具有性质具有性质P，序号，序号不具有性质不具有性质P.故填故填.8求下列函数的解析式：求下列函数的解析式：(1)已知二次函数已知二次函数满足足f(3x1)9x26x5，求，求f(x)；(2)已知已知2f(x)f(x)3x2，求，求f(x)；(3)设f(x)是是定定义在在实数数集集R上上的的函函数数，满足足f(0)1，且且对任意任意实数数a，b有有f(ab)f(a)b(2ab1)，求，求f(x)【解析】【解析】(1)解法一解法一：利用待定系数法：利用待定系数法：设设f(x)ax2bxc(a0)则则f(3x1)a(3x1)2b(3x1)c9ax2(6a3b
20、)xabc，又，又f(3x1)9x26x5，9ax2(6a3b)xabc9x26x5，比比较较两端的系数得，两端的系数得，(3)可用赋值法求解令可用赋值法求解令abx，得得f(0)f(x)x(2xx1)，f(0)1，f(x)x2x1.9甲甲、乙乙两两车同同时沿沿着着某某公公路路从从A地地驶往往300km外外的的B地地，甲甲车先先以以75km/h的的速速度度行行驶，在在到到达达AB中中点点C处停停留留2h后后，再再以以100km/h的的速速度度驶往往B地地，乙乙车始始终以速度以速度vkm/h行行驶(1)请将将甲甲车离离开开A地地的的路路程程S(km)表表示示为离离开开A地地时间t(h)的函数，并画出其函数的函数，并画出其函数图象；象；(2)若若两两车在在途途中中恰恰好好相相遇遇两两次次(不不包包括括A、B两两地地)，试确定乙确定乙车的行的行驶速度速度v的取的取值范范围【分析】【分析】甲车行驶分段进行可知是分段函数问题，甲车行驶分段进行可知是分段函数问题，而甲、乙两车在中途相遇即两车行驶对应的函数图而甲、乙两车在中途相遇即两车行驶对应的函数图象有两个交点，利用数形结合可得象有两个交点，利用数形结合可得“v”的取值范围的取值范围
